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第八章达标检测-2022版数学选择性必修第一册 苏教版（2019） 同步练习 （Word含解析）
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这是一份第八章达标检测-2022版数学选择性必修第一册 苏教版（2019） 同步练习 （Word含解析），共20页。
第8章 概率
本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子,观察向上的点数,记“红骰子向上的点数为奇数”为事件A,“两颗骰子的点数之积为奇数”为事件B,则P(B|A)= ( )
A.12 B.13 C.14 D.16
2.已知随机变量X的概率分布如下表所示,且E(X)=2.5,则a-b= ( )
X
1
2
3
4
P
14
316
a
b
A.34 B.38 C.316 D.332
3.已知X是离散型随机变量,P(X=1)=14,P(X=a)=34,E(X)=74,则D(2X-1)= ( )
A.14 B.34
C.15 D.35
4.某市为弘扬我国优秀的传统文化,组织全市10万中小学生参加网络古诗词知识答题比赛,满分100分,分析比赛成绩,发现成绩X服从正态分布N(82,16),则比赛成绩不小于90分的学生人数约为 ( )
(参考数据:P(μ-σ
5.在10个排球中有6个正品,4个次品,从中抽取4个,则正品数比次品数少的概率为 ( )
A.542 B.435
C.1942 D.821
6.已知n是一个三位正整数,若n的十位数字大于个位数字,百位数字大于十位数字,则称n为三位递增数.已知a,b,c∈{0,1,2,3,4},设事件A为“由a,b,c组成三位正整数”,事件B为“由a,b,c组成三位递增数”,则P(B|A)= ( )
A.35 B.110
C.225 D.1225
7.已知随机变量ξ的概率分布如下,则D(ξ)的取值范围是( )
ξ
2
0
-2
P
14
12-a
14+b
A.0,34 B.(0,3]
C.34,32 D.34,3
8.已知随机变量X服从正态分布N(10,σ2),P(X>12)=m,P(8≤X≤10)=n,且m,n均大于0,则1m+2n的最小值为 ( )
A.3+42 B.6+22
C.3+22 D.6+42
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.为了增加系统的可靠性,人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才驱动的设备).已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”(即一台正常设备,两台备用设备)的配置,这三台设备中,只要有一台能正常工作,计算机的网络就不会断掉,如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9,它们之间相互不影响,则 ( )
A.三台设备中至多有一台设备能正常工作的概率为0.027
B.计算机网络不会断掉的概率为0.999
C.能正常工作的设备数的数学期望为0.27
D.能正常工作的设备数的方差为0.27
10.一袋中有6个大小相同的黑球,分别编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,分别编号为7,8,9,10,现从中任取4个球,则下列结论中正确的是 ( )
A.取出的最大号码X服从超几何分布
B.取出的黑球个数Y服从超几何分布
C.取出2个白球的概率为114
D.若取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,则总得分最大的概率为114
11.随机变量ξ的概率分布如下表所示,其中ab≠0,则下列说法正确的是 ( )
ξ
0
1
2
P
a
b2
b2
A.a+b=1
B.E(ξ)=3b2
C.D(ξ)随b的增大而减小
D.D(ξ)有最大值
12.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别用A1,A2和A3表示从甲罐中取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,用B表示从乙罐中取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是 ( )
A.P(B)=25
B.P(B|A1)=511
C.事件B与事件A1相互独立
D.A1,A2,A3是两两互斥的事件
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)
13.已知随机变量X~B(n,p),若E(X)=20,D(X)=16,则p= .
14.某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩状况,因此可以把统考成绩作为总体,设平均成绩μ=480,标准差σ=100,总体服从正态分布,若全市重点校录取率为40%,那么重点录取分数线可能划在 分(已知φ(0.25)=0.6).
15.甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习,记两人所选课程相同的门数为X,则E(X)= .
16.在等差数列{an}中,a4=2,a7=-4.现从{an}的前10项中随机取数,每次取出一个数,取后放回,连续抽取3次,假定每次取数互不影响,那么在这三次取数中,取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率是 (用数字作答).
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)假设手机市场供应的智能手机中,市场占有率和优质率的信息如下表所示.
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
50%
30%
20%
优质率
95%
90%
70%
在该市场中任意买一部智能手机.
(1)求买到的是优质品的概率;
(2)若买到的是优质品,求它是甲品牌的概率.(精确到0.1%)
18.(本小题满分12分)盒中共有12个球,其中有5个红球,4个黄球和3个绿球,这些球除颜色外完全相同.
(1)从盒中一次随机抽取三个球,求取出的球的颜色相同的概率;
(2)从盒中一次随机抽取三个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2,x3中的最大值,求X的概率分布和数学期望E(X).
