2020-2021学年1.4 三角函数的图象与性质一课一练

这是一份2020-2021学年1.4 三角函数的图象与性质一课一练，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1.(2021河南平顶山高一段考,)已知函数f(x)=mtan x-ksin x+2(m,k∈R),
若f π3=1,则f -π3=( )
A.1 B.-1
C.3 D.-3
2.(2021陕西榆林高一期中,)设函数f(x)=sinx+π4,则下列结论错误的是( )
A.f(x)的一个周期为-2π
B.f(x)的图象关于直线x=π4对称
C.f(x)的图象关于点-π4,0对称
D.f(x)在0,π2上单调递增
3.(2020山东菏泽一中高一月考,)函数f(x)=sinπ3-3x的单调递减区间是( )
A.2kπ3-π18,2kπ3(k∈Z)
B.2kπ3,2kπ3+5π18(k∈Z)
C.2kπ3-π18,2kπ3+5π18(k∈Z)
D.2kπ3+5π6,2kπ3+7π6(k∈Z)
4.(2020宁夏育才中学高一下期末,)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈0,π2时,f(x)=sin x,则f 5π3的值为( )
A.-12 B.32
C.-32 D.12
5.(2021福建厦门高三三模,)已知函数f(x)=x2-x-asin πx+1有且仅有一个零点,则实数a=( )
A.12 B.34
C.43 D.2
6.()已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<π2的最大值为2,相邻对称轴间的距离为π2,且f π6-x=f π6+x,当x∈-π4,θ时, f(x)的值域为[-3,2],则θ的取值范围为( )
A.π6,7π12 B.π6,5π12
C.-π6,7π12 D.-π6,5π12
二、填空题
7.()设a=sinπ5,b=csπ10,c=tan5π12,则a、b、c之间的大小关系是 .
8.(2020河北石家庄二中高一月考,)下面四个结论:①函数y=cs23x+π2是奇函数;
②直线x=π8是函数y=sin2x+5π4图象的一条对称轴;
③若α,β是第一象限角,且α<β,则tan α④已知A,B,C是锐角三角形ABC的内角,则sin A>cs B.
其中正确结论的序号为 .
9.(2021上海杨浦高一阶段测试,)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间π6,π2上具有单调性,且f π2=f 2π3=-f π6,则f(x)的最小正周期为 .
10.(2019江西高安中学高一上期末,)下列结论中正确的有 .(填序号)
①若函数f(x)的定义域为[1,2],则函数f(2cs x)的定义域为-π3+2kπ,π3+2kπ(k∈Z);
②函数y=tanx-π4+1图象的一个对称中心为π4,0;
③函数y=sin2x-sin x+14-π6≤x≤π3的值域为1−32,1.
三、解答题
11.(2021江苏苏大附中高一期末,)设函数f(x)=asinkx+π3,φ(x)=btankx-π3,k>0,若它们的最小正周期之和为3π2,
且f π2=φπ2,f π4=-3φπ4+1,求f(x),φ(x)的解析式.
12.(2021重庆涪陵高一期中,)已知f(x)=-2cs2x-22sin x+2的定义域为R.
(1)求f(x)的值域;
(2)在区间-π2,π2上,f(α)=3,求sin2α+π3.
13.(2021重庆西南大学附中高一月考,)已知函数f(x)=cs2x+π3.
(1)判断f x+π12的奇偶性;
(2)若函数g(x)的最小正周期是π,且当x∈-π2,π2时,g(x)=f x2,求关于x的方程g(x)=32的解的集合.
(2020江苏苏州高三上期中调研,)已知函数f(x)=
-22sin2ax+π4+12+b(a>0,b>0)的图象与x轴相切,且图象上相邻两个最高点之间的距离为π2.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)在0,π4上的最大值和最小值.
答案全解全析
一、选择题
1.C ∵f(x)=mtan x-ksin x+2(m,k∈R),
∴f(x)-2=mtan x-ksin x,
易知y=mtan x-ksin x为奇函数,
∴f(x)-2+f(-x)-2=0,
∴f(x)+f(-x)=4,
∵f π3=1,
∴f -π3=4-1=3,故选C.
