高中数学人教版新课标A选修2-32.4正态分布巩固练习

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-32.4正态分布巩固练习，共14页。试卷主要包含了下列关于正态分布N的命题，4kg，设随机变量X~N,P=0等内容，欢迎下载使用。


题组一 正态曲线及其特点
1.(2019山东栖霞二中高二下期末)下列关于正态分布N(μ,σ2)(σ>0)的命题:
①正态曲线关于y轴对称;
②当μ一定时,σ越大,正态曲线越“矮胖”,σ越小,正态曲线越“瘦高”;
③设随机变量X~N(2,4),则D12X等于2;
④当σ一定时,正态曲线的位置由μ确定,随着μ的变化曲线沿x轴平移.
其中正确的是( )
A.①②B.③④C.②④D.①④
2.(2019贵州思南中学高二月考)已知三个正态分布密度函数φi(x)=12πσie-(x-μi)22σi2(x∈R,i=1,2,3)的图象如图所示,则( )
A.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2>σ3
B.μ1=μ2<μ3,σ1=σ2<σ3
C.μ1=μ2<μ3,σ1<σ2=σ3
D.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3
3.(2020湖南师大附中高二上期末)甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ1,σ12),N(μ2,σ22),其正态分布密度曲线如图所示,则下列说法错误的是( )
A.甲类水果的平均质量μ1=0.4kg
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99
4.(2020山东菏泽一中高二月考)已知正态总体的概率密度函数为f(x)=18πe-x28(x∈R),则总体的平均数和标准差分别是 .
5.(2020广东惠州高二开学考试)研究珠海市农科奇观的某种作物,其单株生长果实个数ξ服从正态分布N(90,σ2),且P(ξ<70)=0.1,从中随机抽取10株,果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X,假设X服从二项分布,则X的方差为 .
6.已知随机变量X~N(μ,σ2),且正态分布密度函数在(-∞,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减函数,P(72(1)求参数μ,σ的值;
(2)求P(64附:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ题组二 正态分布的概率计算
7.(2020天津南开中学高二期末)设随机变量X~N(3,1.52),P(X<4)=0.7,则P(X≤2)=( )
A.0.3B.0.4
C.0.2D.0.1
8.(2019海南枫叶国际学校高二期末)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X≤4)=0.88,则P(09.若随机变量ξ~N(0,1),且ξ在区间(-3,-1)和(1,3)内取值的概率分别为p1,p2,则p1,p2的大小关系为( )
A.p1>p2B.p1=p2
C.p110.(2020山东德州高二期末)已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),若P(ξ<4)=0.9,则P(-2<ξ<1)=( )
A.0.2B.0.3
C.0.4D.0.6
11.(2020广东华南师大附中、实验中学、广雅中学、深圳中学高三上期末联考)已知随机变量X~B(2,p),Y~N(2,σ2),若P(X≥1)=0.64,P(0≤Y≤2)=p,则P(Y>4)= .
题组三 正态分布的应用
12.(2020安徽六安高三上第一次月考)已知随机变量X服从正态分布N(100,4),若P(m(附:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σA.100B.101
C.102D.103
13.(2020重庆南开中学高二月考)某市一次高三年级数学统测,经抽样分析,成绩X近似服从正态分布N(84,σ2),且P(78A.60B.80
C.100D.120
14.(2019山东济南高二下期末)某工厂生产的零件外直径X(单位:cm)服从正态分布N(10,0.04),现从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径分别为9.75cm和9.35cm,则可认为( )
A.上午生产情况异常,下午生产情况正常
B.上午生产情况正常,下午生产情况异常
C.上、下午生产情况均正常
D.上、下午生产情况均异常
15.(2020北京西城高二模拟)在新中国成立七十一周年之际,北京市某中学的数学课题研究小组在某社区设计了一个调查:在每天晚上7:30~10:00共2.5h内,居民浏览“学习强国”的时间.如果这个社区共有成年人10000人,每人每天晚上7:30~10:00期间打开“学习强国App”的概率均为p某人在某一时刻打开“学习强国”的概率p=学习时长调查总时长,0(1)试估计p的值;
(2)用X表示这个社区每天晚上7:30~10:00打开“学习强国”进行学习的人数.