19.(本小题满分12分)某电商平台准备今年的周年庆典活动,为了更精准地投放优惠券以提高销售额,对去年周年庆典活动中的优惠券使用情况和用户消费金额进行了统计分析,统计结果显示,去年老用户的消费金额满足正态分布,设消费金额为X(单位:元),X~N(600,16),如图所示,经计算得P(600≤X<720)=0.3.
(1)求P(X<480);
(2)根据去年的统计结果,该电商平台今年预备推出“消费金额每满300元减30元”和“消费金额每满800元减90元”两种优惠券,为了进一步了解用户的购买意向,计划把去年的用户按消费金额分成四组:(0,480),[480,600),[600,720),[720,+∞),用分层抽样的方法抽取10位去年的老用户作为幸运用户,赠送礼品并进行问卷调查.
(i)计算各组应抽的老用户数;
(ii)为了了解用户对今年的两种优惠券的意见,确定两种优惠券的投放比例,从[480,600),[600,720)两组的幸运用户中随机抽取3人进行面对面访谈,记从[480,600)一组中抽取的人数为ξ,求ξ的概率分布和数学期望.
20.(本小题满分12分)在某校篮球投篮比赛中,规定每人投篮3次,指定的3分区投中一次得3分,2分区投中一次得2分,没有命中一律得0分,按总分高低确定比赛名次.现有两种方案供参赛选手任意选择,方案一:在3分区连续投篮3次;方案二:第一次在3分区投篮,以后按如下规则投篮,若本次在3分区投篮命中,则下一次继续在3分区投篮,若没有命中,则下一次转到2分区投篮,若本次在2分区投篮命中,则下一次转到3分区投篮,若没有命中,则下一次继续在2分区投篮,现某同学在指定3分区投篮命中的概率为13,在指定2分区投篮命中的概率为23.
(1)求该同学采用方案一投篮,得分不低于6分的概率;
(2)试问:该同学选择何种方案参加比赛更合理?并说明理由.
21.(本小题满分12分)手工艺是一种生活态度和对传统的坚持,在我国有很多手工艺品制作村落,村民的手工技艺世代相传,有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名,还大量远销海外.近年来某手工艺品制作村制作的手工艺品在国外备受欢迎,该村村民成立了手工艺品外销合作社,为严把质量关,合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关,质量把关程序如下:①对于一件手工艺品,若3位行家都认为质量过关,则该手工艺品质量为A级;②若仅有1位行家认为质量不过关,再由另外2位行家进行第二次质量把关,若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关,则该手工艺品质量为B级,若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关,则该手工艺品质量为C级;③若有2位或3位行家认为质量不过关,则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为13,且各手工艺品质量是否过关相互独立.
(1)求一件手工艺品质量为B级的概率;
(2)若一件手工艺品质量为A,B,C级则可外销,且利润分别为900元,600元,300元,质量为D级不能外销,利润为100元.
(i)求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最可能有多少件;
(ii)记1件手工艺品的利润为X元,求X的概率分布与期望.
22.(本小题满分12分)十九大以来,某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求,带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏,新农村建设取得巨大进步,农民年收入也逐年增加.为了制订提升农民年收入、实现2020年脱贫的工作计划,该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图估计这50位农民的年平均收入x(单位:千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示);
(2)由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为年平均收入x,σ2近似为样本方差s2,经计算得s2=6.92,利用该正态分布解决下列问题:
(i)在扶贫攻坚工作中,若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制订的最低年收入标准,则最低年收入标准大约为多少千元?
(ii)为了调研“精准扶贫,不落一人”的政策要求落实情况,扶贫办随机走访了1 000位农民.若每位农民的年收入相互独立,问:这1 000位农民中年收入大于12.14千元的人数最有可能是多少?
附:6.92≈2.63,若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ
本章达标检测
一、单项选择题
1.A 由题意得P(A)=12,P(AB)=14,则P(B|A)=P(AB)P(A)=1412=12,故选A.
2.C 由题意得14+316+a+b=1,1×14+2×316+3a+4b=2.5,
解得a=38,b=316,
∴a-b=316 .故选C.
3.B 因为P(X=1)+P(X=a)=14+34=1,所以X只能取1和a,则E(X)=1×14+34a=74,解得a=2,即P(X=2)=34,则D(X)=14×1-742+34×2-742=316,则D(2X-1)=4D(X)=4×316=34.
4.A 依题意知,μ=82,σ=4,所以P(74
6.B 因为a,b,c∈{0,1,2,3,4},
所以由a,b,c组成的三位正整数有4×5×5=100(个),即n(A)=100,
其中满足三位递增数的有以下三类:
①当百位数字为2时,有1个,
②当百位数字为3时,有C32=3(个),
③当百位数字为4时,有C42=6(个),
所以n(AB)=1+3+6=10(个),
所以P(B|A)=n(AB)n(A)=10100=110,故选B.