2.D 函数f(x)=sinx+π4,根据正弦函数的性质有f(x-2π)=f(x),所以f(x)的一个周期为-2π,∴A中结论正确.
当x=π4时,f π4=sin π2=1,∴f(x)的图象关于直线x=π4对称,∴B中结论正确.
当x=-π4时,f -π4=sin 0=0,∴f(x)的图象关于点-π4,0对称,∴C中结论正确.
令-π2+2kπ≤x+π4≤π2+2kπ,k∈Z,
解得-3π4+2kπ≤x≤π4+2kπ,k∈Z,
故f(x)的单调递增区间为-3π4+2kπ,π4+2kπ(k∈Z),易知0,π2不在此区间内,∴D中结论错误.故选D.
3.C f(x)=sinπ3-3x=-sin3x-π3.
函数f(x)=sinπ3-3x的单调递减区间是函数y=sin3x-π3的单调递增区间,
令2kπ-π2≤3x-π3≤2kπ+π2,k∈Z,
得2kπ3-π18≤x≤2kπ3+5π18,k∈Z,
即函数f(x)的单调递减区间为2kπ3-π18,2kπ3+5π18,k∈Z,故选C.
4.B ∵f(x)的最小正周期是π,
∴f5π3=f5π3-2π=f-π3.
∵f(x)是偶函数,
∴f-π3=fπ3,
∴f5π3=fπ3.
∵当x∈0,π2时,f(x)=sin x,
∴f5π3=fπ3=sin π3=32.
故选B.
5.B 由f(x)=x2-x-asin πx+1=0得,x2-x+1=asin πx,
令g(x)=x2-x+1,h(x)=asin πx,则两函数图象有且仅有一个交点.
当a<0时,函数g(x)=x2-x+1与h(x)=asin πx的大致图象如图所示,
由于两个函数的图象都关于直线x=12对称,因此它们不可能只有一个交点;
当a=0时,方程x2-x+1=asin πx=0无解;
当a>0时,函数g(x)=x2-x+1与h(x)=asin πx的大致图象如图所示,
要使得两函数图象只有一个交点,必须满足g12=h12,即34=asin π2,即a=34,故选B.
6.A 由函数的最大值为2,得A=2.
∵相邻对称轴间的距离为π2,
∴T2=π2,即T=π=2πω,∴ω=2,
则f(x)=2sin(2x+φ),
∵fπ6-x=fπ6+x,
∴直线x=π6是函数图象的对称轴,
则2×π6+φ=kπ+π2,k∈Z,
得φ=kπ+π6,k∈Z,
∵0<φ<π2,∴令k=0,得φ=π6,
则f(x)=2sin2x+π6,
当x∈-π4,θ时,
2x+π6∈-π3,2θ+π6,
令t=2x+π6,则t∈-π3,2θ+π6,
当t=-π3时,f(x)=2sin-π3=2×-32=-3,
∵当x∈-π4,θ时,f(x)的值域为[-3,2],
∴π2≤2θ+π6≤4π3,
解得π6≤θ≤7π12.
二、填空题
7.答案 c>b>a
解析 因为b=csπ10=sinπ2-π10=sin2π5,且y=sin x在0,π2上单调递增,
所以1>b=sin2π5>a=sinπ5,
因为π2>5π12>π4,y=tan x在π4,π2上单调递增,所以c=tan5π12>tan π4=1,
所以c>b>a.
8.答案 ①②④
解析 对于①,函数y=cs23x+π2=-sin23x,是奇函数,①正确;
对于②,当x=π8时,y=sin2×π8+5π4=-1,∴直线x=π8是函数y=sin2x+5π4图象的一条对称轴,②正确;
对于③,当α=π4,β=π4+2π时,满足α,β是第一象限角,α<β,但tan α=
tan β,③错误;
对于④,由A,B,C是锐角三角形ABC的内角,可得A+B>π2,即π2>A>π2-B>0,可得
sin A>sinπ2-B=cs B,故④正确.
