数学苏教版 (2019)8.2离散型随机变量及其分布列达标测试

这是一份数学苏教版 (2019)8.2离散型随机变量及其分布列达标测试，共17页。试卷主要包含了2　离散型随机变量及其分布列，下列变量中不是随机变量的是等内容，欢迎下载使用。

8.2.1 随机变量及其分布列
基础过关练
题组一 随机变量与离散型随机变量的判定
1.下列变量中不是随机变量的是( )

A.某人投篮6次投中的次数
B.某日上证收盘指数
C.标准大气压下,水沸腾的温度
D.某人早晨在车站等出租车的时间
2.(2021湖北武汉部分重点中学高二期中)下列随机变量中不是离散型随机变量的是( )
A.抛掷一枚质地均匀的硬币5次,正面向上的次数M
B.从标有数字1~4的4个小球中任取2个小球,这2个小球所标的数字之和Y
C.某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T
D.将一枚质地均匀的骰子掷3次,3次出现的点数之和X
题组二 用随机变量表示随机试验的结果
3.(2021江苏泰州中学高二期中)甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,共下三局.用ξ表示甲最后的得分,则ξ=3表示( )
A.甲赢三局
B.甲赢一局输两局
C.甲、乙平局三次
D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
4.(2021安徽六安舒城中学高二月考)袋中装有10个红球,5个黑球,每次随机抽取一个球,若取到黑球,则放入袋中,直到取到红球为止,若抽取的次数为X,则表示“放入袋中5次小球”的事件为( )
A.X=4B.X=5C.X=6D.X≤4
5.在某次考试中需回答三个问题,考试规定:每题回答正确得100分,回答不正确或不答得-100分,则某同学回答这三个问题的总得分X的所有可能取值为 .
6.在一个盒子中放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中有放回地先后抽取两张卡片,标号分别为x,y,记X=|x-2|+|y-x|.写出随机变量X的可能取值,并说明随机变量X所表示的随机试验的结果.
题组三 离散型随机变量的概率分布
7.(2020广东实验中学高二下期中)从含有2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行某项调研活动,记女生入选的人数为X,则X的概率分布为( )
A
B
C
D
8.一盒中有12个乒乓球,其中9个新球,3个旧球,从盒中任取3个球来用,用完后放回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为( )
A.1220B.2755C.2125D.27220
9.一个袋中有6个大小、形状完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出三个球,以X表示取出球的最大号码.
(1)求X的概率分布;
(2)求X为偶数的概率.
10.(2021北京八中高二期中)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则如下:以O为起点,从图内A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.
(1)求小波参加学校合唱团的概率;
(2)求X的概率分布.
题组四 概率分布的性质及应用
11.设随机变量X的概率分布如下表所示:
若F(x)=P(X≤x),则当x的取值范围是[1,2)时,F(x)等于( )
A.13B.16C.12D.56
12.(2021江苏镇江高二期中)设随机变量ξ等可能地取1,2,3,4,…,10,又设随机变量η=2ξ-1,则P(η<6)=( )
A.0.3B.0.5C.0.1D.0.2
13.(2021江苏南通如皋中学高二月考)设随机变量ξ的概率分布如下表,则P(|ξ-3|=1)=( )
A.712B.12C.512D.16
14.(2021湖北荆、荆、襄、宜四地七校高二期中)某河流上的一座水力发电站每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位:毫米)有关.据统计,当X=70时,Y=460,X每增加10,Y增加5.已知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.
(1)完成如下的频率分布表;
近20年六月份降雨量频率分布表
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率.
题组五 两点分布
15.下列问题中的随机变量不服从两点分布的是( )
A.抛掷一枚骰子,所得点数为随机变量X
B.某射手射击一次,击中目标的次数为随机变量X
C.从装有5个红球,3个白球的袋中取1个球,令随机变量X=1,取出白球0,取出红球
D.某医生做一次手术,手术成功的次数为随机变量X
16.(2020安徽亳州第二中学高二下期末)已知离散型随机变量X的概率分布如表所示,则常数c的值为( )
A.13B.23C.13或23D.14
17.某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X描述1次试验的成功次数,则P(X=1)等于( )
A.0B.12C.13D.23
能力提升练
题组一 离散型随机变量概率分布列的性质及应用
1.(2021江苏盐城高二期末,)已知随机变量ξ的概率分布如下:
其中a,b,c成等差数列,则函数f(x)=x2+2x+ξ有且只有一个零点的概率为( )

A.16B.13
C.12D.56
2.(多选)(2020江苏东台安丰中学高二期中,)设随机变量ξ的概率分布列为Pξ=k5=ak(k=1,2,3,4,5),则( )
A.a=115
B.P(0.5<ξ<0.8)=0.2
C.P(0.1<ξ<0.5)=0.2
D.P(ξ=1)=0.3
3.(2021江苏苏州常熟中学高二期中,)已知随机变量X的概率分布为
若P(X2A.4≤x≤9B.4C.4≤x<9D.44.(2020河南信阳高二期末,)如图所示,A,B两点由5条线路并联,它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.记从中任取三条线路且在单位时间内通过的最大信息总量为ξ,则P(ξ≥8)= .