7.D 由ξ的概率分布可知
14+12-a+14+b=1,12-a≥0,14+b≥0,
解得a=b,-14≤a≤12,
E(ξ)=2×14-2×14+b=-2b,
D(ξ)=(2+2b)2×14+(0+2b)2×12-a+(-2+2b)2×14+b
=-4a2+4a+2,
其图象的对称轴为直线a=12,则D(ξ)在-14,12上单调递增,
当a=-14时,D(ξ)=34,
当a=12时,D(ξ)=3,
所以34≤D(ξ)≤3,故选D.
8.D 由于X~N(10,σ2),故由正态密度曲线的对称性可知,P(X>12)=P(X<8)=m,
所以P(X<8)+P(8≤X≤10)=12,即m+n=12,∴2m+2n=1,且m,n均大于0,
由不等式的性质可得1m+2n=1m+2n(2m+2n)=4mn+2nm+6≥24mn·2nm+6=42+6,
当且仅当4mn=2nm,即n=2m=1-22时,等号成立,
故1m+2n的最小值为6+42,故选D.
二、多项选择题
9.BD 由题意,三台设备各自能正常工作的概率都为0.9,且相互独立,则至多有一台设备能正常工作的概率为C31×0.9×(1-0.9)2+(1-0.9)3=0.028,所以A不正确;计算机网络不会断掉的概率为1-(1-0.9)3=0.999,所以B正确;设能正常工作的设备数为X,根据题意,X~B(3,0.9),所以能正常工作的设备数X的数学期望E(X)=3×0.9=2.7,所以C不正确;能正常工作的设备数的方差为3×0.9×(1-0.9)=0.27,所以D正确.故选BD.
10.BD 由超几何分布的概念知A错误,B正确;对于C,取出2个白球的概率P=C42C62C104=37,故C错误;对于D,若取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,则取出四个黑球的总得分最大,∴总得分最大的概率为C64C104=114,故D正确.故选BD.
11.ABD 由题意可知a+b2+b2=1,即a+b=1,所以A正确;E(ξ)=0×a+1×b2+2×b2=3b2,所以B正确;D(ξ)=a0-3b22+b21-3b22+b22-3b22=-94b2+52b,b∈(0,1),易知其在0,59上是增函数,在59,1上是减函数,所以D(ξ)先增大后减小,有最大值,且当b=59时取得最大值,所以C错误,D正确.故选ABD.
12.BD 因为每次取一球,所以A1,A2,A3是两两互斥的事件,故D正确;因为P(A1)=510,P(A2)=210,P(A3)=310,所以P(B|A1)=P(BA1)P(A1)=510×511510=511,故B正确;同理P(B|A2)=P(BA2)P(A2)=210×411210=411,P(B|A3)=P(BA3)P(A3)=310×411310=411,所以P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=510×511+210×411+310×411=922,故A、C错误.故选BD.
三、填空题
13.答案 15
解析 由题意得np=20,np(1-p)=16,
解得n=100,p=15.
14.答案 505
解析 设学生的成绩为X.∵平均成绩μ=480,标准差σ=100,总体服从正态分布,∴X~N(480,1002).设重点录取分数线可能划在f分,则P(X≥f)=1-P(X
解析 由已知得X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=C63C33C63C63=120,
P(X=1)=C61C52C32C63C63=920,
P(X=2)=C62C41C31C63C63=920,
P(X=3)=C63C63C63=120,
∴E(X)=0×120+1×920+2×920+3×120=32.
16.答案 625
解析 由a4=2,a7=-4可得等差数列{an}的通项公式为an=10-2n(n=1,2,3,…).
{an}的前10项分别为8,6,4,2,0,-2,-4,-6,-8,-10.由题意知,三次取数相当于进行了三次独立重复试验,在每次试验中取得正数的概率为25,取得负数的概率为12,则在三次取数中,取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为C32252×121=625.
四、解答题
17.解析 (1)用A1,A2,A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌,B表示买到的是优质品,
由已知条件可得P(A1)=50%,P(A2)=30%,P(A3)=20%, (2分)
且P(B|A1)=95%,P(B|A2)=90%,P(B|A3)=70%, (4分)
所以由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=50%×95%+30%×90%+20%×70%=88.5%. (7分)
(2)由(1)和贝叶斯公式得
P(A1|B)=P(A1)P(B|A1)P(B)=50%×95%88.5%≈53.7%. (10分)
18.解析 (1)从盒中一次随机抽取三个球有C123种取法, (2分)
其中颜色相同的取法有C33+C43+C53=15(种), (4分)
所以从盒中随机一次抽取三个球,取出的球的颜色相同的概率P=15C123=344. (5分)
(2)由题意得X的可能取值为1,2,3.
