高中3.2 双曲线一课一练

这是一份高中3.2 双曲线一课一练，共21页。试卷主要包含了已知曲线C，设双曲线C，设F1,F2是双曲线C，设F为双曲线C，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
考点一 椭圆的标准方程及几何性质
(2018课标全国Ⅱ,12,5分,)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为36的直线上,
△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为( )
A.23 B.12 C.13 D.14
2.(2019课标全国Ⅰ,10,5分,)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( )
A.x22+y2=1 B.x23+y22=1
C.x24+y23=1 D.x25+y24=1
考点二 双曲线的标准方程及几何性质
3.(多选)(2020新高考Ⅰ,9,5分,)已知曲线C:mx2+ny2=1.( )
A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上
B.若m=n>0,则C是圆,其半径为n
C.若mn0,则C是两条直线
4.(2020全国Ⅲ,11,5分,)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为5.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=( )
A.1 B.2 C.4 D.8
5.(2020全国Ⅰ,11,5分,)设F1,F2是双曲线C:x2-y23=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为( )
A.72 B.3 C.52 D.2
6.(2019课标全国Ⅱ,11,5分,)设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为( )
A.2 B.3 C.2 D.5
7.(2020江苏,6,5分,)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2a2-y25=1(a>0)的一条渐近线方程为y=52x,则该双曲线的离心率是 .
8.(2019江苏,7,5分,)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-y2b2=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是 .
考点三 直线与椭圆、双曲线的位置关系
9.(2018天津,7,5分,)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为( )
A.x24-y212=1 B.x212-y24=1
C.x23-y29=1 D.x29-y23=1
10.(2020江苏,18,16分,)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,点A在椭圆E上且在第一象限内,AF2⊥F1F2,直线AF1与椭圆E相交于另一点B.
(1)求△AF1F2的周长;
(2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q,求OP·QP的最小值;
(3)设点M在椭圆E上,记△OAB与△MAB的面积分别为S1,S2,若S2=3S1,求点M的坐标.
11.(2020新高考Ⅰ,22,12分,)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,且过点A(2,1).
(1)求C的方程;
(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.
12.(2020全国Ⅰ,20,12分,)已知A,B分别为椭圆E:x2a2+y2=1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,AG·GB=8.P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程;
(2)证明:直线CD过定点.
13.(2020北京,20,15分,)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1过点A(-2,-1),且a=2b.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点B(-4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x=-4于点P,Q.求|PB||BQ|的值.
三年模拟练
应用实践
1.(2020江苏淮安淮阴中学高二上学期期末,)过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于P,F2为其右焦点,若∠F1F2P=30°,则椭圆的离心率为( )

A.22 B.13 C.12 D.33
2.(2021天津滨海新区塘沽一中高二上学期期中,)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0),且a=2c,方程ax2+bx-c=0的两个实数根为x1,x2,则点P(x1,x2)( )
A.在圆x2+y2=2上 B.在圆x2+y2=2外
C.在圆x2+y2=2内 D.以上都有可能
3.()如图,从双曲线x23-y25=1的左焦点F引圆x2+y2=3的切线FP交双曲线右支于点P,T为切点,M为线段FP的中点,O为坐标原点,则MO-MT=( )
A.5-3 B.3 C.5 D.5+3
4.(2021江苏南京五校高二上学期10月联合调研,)光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点;光线从双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的光线的反向延长线经过另一个焦点.如图1,一个光学装置由有相同焦点F1,F2的椭圆Γ与双曲线Γ'构成,现一光线从左焦点F1发出,依次经过Γ'与Γ反射,又回到了点F1,历时t1秒;若将装置中的Γ'去掉,如图2,此光线从点F1发出,经Γ两次反射后又回到了点F1,历时t2秒.若t2=6t1,则Γ与Γ'的离心率之比为( )
A.1∶2 B.1∶2 C.2∶3 D.3∶4
5.(2021江苏徐州第一中学高二上学期期中,)椭圆x2m2+y24=1与双曲线x2a2-y24=1在第一象限的交点为T,F1,F2为公共的左、右焦点,且TF1b>0)的离心率e=32,A、B分别是椭圆的左、右顶点,点P是椭圆上一点,直线PA、PB的倾斜角分别为α、β,满足tan α+
tan β=1,则直线PA的斜率为 .
7.(2020江苏苏州高二上学期期末,)已知一族双曲线En:x2-y2=1n2+n(n∈N*,且n≤2 020),设直线x=2与En在第一象限内的交点为An,由An向En的两条渐近线作垂线,垂足分别为Bn,Cn.记△AnBnCn的面积为f(n),则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 020)= .
8.(2021江苏南通启东中学高二上学期期中,)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2,椭圆C上的动点到左焦点的距离的最大值为2+1.过点P(0,2)的直线l与椭圆C相交于A,B两点,线段AB的中点为M,且不与原点重合.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若y轴上的一点Q满足QA=QB,求证:线段QM的中点在定直线上;
(3)求PAPB的取值范围.
迁移创新
9.(2021江苏镇江高二上学期期中,)古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法.如图,将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的顶点和轴都重合),已知两个圆锥的底面直径均为4,侧面积均为25π.记过两个圆锥轴的截面为平面α,平面α与两个圆锥侧面的交线为AC,BD.已知平面β平行于平面α,平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C的一部分,且C的两条渐近线分别平行于AC,BD,则双曲线C的离心率为 .
3.1~3.2综合拔高练
五年高考练
1.D 由题意易知直线AP的方程为y=36(x+a),①
直线PF2的方程为y=3(x-c).②
联立①②得y=35(a+c),
如图,过P向x轴引垂线,垂足为H,则PH=35(a+c).