题组二 求离散型随机变量的概率分布
5.(2020北京顺义牛栏山一中高三模拟,)由于研究性学习的需要,中学生李华持续收集了手机“微信运动”团队中特定20名成员每天行走的步数,其中某一天的数据记录如下:
5 860 6 520 7 326 6 798 7 325 8 430 8 215 7 453 7 446 6 754
7 638 6 834 6 460 6 830 9 860 8 753 9 450 9 860 7 290 7 850
对这20个数据按组距为1 000进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统计表(设步数为x).
(1)写出m,n的值;
(2)从A,E两个组别的数据中任取2个数据,记这2个数据步数差的绝对值为X,求X的概率分布.
6.(2021江苏南京高三期末,)某校开展了校级乒乓球比赛,现有甲、乙两人进行比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满8局时停止.设甲在每局中获胜的概率为pp>12,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59.
(1)求p的值;
(2)设X表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量X的概率分布.
第8章 概率
8.2 离散型随机变量及其分布列
8.2.1 随机变量及其分布列
基础过关练
1.C 由随机变量的概念可知,标准大气压下,水在100 ℃时会沸腾,这不是随机变量,故选C.
2.C 在A中,掷5次硬币,正面向上的次数M可能取的值能按一定次序一一列出,故是离散型随机变量;在B中,从标有数字1~4的4个小球中任取2个小球,这2个小球所标的数字之和Y可能取的值能按一定次序一一列出,故是离散型随机变量;在C中,某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T可以取某一区间内的一切值,无法一一列出,故不是离散型随机变量;在D中,将一枚质地均匀的骰子掷3次,3次出现的点数之和X可能取的值能按一定次序一一列出,故是离散型随机变量.故选C.
3.D 甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,故ξ=3有两种情况,即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次,故选D.
4.C 如果没有抽到红球,则将黑球放回,然后继续抽取,所以“放入袋中5次小球”即前5次抽到的都是黑球,第6次抽到了红球,故X=6,故选C.
5.答案 -300,-100,100,300
解析 若答对0个问题,则得分为-300;若答对1个问题,则得分为-100;若答对2个问题,则得分为100;若问题全答对,则得分为300.
6.解析 因为x,y的可能取值均为1,2,3,所以|x-2|=0或1,|y-x|=0或1或2,
所以X的可能取值为0,1,2,3.
用(x,y)表示第一次抽到的卡片号码为x,第二次抽到的卡片号码为y,则随机变量X取各值的意义如下:
X=0表示(2,2);
X=1表示(1,1),(2,1),(2,3),(3,3);
X=2表示(1,2),(3,2);
X=3表示(1,3),(3,1).
7.A 由题意得X的可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=C83C103=715,
P(X=1)=C82C21C103=715,
P(X=2)=C81C22C103=115.
故X的概率分布如表所示.
故选A.
8.D 因为从盒中任取3个球来用,用完后放回盒中,此时盒中旧球个数X=4,即旧球增加一个,所以取出的三个球为1个新球,2个旧球,所以P(X=4)=C91C32C123=27220,故选D.
9.解析 (1)由题意知X的可能取值是3,4,5,6.
∴P(X=3)=1C63=120,P(X=4)=C32C63=320,
P(X=5)=C42C63=620=310,P(X=6)=C52C63=1020=12,
∴X的概率分布为
(2)X为偶数包括两种情况:X=4,X=6,
∴X是偶数的概率是320+12=1320.
10.信息提取 ①以O为起点,从A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量;②两个向量的数量积为X;③若X=0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.
数学建模 以向量的数量积为背景考查随机变量X的概率分布,先根据向量数量积的定义和图形的特点求出X的所有可能取值,然后求出每一个取值对应的概率,从而求出X的概率分布.
解析 (1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C82=28种,
当X=0时,两向量夹角为90°,共有8种情况,
所以小波参加学校合唱团的概率为P(X=0)=828=27.
(2)两向量数量积X的所有可能取值为-2,-1,0,1.
当X=-2时,有2种情况;
当X=-1时,有10种情况;
当X=0时,有8种情况;
当X=1时,有8种情况.
故P(X=-2)=228=114,
P(X=-1)=1028=514,
P(X=0)=828=27,
P(X=1)=828=27.
所以X的概率分布为
11.D 由概率分布的性质,得a+13+16=1,∴a=12,又x∈[1,2),∴F(x)=P(X≤x)=P(X≤1)=12+13=56.
12.A 由已知得P(ξ=k)=110,k=1,2,3,…,10,
由η=2ξ-1<6,得ξ<72,即ξ=1,2,3.
所以P(η<6)=P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=310=0.3,故选A.
13.A 易知112+a+13+13=1,∴a=14.
由|ξ-3|=1,解得ξ=2或ξ=4,故P(|ξ-3|=1)=P(ξ=2)+P(ξ=4)=14+13=712.