当X=1时,表示所取出的三个球每种颜色各一个,则P(X=1)=C51C41C31C123=311, (7分)
当X=3时,表示所取出的三个球的颜色相同,则P(X=3)=344, (9分)
所以P(X=2)=1-311-344=2944. (10分)
所以X的概率分布为
X
1
2
3
P
311
2944
344
所以E(X)=1×311+2×3944+3×344=94. (12分)
19.解析 (1)因为X~N(600,16),且P(600≤X<720)=0.3,
所以P(X<480)=1-0.3×22=0.2. (3分)
(2)(i)根据正态分布的对称性得P(480≤X<600)=0.3,P(X≥720)=0.2, (5分)
所以从(0,480)一组中抽10×0.2=2(人),
从[480,600)一组中抽10×0.3=3(人),
从[600,720)一组中抽10×0.3=3(人),
从[720,+∞)一组中抽10×0.2=2(人). (7分)
(ii)由(i)知,两组各有幸运用户3人,ξ的可能取值为0,1,2,3,
P(ξ=0)=C33C63=120,P(ξ=1)=C31C32C63=920,
P(ξ=2)=C32C31C63=920,P(ξ=3)=C33C63=120, (9分)
所以ξ的概率分布为
ξ
0
1
2
3
P
120
920
920
120
所以ξ的数学期望E(ξ)=0×120+1×920+2×920+3×120=32. (12分)
20.解析 (1)因为在3分区投中得3分,投不中得0分,
所以该同学采用方案一投篮,得分不低于6分的情况有:
两次投中一次不中或三次全部投中,所以所求概率P=C32×132×23+133=727. (3分)
(2)该同学采用方案一投篮的得分X的可能取值为0,3,6,9,
则P(X=0)=233=827,
P(X=3)=C31×13×232=49,
P(X=6)=C32×132×23=29,
P(X=9)=133=127, (6分)
所以X的概率分布为
X
0
3
6
9
P
827
49
29
127
所以E(X)=0×827+3×49+6×29+9×127=3. (8分)
该同学采用方案二投篮的得分Y的可能取值为0,2,3,5,6,9,则
P(Y=0)=23×13×13=227,
P(Y=2)=23×23×23+23×13×23=49,
P(Y=3)=13×23×13=227,
P(Y=5)=13×23×23+23×23×13=827,
P(Y=6)=13×13×23=227,
P(Y=9)=13×13×13=127, (10分)
所以Y的概率分布为
Y
0
2
3
5
6
9
P
227
49
227
827
227
127
所以E(Y)=0×227+2×49+3×227+5×827+6×227+9×127=9127,
因为E(X)
(2)(i)由题意可得一件手工艺品质量为D级的概率为C32×132×1-13+C33×133=727, (4分)
设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能有ξ件,则ξ~B10,727,
则P(ξ=k)=C10k727k202710-k,其中k=0,1,2,…,10, (6分)
P(ξ=k+1)P(ξ=k)=C10k+1727k+120279-kC10k727k202710-k=70-7k20k+20.
由70-7k20k+20=1得k=5027,整数k不存在,
由70-7k20k+20>1得k<5027,所以当k≤1时,P(ξ=k+1)>P(ξ=k),即P(ξ=2)>P(ξ=1)>P(ξ=0),
由70-7k20k+20<1得k>5027,所以当k≥2时,P(ξ=k+1)
(ii)由题意可知,一件手工艺品质量为A级的概率为1-133=827,一件手工艺品质量为B级的概率为1681,
一件手工艺品质量为C级的概率为C31×13×1-132×C21×13×1-13+132=2081,
一件手工艺品质量为D级的概率为727, (10分)
所以X的概率分布为
X
900
600
300
100
P
827
1681
2081
727
则期望E(X)=900×827+600×1681+300×2081+100×727=1310027. (12分)
22.解析 (1)x=12×0.04+14×0.12+16×0.28+18×0.36+20×0.10+22×0.06+24×0.04=17.40,故估计这50位农民的年平均收入x为17.40千元. (3分)
(2)由题意知X~N(17.40,6.92).
(i)P(X>μ-σ)≈12+0.68272≈0.841 4,
所以μ-σ≈17.40-2.63=14.77时,满足题意,
即最低年收入标准大约为14.77千元. (6分)
(ii)由P(X>12.14)=P(X>μ-2σ)≈0.5+0.95452≈0.977 3,
可知每位农民的年收入大于12.14千元的概率约为0.977 3,
记这1 000位农民中年收入大于12.14千元的人数为Y,
则Y~B(1 000,p),其中p≈0.977 3, (8分)
于是恰好有k(k∈N*)位农民的年收入大于12.14千元的概率为P(Y=k)=C103kpk(1-p)103-k,
从而由P(Y=k)P(Y=k-1)=(1001-k)×pk×(1-p)>1,
得k<1 001p,而1 001p≈978.277 3,
所以当0≤k≤978且k∈N*时,P(Y=k-1)
由此可知,在所走访的1 000位农民中,年收入大于12.14千元的人数最有可能是978.