综上,正确的结论是①②④.
9.答案 π
解析 由f(x)在区间π6,π2上具有单调性,
且f π2=-f π6知,函数f(x)图象的对称中心为π3,0,
由f π2=f 2π3知函数f(x)图象的对称轴为直线x=12π2+2π3=7π12,
设函数f(x)的最小正周期为T,则12T≥π2-π6,即T≥2π3,
所以7π12-π3=T4,解得T=π,故答案为π.
10.答案 ①
解析 若函数f(x)的定义域为[1,2],则函数f(2cs x)满足2cs x∈[1,2],得12≤cs x≤1,
解得-π3+2kπ≤x≤π3+2kπ(k∈Z),所以函数f(2cs x)的定义域为-π3+2kπ,π3+2kπ(k∈Z),故①正确.
对于函数y=tanx-π4+1,令x-π4=kπ2,k∈Z,得x=kπ2+π4,k∈Z,当k=0时,x=π4,y=1,故此函数图象的一个对称中心为π4,1,故②不正确.
对于函数y=sin2x-sin x+14-π6≤x≤π3,令sin x=t,因为-π6≤x≤π3,所以t∈-12,32,所以y=t2-t+14=t-122,t∈-12,32,当t=12时,ymin=0,当t=-12时,ymax=1,故此函数的值域为[0,1],故③不正确.
三、解答题
11.解析 f(x)=asinkx+π3的最小正周期T1=2πk,φ(x)=btankx-π3的最小正周期T2=πk.
由题意可知2πk+πk=3π2,∴k=2,
∴f(x)=asin2x+π3,
φ(x)=btan2x-π3,
∴f π2=asinπ+π3=-asin π3=
-32a,φπ2=btanπ−π3=-btan π3=-3b,
f π4=asinπ2+π3=acs π3=12a,
φπ4=btanπ2-π3=33b,
由已知可得-32a=−3b,12a=−3×33b+1,
化简得a=2b,12a=−b+1,解得a=1,b=12,
∴f(x)=sin2x+π3,
φ(x)=12tan2x-π3.
12.解析 (1)f(x)=-2(1-sin2x)-22sin x+2=2sinx-222-1,
∵x∈R,∴sin x∈[-1,1].
当sin x=22时,f(x)min=-1;
当sin x=-1时,f(x)max=2+22.
故f(x)的值域为[-1,2+22].
(2)由(1)得,f(α)=2sinα-222-1=3,
∴sinα-222=2,又α∈-π2,π2,∴α=-π4,
∴sin2α+π3=sin-π2+π3
=sin-π6=-12.
13.解析 (1)f x+π12=cs2x+π12+π3=cs2x+π2=-sin 2x.
令F(x)=f x+π12=-sin 2x,其定义域为R,关于原点对称,由于F(-x)=
-sin(-2x)=sin 2x=-F(x),所以F(x)是奇函数,即f x+π12是奇函数.
(2)g(x)=f x2=csx+π3,当x∈-π2,π2时,x+π3∈-π6,5π6,令g(x)=32,得x+π3=-π6或x+π3=π6,
即x=-π2或x=-π6,
又因为g(x)的最小正周期为π,
所以g(x)=32的解的集合为xx=kπ−π2或x=kπ−π6,k∈Z.
14.解析 (1)∵f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为π2,∴f(x)的最小正周期为π2,∴2π2|a| =π2,又a>0,∴a=2,
此时f(x)=-22sin4x+π4+12+b,
又∵f(x)的图象与x轴相切,
∴b+12=22,又b>0,
∴b=22-12.
(2)由(1)可得f(x)=-22sin4x+π4+22,∵x∈0,π4,
∴4x+π4∈π4,5π4,
∴当4x+π4=5π4,即x=π4时,f(x)取得最大值2+12;
当4x+π4=π2,即x=π16时,f(x)取得最小值0.