①求X的数学期望和方差;
②若随机变量Z满足Z=X-E(X)D(X),可认为Z~N(0,1).假设当4950附:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ能力提升练
一、选择题
1.(2019贵州安顺第一高级中学高二期末,)某面粉供应商所供应的某种袋装面粉的质量服从正态分布N(10,0.12)(单位:kg),现随机抽取500袋作为样本,用X表示抽取的面粉质量在(10,10.2]内的袋数,则X的数学期望约为( )
(附:若随机变量Z~N(μ,σ2),则P(μ-2σ
A.171B.239C.341D.477
2.()设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),这两个正态分布密度曲线如图所示,则( )
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≥σ2)≥P(X≥σ1)
C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)
D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)
3.(2020江西新余高二上期末,)设随机变量X~N(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,若向正方形ABCD中随机投掷10000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )
(附:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σA.7539B.7028C.6587D.6038
4.(2020河南名校高三线上联考,)某单位有800名员工,工作之余,工会积极组织员工参与“日行万步”健身活动.经调查统计,得到全体员工近段时间日均健步走步数(单位:千步)的频率分布直方图如图所示.根据直方图可以认为,该单位员工日均健步走步数近似服从正态分布,计算得其方差为6.25.由此估计,在这段时间内,该单位员工中日均健步走步数在2千步至4.5千步(不含2千步,含4.5千步)的人数约为( )
附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σA.103B.105C.107D.109
二、填空题
5.()江先生上班通常乘坐公交或乘坐地铁,且他从家到公交站或地铁站都要步行5分钟.公交车多且路程近一些,但乘坐公交的路上经常拥堵,所需时间Z(单位:分钟)服从正态分布N(33,42),下车后从公交站步行到单位要12分钟;乘坐地铁畅通,但路线长且乘客多,所需时间Y(单位:分钟)服从正态分布N(44,22),下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟.若江先生要在9点钟之前赶到单位打卡上班,则①若8:00出门,则乘坐公交不会迟到;②若8:02出门,则乘坐地铁不迟到的可能性更大;③若8:06出门,则乘坐公交不迟到的可能性更大;④若8:12出门,则乘坐地铁几乎不可能不迟到.从统计的角度认为,以上说法中所有合理说法的序号是 .
参考数据:若随机变量Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ三、解答题
6.(2020湖南三湘名校联盟高三联考,)某学校为了解全校学生的体重情况,从全校学生中随机抽取了100人的体重数据,得到如下频率分布直方图,以样本的频率作为总体的概率.
(1)估计这100人体重数据的平均值μ和方差σ2;(结果取整数,同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(2)从全校学生中随机抽取3名学生,记X为体重在[55,65)的人数,求X的分布列和数学期望;
(3)由频率分布直方图可以认为,该校学生的体重Y近似服从正态分布N(μ,σ2).若P(μ-2σ0.9545,则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常,并说明理由.
7.()山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成,总分为750分.其中,统一高考科目为语文、数学、外语,自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6门科目中选择的3门,其中语、数、外三科各占150分,选考科目成绩则采用“赋分制”,即原始分数不直接用,而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此进行转换得到最后得分.根据高考综合改革方案,每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级.参照正态分布原则,确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等级考试成绩计入考生总成绩时,将A至E等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到91~100、81~90、71~80,61~70、51~60、41~50、31~40、21~30八个分数区间,得到考生的等级成绩.
例如,某考生化学学科的原始分为65分,该学科C+等级的原始分分布区间为58~69,则该同学化学学科的原始成绩属C+等级,而C+等级的转换分区间为61~70,若设该同学化学学科的转换等级分为x分,则该同学化学学科的转换分为69-6565-58=70-xx-61,解得x≈66.73,四舍五入后可得该同学化学学科的等级成绩为67分.
(1)某校高一年级共2000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六门选考科目进行测试,其中物理考试原始成绩ξ近似服从正态分布N(60,122).
(i)若小明同学在这次考试中物理学科的原始分为84分,等级为B+,其所在原始分分布区间为82~93,求小明转换后的物理成绩;
(ii)求物理学科原始分在区间(72,84]内的人数;
(2)按新的高考改革方案,若从全省考生中随机抽取4人,记X表示这4人中等级成绩在区间[61,80]的人数,求X的分布列和数学期望.
附:若随机变量ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973.