(12分)
第8章 概率
本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子,观察向上的点数,记“红骰子向上的点数为奇数”为事件A,“两颗骰子的点数之积为奇数”为事件B,则P(B|A)= ( )
A.12 B.13 C.14 D.16
2.已知随机变量X的概率分布如下表所示,且E(X)=2.5,则a-b= ( )
X
1
2
3
4
P
14
316
a
b
A.34 B.38 C.316 D.332
3.已知X是离散型随机变量,P(X=1)=14,P(X=a)=34,E(X)=74,则D(2X-1)= ( )
A.14 B.34
C.15 D.35
4.某市为弘扬我国优秀的传统文化,组织全市10万中小学生参加网络古诗词知识答题比赛,满分100分,分析比赛成绩,发现成绩X服从正态分布N(82,16),则比赛成绩不小于90分的学生人数约为 ( )
(参考数据:P(μ-σ
5.在10个排球中有6个正品,4个次品,从中抽取4个,则正品数比次品数少的概率为 ( )
A.542 B.435
C.1942 D.821
6.已知n是一个三位正整数,若n的十位数字大于个位数字,百位数字大于十位数字,则称n为三位递增数.已知a,b,c∈{0,1,2,3,4},设事件A为“由a,b,c组成三位正整数”,事件B为“由a,b,c组成三位递增数”,则P(B|A)= ( )
A.35 B.110
C.225 D.1225
7.已知随机变量ξ的概率分布如下,则D(ξ)的取值范围是( )
ξ
2
0
-2
P
14
12-a
14+b
A.0,34 B.(0,3]
C.34,32 D.34,3
8.已知随机变量X服从正态分布N(10,σ2),P(X>12)=m,P(8≤X≤10)=n,且m,n均大于0,则1m+2n的最小值为 ( )
A.3+42 B.6+22
C.3+22 D.6+42
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.为了增加系统的可靠性,人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才驱动的设备).已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”(即一台正常设备,两台备用设备)的配置,这三台设备中,只要有一台能正常工作,计算机的网络就不会断掉,如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9,它们之间相互不影响,则 ( )
A.三台设备中至多有一台设备能正常工作的概率为0.027
B.计算机网络不会断掉的概率为0.999
C.能正常工作的设备数的数学期望为0.27
D.能正常工作的设备数的方差为0.27
10.一袋中有6个大小相同的黑球,分别编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,分别编号为7,8,9,10,现从中任取4个球,则下列结论中正确的是 ( )
A.取出的最大号码X服从超几何分布
B.取出的黑球个数Y服从超几何分布
C.取出2个白球的概率为114
D.若取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,则总得分最大的概率为114
11.随机变量ξ的概率分布如下表所示,其中ab≠0,则下列说法正确的是 ( )
ξ
0
1
2
P
a
b2
b2
A.a+b=1
B.E(ξ)=3b2
C.D(ξ)随b的增大而减小
D.D(ξ)有最大值
12.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别用A1,A2和A3表示从甲罐中取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,用B表示从乙罐中取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是 ( )
A.P(B)=25
B.P(B|A1)=511
C.事件B与事件A1相互独立
D.A1,A2,A3是两两互斥的事件
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)
13.已知随机变量X~B(n,p),若E(X)=20,D(X)=16,则p= .
14.某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩状况,因此可以把统考成绩作为总体,设平均成绩μ=480,标准差σ=100,总体服从正态分布,若全市重点校录取率为40%,那么重点录取分数线可能划在 分(已知φ(0.25)=0.6).
15.甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习,记两人所选课程相同的门数为X,则E(X)= .
16.在等差数列{an}中,a4=2,a7=-4.现从{an}的前10项中随机取数,每次取出一个数,取后放回,连续抽取3次,假定每次取数互不影响,那么在这三次取数中,取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率是 (用数字作答).
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)假设手机市场供应的智能手机中,市场占有率和优质率的信息如下表所示.
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
50%
30%
20%
优质率
95%
90%
70%
在该市场中任意买一部智能手机.
(1)求买到的是优质品的概率;
(2)若买到的是优质品,求它是甲品牌的概率.(精确到0.1%)
18.(本小题满分12分)盒中共有12个球,其中有5个红球,4个黄球和3个绿球,这些球除颜色外完全相同.
(1)从盒中一次随机抽取三个球,求取出的球的颜色相同的概率;
(2)从盒中一次随机抽取三个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2,x3中的最大值,求X的概率分布和数学期望E(X).
19.(本小题满分12分)某电商平台准备今年的周年庆典活动,为了更精准地投放优惠券以提高销售额,对去年周年庆典活动中的优惠券使用情况和用户消费金额进行了统计分析,统计结果显示,去年老用户的消费金额满足正态分布,设消费金额为X(单位:元),X~N(600,16),如图所示,经计算得P(600≤X<720)=0.3.