14.解析 (1)所给数据中,降雨量为110毫米的有3个,160毫米的有7个,200毫米的有3个,故补全频率分布表如下:
(2)根据题意,Y=460+X-7010×5=X2+425,
故P(Y<490或Y>530)=P(X<130或X>210)
=P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)
=120+320+110=310.
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为310.
15.A A中随机变量X的可能取值有6个,不服从两点分布,故选A.
16.A 由离散型随机变量分布列的性质知,9c2-c≥0,3-8c≥0,9c2-c+3-8c=1,解得c=13,故选A.
17.D 设失败率为p,则成功率为2p,
∴X的概率分布如表所示.
∴p+2p=1,解得p=13,
∴P(X=1)=23,故选D.
能力提升练
1.B 由题意知a,b,c∈[0,1],且2b=a+c,a+b+c=1,解得b=13.若函数f(x)=x2+2x+ξ有且只有一个零点,则方程x2+2x+ξ=0有两个相等的实根,故Δ=4-4ξ=0,解得ξ=1,所以所求概率为P(ξ=1)=13,故选B.
2.ABC ∵随机变量ξ的概率分布列为Pξ=k5=ak(k=1,2,3,4,5),∴Pξ=15+Pξ=25+Pξ=35+Pξ=45+P(ξ=1)=a+2a+3a+4a+5a=15a=1, 解得a=115,故A正确;P(0.5<ξ<0.8)=Pξ=35=3×115=0.2,故B正确;P(0.1<ξ<0.5)=Pξ=15+Pξ=25=115+2×115=0.2,故C正确;P(ξ=1)=5×115=13≠0.3,故D错误.故选ABC.
3.B 由随机变量X的概率分布知X2的可能取值为0,1,4,9,其中P(X2=0)=P(X=0)=13,
P(X2=1)=P(X=-1)+P(X=1)=14+112=13,P(X2=4)=P(X=-2)+P(X=2)=112+16=14,P(X2=9)=P(X=3)=112,
因为P(X24.答案 45
解析 由已知条件得,ξ的可能取值为7,8,9,10.
P(ξ=7)=C22C21C53=15,
P(ξ=8)=C22C11+C22C21C53=310,
P(ξ=9)=C21C21C11C53=25,
P(ξ=10)=C22C11C53=110,
所以ξ的概率分布为
所以P(ξ≥8)=1-P(ξ=7)=1-15=45.
5.解析 (1)根据题中所给的20个数据可得步数在[7 500,8 500)范围的有4个,所以m=4,步数在[9 500,10 500)范围的有2个,所以n=2.
(2)A,E两个组别共有4个数据:5 860,6 460,9 860,9 860.从中任取两个数据有6种取法,X的可能取值为 0,600,3 400,4 000,
P(X=0)=16,P(X=600)=16,
P(X=3 400)=26=13,
P(X=4 000)=26=13.
故X的概率分布如表所示.
6.信息提取 ①每局胜者得1分,负者得0分;②比赛进行到有一人比对方多2分或打满8局时停止;③甲在每局中获胜的概率为pp>12;④第二局比赛结束时比赛停止的概率为59.
数学建模 以乒乓球比赛为背景考查离散型随机变量的概率分布问题.
解析 (1)依题意,当甲连胜2局或乙连胜2局时,第二局比赛结束时比赛停止,
所以p2+(1-p)2=59,解得p=23或p=13(舍去).故p的值为23.
(2)依题意知X的可能取值为2,4,6,8.
记前两局比赛为第一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为59,若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.
从而有P(X=2)=59,
P(X=4)=1-59×59=2081,
P(X=6)=1-59×1-59×59=80729,
P(X=8)=1-59×1-59×1-59×1=64729.
所以随机变量X的概率分布为
X
0
1
2
P
715
715
115
X
1
2
3
P
115
715
715
X
0
1
2
P
12
13
16
X
0
1
2
P
115
715
715
X
0
1
2
P
a
13
16
ξ
1
2
3
4
P
112
a
13
13
降雨量
(单位:毫米)
70
110
140
160
200
220
频率
120
15
110
X
0
1
P
9c2-c
3-8c
ξ
0
1
2
P
a
b
c
X
-2
-1
0
1
2
3
P
112
14
13
112
16
112
组别
步数分组
频数
A
5 500≤x<6 500
2
B
6 500≤x<7 500
10
C
7 500≤x<8 500
m
D
8 500≤x<9 500
2
E
9 500≤x<10 500
n
X
0
1
2
P
715
715
115
X
3
4
5
6
P
120
320
310
12
X
-2
-1
0
1
P
114
514
27
27
降雨量
(单位:毫米)
70
110
140
160
200
220
频率
120
320
15
720
320
110
X
0
1
P
p
2p
ξ
7
8
9
10
P
15
310
25
110
X
0
600
3 400
4 000
P
16
16
13
13
X
2
4
6
8
P
59
2081
80729
64729