2.4 正态分布
基础过关练
1.C ①正态曲线关于直线x=μ对称,故①不正确;②当μ一定时,σ越大,正态曲线越“矮胖”,σ越小,正态曲线越“瘦高”,故②正确;③若随机变量X~N(2,4),则D12X的值等于1,故③不正确;④当σ一定时,正态曲线的位置由μ确定,随着μ的变化曲线沿x轴平移,故④正确.故选C.
2.D 由正态分布密度曲线的特点可知,当正态分布密度函数为φi(x)=12πσie-(x-μi)22σi2(x∈R,i=1,2,3)时,其对应图象的对称轴为直线x=μi,由题图易知,y=φ2(x)与y=φ3(x)的图象的对称轴重叠,且均位于y=φ1(x)的图象的对称轴的右侧,故μ1<μ2=μ3.又当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,故σ2<σ3,由题图易知y=φ1(x)与y=φ2(x)的图象形状相同,故σ1=σ2<σ3.故选D.
3.D 由题图可知,甲类水果的平均质量μ1=0.4kg,乙类水果的平均质量μ2=0.8kg,且甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右,故A,B,C中说法正确;乙类水果的质量服从的正态分布的参数满足12πσ2=1.99,∴σ2≠1.99,故D中说法错误,故选D.
4.答案 0,2
解析 ∵正态总体的概率密度函数为f(x)=18πe-x28(x∈R),∴总体的平均数为0,标准差为2.
5.答案 2.4
解析 因为ξ~N(90,σ2),所以P(90≤ξ≤110)=0.5-P(ξ>110),而P(ξ>110)=P(ξ<70)=0.1,所以P(90≤ξ≤110)=0.4,则X~B(10,0.4),所以D(X)=10×0.4×0.6=2.4.
6.解析 (1)由题意得,正态曲线关于直线x=80对称,即参数μ=80.
因为P(72所以结合P(μ-σ(2)P(μ-2σ因为P(X≤64)=P(X>96),
所以P(X≤64)≈12×(1-0.9545)
=12×0.0455=0.02275.
所以P(X>64)=0.97725.
又P(X≤72)=12[1-P(72≈12×(1-0.6827)=0.15865,
所以P(X>72)=0.84135,
P(6464)-P(X>72)=0.1359.
7.A 由于P(X<4)=0.7,故P(X≥4)=0.3,则P(X≤2)=P(X≥4)=0.3,故选A.
8.B 因为随机变量X服从正态分布N(2,σ2),所以其对应函数的图象的对称轴为直线x=2,又P(X≤4)=0.88,所以P(X≥4)=P(X≤0)=1-0.88=0.12,
所以P(09.B 画出该正态分布密度函数的图象,如图:
由图象的对称性可得,P(-3<ξ<-1)=P(1<ξ<3),故p1=p2.故选B.
10.C 由题意可知μ=1,则正态分布密度曲线关于直线x=1对称,P(ξ>4)=1-P(ξ<4)=0.1,根据对称性可知,P(ξ<-2)=P(ξ>4)=0.1,
故P(-2<ξ<1)=0.5-P(ξ<-2)=0.5-0.1=0.4.故选C.
11.答案 0.1
解析 ∵随机变量X~B(2,p),∴P(X≥1)=1-C20(1-p)2=0.64,解得p=0.4(p=1.6舍去).又Y~N(2,σ2),∴P(Y>4)=P(Y<0)=0.5-P(0≤Y≤2)=0.5-0.4=0.1.
12.C 因为P(μ-σP(μ-2σ所以P(μ-2σ13.B 由成绩X近似服从正态分布N(84,σ2),得正态分布密度曲线的对称轴为直线x=84,又由P(7814.B ∵X服从正态分布N(10,0.04),∴μ=10,σ=0.2,∴X∈(10-0.2×3,10+0.2×3),即X∈(9.4,10.6),∴上午生产情况正常,下午生产情况异常,故选B.
15.信息提取 ①现有10000人,100名成年人的平均学习时间频数统计表,求每天晚上打开“学习强国”进行学习的人数的数学期望和方差;②估计该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时间长度.
数学建模 以“学习强国”为情境构建二项分布与正态分布模型,求数学期望,结合正态分布的范围估计最佳学习氛围的时间长度.
解析 (1)该社区内的成年人每天晚上打开“学习强国”的平均时间为
55×10100+65×20100+75×40100+85×20100+95×10100=75(min),
而调查总时长为150min,
故p=75150=12.
(2)①根据题意,得X~B10000,12.