(1)求P(X<480);
(2)根据去年的统计结果,该电商平台今年预备推出“消费金额每满300元减30元”和“消费金额每满800元减90元”两种优惠券,为了进一步了解用户的购买意向,计划把去年的用户按消费金额分成四组:(0,480),[480,600),[600,720),[720,+∞),用分层抽样的方法抽取10位去年的老用户作为幸运用户,赠送礼品并进行问卷调查.
(i)计算各组应抽的老用户数;
(ii)为了了解用户对今年的两种优惠券的意见,确定两种优惠券的投放比例,从[480,600),[600,720)两组的幸运用户中随机抽取3人进行面对面访谈,记从[480,600)一组中抽取的人数为ξ,求ξ的概率分布和数学期望.
20.(本小题满分12分)在某校篮球投篮比赛中,规定每人投篮3次,指定的3分区投中一次得3分,2分区投中一次得2分,没有命中一律得0分,按总分高低确定比赛名次.现有两种方案供参赛选手任意选择,方案一:在3分区连续投篮3次;方案二:第一次在3分区投篮,以后按如下规则投篮,若本次在3分区投篮命中,则下一次继续在3分区投篮,若没有命中,则下一次转到2分区投篮,若本次在2分区投篮命中,则下一次转到3分区投篮,若没有命中,则下一次继续在2分区投篮,现某同学在指定3分区投篮命中的概率为13,在指定2分区投篮命中的概率为23.
(1)求该同学采用方案一投篮,得分不低于6分的概率;
(2)试问:该同学选择何种方案参加比赛更合理?并说明理由.
21.(本小题满分12分)手工艺是一种生活态度和对传统的坚持,在我国有很多手工艺品制作村落,村民的手工技艺世代相传,有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名,还大量远销海外.近年来某手工艺品制作村制作的手工艺品在国外备受欢迎,该村村民成立了手工艺品外销合作社,为严把质量关,合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关,质量把关程序如下:①对于一件手工艺品,若3位行家都认为质量过关,则该手工艺品质量为A级;②若仅有1位行家认为质量不过关,再由另外2位行家进行第二次质量把关,若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关,则该手工艺品质量为B级,若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关,则该手工艺品质量为C级;③若有2位或3位行家认为质量不过关,则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为13,且各手工艺品质量是否过关相互独立.
(1)求一件手工艺品质量为B级的概率;
(2)若一件手工艺品质量为A,B,C级则可外销,且利润分别为900元,600元,300元,质量为D级不能外销,利润为100元.
(i)求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最可能有多少件;
(ii)记1件手工艺品的利润为X元,求X的概率分布与期望.
22.(本小题满分12分)十九大以来,某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求,带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏,新农村建设取得巨大进步,农民年收入也逐年增加.为了制订提升农民年收入、实现2020年脱贫的工作计划,该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图估计这50位农民的年平均收入x(单位:千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示);
(2)由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为年平均收入x,σ2近似为样本方差s2,经计算得s2=6.92,利用该正态分布解决下列问题:
(i)在扶贫攻坚工作中,若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制订的最低年收入标准,则最低年收入标准大约为多少千元?
(ii)为了调研“精准扶贫,不落一人”的政策要求落实情况,扶贫办随机走访了1 000位农民.若每位农民的年收入相互独立,问:这1 000位农民中年收入大于12.14千元的人数最有可能是多少?
附:6.92≈2.63,若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ
本章达标检测
一、单项选择题
1.A 由题意得P(A)=12,P(AB)=14,则P(B|A)=P(AB)P(A)=1412=12,故选A.
2.C 由题意得14+316+a+b=1,1×14+2×316+3a+4b=2.5,
解得a=38,b=316,
∴a-b=316 .故选C.
3.B 因为P(X=1)+P(X=a)=14+34=1,所以X只能取1和a,则E(X)=1×14+34a=74,解得a=2,即P(X=2)=34,则D(X)=14×1-742+34×2-742=316,则D(2X-1)=4D(X)=4×316=34.
4.A 依题意知,μ=82,σ=4,所以P(74
6.B 因为a,b,c∈{0,1,2,3,4},
所以由a,b,c组成的三位正整数有4×5×5=100(个),即n(A)=100,
其中满足三位递增数的有以下三类:
①当百位数字为2时,有1个,
②当百位数字为3时,有C32=3(个),
③当百位数字为4时,有C42=6(个),
所以n(AB)=1+3+6=10(个),
所以P(B|A)=n(AB)n(A)=10100=110,故选B.