因为∠PF2H=60°,PF2=F1F2=2c,PH=35(a+c),
所以sin 60°=PHPF2=35(a+c)2c=32,
即a+c=5c,即a=4c,
所以e=ca=14.故选D.
解题关键
通过解三角形得到a与c的等量关系是解题的关键.
2.B 设|F2B|=x(x>0),则|AF2|=2x,|AB|=3x,
|BF1|=3x,|AF1|=4a-(|AB|+|BF1|)=4a-6x,
由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=2a=4x,所以|AF1|=2x.
在△BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|F2B|·|F1F2|cs∠BF2F1,即9x2=x2+22-4x·cs∠BF2F1①,
在△AF1F2中,由余弦定理可得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|·|F1F2|·cs∠AF2F1,即4x2=4x2+22+8x·cs∠BF2F1②,
由①②得x=32,所以2a=4x=23,a=3,所以b2=a2-c2=2.
所以椭圆的方程为x23+y22=1.故选B.
解题模板
由于涉及焦点,所以要利用椭圆的定义,通过解三角形建立方程求a的值,而b2=a2-1,故可得椭圆的方程.
3.ACD A选项中,若m>n>0,则方程mx2+ny2=1可变形为x21m+y21n=1,因为m>n>0,所以00)的渐近线方程为y=±5ax,∴5a=52,∴a=2,∴离心率e=1+b2a2=1+54=32.
8.答案 y=±2x
解析 由双曲线x2-y2b2=1(b>0)经过点(3,4),得9-16b2=1,解得b=±2,又b>0,所以b=2,
易知双曲线的焦点在x轴上,
故双曲线的渐近线方程为y=±bax=±2x.
9.C ∵双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,∴e2=1+b2a2=4,∴b2a2=3,即b2=3a2,∴c2=a2+b2=4a2,
由题意可设A(2a,3a),B(2a,-3a),
∵b2a2=3,∴渐近线方程为y=±3x,
设点A与点B到直线3x-y=0的距离分别为d1,d2,则d1=|23a-3a|2=23-32a,d2=|23a+3a|2=23+32a,又∵d1+d2=6,
∴23-32a+23+32a=6,解得a=3,∴b2=9.∴双曲线的方程为x23-y29=1,故选C.
方法归纳
求双曲线标准方程的方法:
(1)定义法:根据题目的条件,若满足双曲线的定义,求出a,b的值,即可求得方程.
(2)待定系数法:根据题目条件确定焦点的位置,从而设出所求双曲线的标准方程,利用题目条件构造关于a,b的方程(组),解得a,b的值,即可求得方程.
10.解析 (1)设椭圆E:x24+y23=1的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,则a2=4,b2=3,c2=1.
所以△AF1F2的周长为2a+2c=6.
(2)椭圆E的右准线为x=4.
设P(x,0),Q(4,y),
则OP=(x,0),QP=(x-4,-y),
OP·QP=x(x-4)=(x-2)2-4≥-4,
在x=2时取等号.
所以OP·QP的最小值为-4.
(3)因为椭圆E:x24+y23=1的左,右焦点分别为F1,F2,点A在椭圆E上且在第一象限内,AF2⊥F1F2,则F1(-1,0),F2(1,0),A1,32,所以直线AB:3x-4y+3=0.
设M(x,y),因为S2=3S1,
所以点M到直线AB的距离等于点O到直线AB的距离的3倍.
由此得|3x-4y+3|5=3×|3×0-4×0+3|5,
则3x-4y+12=0或3x-4y-6=0.
由3x-4y+12=0,x24+y23=1,得7x2+24x+32=0,此方程无解;
由3x-4y-6=0,x24+y23=1,得7x2-12x-4=0,所以x=2或x=-27.
代入直线l:3x-4y-6=0,对应分别得y=0或y=-127.
因此点M的坐标为(2,0)或-27,-127.
11.解析 (1)由题设得4a2+1b2=1,a2-b2a2=12,解得a2=6,b2=3.
所以C的方程为x26+y23=1.
(2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2).
若直线MN与x轴不垂直,设直线MN的方程为y=kx+m,代入x26+y23=1得(1+2k2)·x2+4kmx+2m2-6=0.
于是x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-61+2k2.①
由AM⊥AN知AM·AN=0,故(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0,可得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0.
将①代入上式可得(k2+1)2m2-61+2k2-(km-k-2)4km1+2k2+(m-1)2+4=0,
整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0.
因为A(2,1)不在直线MN上,
所以2k+m-1≠0,
故2k+3m+1=0,k≠1.
于是MN的方程为y=kx-23-13(k≠1).
所以直线MN过点P23,-13.
若直线MN与x轴垂直,则N(x1,-y1).
由AM·AN=0得(x1-2)(x1-2)+(y1-1)·(-y1-1)=0.
又x126+y123=1,可得3x12-8x1+4=0.
解得x1=2(舍去)或x1=23.
此时直线MN过点P23,-13.
令Q为AP的中点,即Q43,13.
若D与P不重合,则由题设知AP是Rt△ADP的斜边,故|DQ|=12|AP|=223.
若D与P重合,则|DQ|=12|AP|.
综上,存在点Q43,13,使得|DQ|为定值.
12.解析 (1)由题设得A(-a,0),B(a,0),G(0,1),则AG=(a,1),GB=(a,-1).由AG·GB=8得a2-1=8,即a=3.
所以E的方程为x29+y2=1.
(2)证明:设C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).
若t≠0,设直线CD的方程为x=my+n,由题意可知-30)的右焦点为F(c,0),且a=2c,所以b2=a2-c2=3c2,
因此x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=b2a2+2ca=3c24c2+1=74