故E(X)=np=10000×12=5000,
D(X)=np(1-p)=10000×12×12=2500.
②Z=X-50002500=150X-100,
当4950则P(-1故P(4950∴估计该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时间长度为150×0.8186≈123(min).
能力提升练
一、选择题
1.B 由题意,设该种袋装面粉的质量为Z,易知Z服从正态分布N(10,0.12),所以μ=10,σ=0.1,
又P(μ-2σ2.C 由题图得,P(Y≥μ2)=12σ1>0,得P(X≥σ2)3.C 由题意知,正方形ABCD的边长为1,所以其面积S=1,又因为随机变量X~N(1,1),所以其正态分布密度曲线关于直线x=1对称,且σ=1,又由P(μ-σ4.D 由频率分布直方图估计该单位员工日均健步走步数的均值μ=1×0.04+3×0.08+5×0.16+7×0.44+9×0.16+11×0.1+13×0.02=6.96≈7,
设日均健步走步数为X(单位:千步),则X~N(7,6.25),
∴σ=2.5,则μ-σ=4.5,μ-2σ=2,∴P(2∵800×0.1359≈109,∴日均健步走步数在2千步至4.5千步(不含2千步,含4.5千步)的人数约为109,故选D.
二、填空题
5.答案 ③④
解析 ①若8:00出门,江先生乘坐公交,因为从家到公交站要5分钟,下公交后步行到单位要12分钟,并且乘坐公交所需时间Z服从正态分布N(33,42),所以当满足Z≤43时,江先生不会迟到,又P(Z>45)=1-P(21②若8:02出门,江先生乘坐公交,则当满足Z≤41时,江先生不会迟到,又P(Z≤41)=1-P(25③若8:06出门,江先生乘坐公交,则当满足Z≤37时,江先生不会迟到,又P(Z≤37)=1-P(29④若8:12出门,江先生乘坐地铁,则当满足Y≤38时,江先生不会迟到,又P(Y≤38)=1-P(38三、解答题
6.解析 (1)μ=(47.5+72.5)×0.004×5+(52.5+67.5)×0.026×5+(57.5+62.5)×0.07×5=60.
σ2=[(47.5-60)2+(72.5-60)2]×0.02+[(52.5-60)2+(67.5-60)2]×0.13+[(57.5-60)2+(62.5-60)2]×0.35≈25.
(2)由题图可得从全校学生中随机抽取1名学生,其体重在[55,65)的概率为0.7.
随机抽取3人,相当于3次独立重复试验,随机变量X服从二项分布B(3,0.7),
P(X=0)=C30×0.70×0.33=0.027,
P(X=1)=C31×0.7×0.32=0.189,
P(X=2)=C32×0.72×0.3=0.441,
P(X=3)=C33×0.73×0.30=0.343.
所以X的分布列为
E(X)=3×0.7=2.1.
(3)由题意知Y服从正态分布N(60,25),
则P(μ-2σ0.9545,
所以该校学生的体重是正常的.
7.解析 (1)(i)易知B+等级的转换分区间为81~90.设小明转换后的物理等级分为x分,则93-8484-82=90-xx-81,解得x≈82.64,
即小明转换后的物理成绩约为83分.
(ii)因为物理考试原始成绩ξ近似服从正态分布N(60,122),
所以P(72<ξ≤84)=P(60<ξ≤84)-P(60<ξ≤72)=12P(36<ξ≤84)-12P(48<ξ≤72)≈12×(0.9545-0.6827)=0.1359.
所以物理学科原始分在区间(72,84]内的人数为2000×0.1359≈272.
(2)由题意得,随机抽取1人,其等级成绩在区间[61,80]内的概率为16%+24%=40%=25,
则这4人中等级成绩在[61,80]的人数X~B4,25.
P(X=0)=354=81625,
P(X=1)=C41×251×353=216625,
P(X=2)=C42×252×352=216625,
P(X=3)=C43×253×351=96625,
P(X=4)=254=16625.
故X的分布列为
数学期望E(X)=4×25=85.
学习时
长/min
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频数
10
20
40
20
10
1.C
2.D
3.D
7.A
8.B
9.B
10.C
12.C
13.B
14.B
1.B
2.C
3.C
4.D
X
0
1
2
3
P
0.027
0.189
0.441
0.343
X
0
1
2
3
4
P
81625
216625
216625
96625
16625