7.D 由ξ的概率分布可知
14+12-a+14+b=1,12-a≥0,14+b≥0,
解得a=b,-14≤a≤12,
E(ξ)=2×14-2×14+b=-2b,
D(ξ)=(2+2b)2×14+(0+2b)2×12-a+(-2+2b)2×14+b
=-4a2+4a+2,
其图象的对称轴为直线a=12,则D(ξ)在-14,12上单调递增,
当a=-14时,D(ξ)=34,
当a=12时,D(ξ)=3,
所以34≤D(ξ)≤3,故选D.
8.D 由于X~N(10,σ2),故由正态密度曲线的对称性可知,P(X>12)=P(X<8)=m,
所以P(X<8)+P(8≤X≤10)=12,即m+n=12,∴2m+2n=1,且m,n均大于0,
由不等式的性质可得1m+2n=1m+2n(2m+2n)=4mn+2nm+6≥24mn·2nm+6=42+6,
当且仅当4mn=2nm,即n=2m=1-22时,等号成立,
故1m+2n的最小值为6+42,故选D.
二、多项选择题
9.BD 由题意,三台设备各自能正常工作的概率都为0.9,且相互独立,则至多有一台设备能正常工作的概率为C31×0.9×(1-0.9)2+(1-0.9)3=0.028,所以A不正确;计算机网络不会断掉的概率为1-(1-0.9)3=0.999,所以B正确;设能正常工作的设备数为X,根据题意,X~B(3,0.9),所以能正常工作的设备数X的数学期望E(X)=3×0.9=2.7,所以C不正确;能正常工作的设备数的方差为3×0.9×(1-0.9)=0.27,所以D正确.故选BD.
10.BD 由超几何分布的概念知A错误,B正确;对于C,取出2个白球的概率P=C42C62C104=37,故C错误;对于D,若取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,则取出四个黑球的总得分最大,∴总得分最大的概率为C64C104=114,故D正确.故选BD.
11.ABD 由题意可知a+b2+b2=1,即a+b=1,所以A正确;E(ξ)=0×a+1×b2+2×b2=3b2,所以B正确;D(ξ)=a0-3b22+b21-3b22+b22-3b22=-94b2+52b,b∈(0,1),易知其在0,59上是增函数,在59,1上是减函数,所以D(ξ)先增大后减小,有最大值,且当b=59时取得最大值,所以C错误,D正确.故选ABD.
12.BD 因为每次取一球,所以A1,A2,A3是两两互斥的事件,故D正确;因为P(A1)=510,P(A2)=210,P(A3)=310,所以P(B|A1)=P(BA1)P(A1)=510×511510=511,故B正确;同理P(B|A2)=P(BA2)P(A2)=210×411210=411,P(B|A3)=P(BA3)P(A3)=310×411310=411,所以P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=510×511+210×411+310×411=922,故A、C错误.故选BD.
三、填空题
13.答案 15
解析 由题意得np=20,np(1-p)=16,
解得n=100,p=15.
14.答案 505
解析 设学生的成绩为X.∵平均成绩μ=480,标准差σ=100,总体服从正态分布,∴X~N(480,1002).设重点录取分数线可能划在f分,则P(X≥f)=1-P(X
解析 由已知得X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=C63C33C63C63=120,
P(X=1)=C61C52C32C63C63=920,
P(X=2)=C62C41C31C63C63=920,
P(X=3)=C63C63C63=120,
∴E(X)=0×120+1×920+2×920+3×120=32.
16.答案 625
解析 由a4=2,a7=-4可得等差数列{an}的通项公式为an=10-2n(n=1,2,3,…).
{an}的前10项分别为8,6,4,2,0,-2,-4,-6,-8,-10.由题意知,三次取数相当于进行了三次独立重复试验,在每次试验中取得正数的概率为25,取得负数的概率为12,则在三次取数中,取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为C32252×121=625.
四、解答题
17.解析 (1)用A1,A2,A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌,B表示买到的是优质品,
由已知条件可得P(A1)=50%,P(A2)=30%,P(A3)=20%, (2分)
且P(B|A1)=95%,P(B|A2)=90%,P(B|A3)=70%, (4分)
所以由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=50%×95%+30%×90%+20%×70%=88.5%. (7分)
(2)由(1)和贝叶斯公式得
P(A1|B)=P(A1)P(B|A1)P(B)=50%×95%88.5%≈53.7%. (10分)
18.解析 (1)从盒中一次随机抽取三个球有C123种取法, (2分)
其中颜色相同的取法有C33+C43+C53=15(种), (4分)
所以从盒中随机一次抽取三个球,取出的球的颜色相同的概率P=15C123=344. (5分)
(2)由题意得X的可能取值为1,2,3.
当X=1时,表示所取出的三个球每种颜色各一个,则P(X=1)=C51C41C31C123=311, (7分)
当X=3时,表示所取出的三个球的颜色相同,则P(X=3)=344, (9分)
所以P(X=2)=1-311-344=2944. (10分)
所以X的概率分布为
X
1
2
3
P
311
2944
344
所以E(X)=1×311+2×3944+3×344=94. (12分)
19.解析 (1)因为X~N(600,16),且P(600≤X<720)=0.3,
所以P(X<480)=1-0.3×22=0.2. (3分)
(2)(i)根据正态分布的对称性得P(480≤X<600)=0.3,P(X≥720)=0.2, (5分)
所以从(0,480)一组中抽10×0.2=2(人),
从[480,600)一组中抽10×0.3=3(人),
从[600,720)一组中抽10×0.3=3(人),
从[720,+∞)一组中抽10×0.2=2(人). (7分)
(ii)由(i)知,两组各有幸运用户3人,ξ的可能取值为0,1,2,3,
P(ξ=0)=C33C63=120,P(ξ=1)=C31C32C63=920,
P(ξ=2)=C32C31C63=920,P(ξ=3)=C33C63=120, (9分)
所以ξ的概率分布为
ξ
0
1
2
3
P
120
920
920
120
所以ξ的数学期望E(ξ)=0×120+1×920+2×920+3×120=32. (12分)
20.解析 (1)因为在3分区投中得3分,投不中得0分,
所以该同学采用方案一投篮,得分不低于6分的情况有:
两次投中一次不中或三次全部投中,所以所求概率P=C32×132×23+133=727. (3分)
(2)该同学采用方案一投篮的得分X的可能取值为0,3,6,9,
则P(X=0)=233=827,
P(X=3)=C31×13×232=49,
P(X=6)=C32×132×23=29,
P(X=9)=133=127, (6分)
所以X的概率分布为
X
0
3
6
9
P
827
49
29
127
所以E(X)=0×827+3×49+6×29+9×127=3. (8分)
该同学采用方案二投篮的得分Y的可能取值为0,2,3,5,6,9,则
P(Y=0)=23×13×13=227,
P(Y=2)=23×23×23+23×13×23=49,
P(Y=3)=13×23×13=227,
P(Y=5)=13×23×23+23×23×13=827,
P(Y=6)=13×13×23=227,
P(Y=9)=13×13×13=127, (10分)
所以Y的概率分布为
Y
0
2
3
5
6
9
P
227
49
227
827
227
127
所以E(Y)=0×227+2×49+3×227+5×827+6×227+9×127=9127,
因为E(X)
(2)(i)由题意可得一件手工艺品质量为D级的概率为C32×132×1-13+C33×133=727, (4分)
设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能有ξ件,则ξ~B10,727,
则P(ξ=k)=C10k727k202710-k,其中k=0,1,2,…,10, (6分)
P(ξ=k+1)P(ξ=k)=C10k+1727k+120279-kC10k727k202710-k=70-7k20k+20.
由70-7k20k+20=1得k=5027,整数k不存在,
由70-7k20k+20>1得k<5027,所以当k≤1时,P(ξ=k+1)>P(ξ=k),即P(ξ=2)>P(ξ=1)>P(ξ=0),
由70-7k20k+20<1得k>5027,所以当k≥2时,P(ξ=k+1)
(ii)由题意可知,一件手工艺品质量为A级的概率为1-133=827,一件手工艺品质量为B级的概率为1681,
一件手工艺品质量为C级的概率为C31×13×1-132×C21×13×1-13+132=2081,
一件手工艺品质量为D级的概率为727, (10分)
所以X的概率分布为
X
900
600
300
100
P
827
1681
2081
727
则期望E(X)=900×827+600×1681+300×2081+100×727=1310027. (12分)
22.解析 (1)x=12×0.04+14×0.12+16×0.28+18×0.36+20×0.10+22×0.06+24×0.04=17.40,故估计这50位农民的年平均收入x为17.40千元. (3分)
(2)由题意知X~N(17.40,6.92).
(i)P(X>μ-σ)≈12+0.68272≈0.841 4,
所以μ-σ≈17.40-2.63=14.77时,满足题意,
即最低年收入标准大约为14.77千元. (6分)
(ii)由P(X>12.14)=P(X>μ-2σ)≈0.5+0.95452≈0.977 3,
可知每位农民的年收入大于12.14千元的概率约为0.977 3,
记这1 000位农民中年收入大于12.14千元的人数为Y,
则Y~B(1 000,p),其中p≈0.977 3, (8分)
于是恰好有k(k∈N*)位农民的年收入大于12.14千元的概率为P(Y=k)=C103kpk(1-p)103-k,
从而由P(Y=k)P(Y=k-1)=(1001-k)×pk×(1-p)>1,
得k<1 001p,而1 001p≈978.277 3,
所以当0≤k≤978且k∈N*时,P(Y=k-1)
由此可知,在所走访的1 000位农民中,年收入大于12.14千元的人数最有可能是978.
(12分)
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