人教版新课标A必修42.4 平面向量的数量积达标测试

这是一份人教版新课标A必修42.4 平面向量的数量积达标测试，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1.(2021浙江宁波高一期末,)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k等于( )
A.-92 B.3 C.0 D.152
2.(2019山西应县一中高一期末,)等边三角形ABC的边长为1,BC=a,CA=b,AB=c,那么a·b+b·c+c·a等于( )
A.3 B.-3 C.32 D.-32
3.(2019浙江温州高一上期末,)在△ABC中,|AB|=1,|AC|=2,|AB+AC|=|BC|,则AC在BC方向上的投影是 ( )
A.-455 B.-55 C.55 D.455
4.(2021江苏苏州高三模拟,)设λ为实数,已知向量m=(1,λ),n=(2,-1).若m⊥n,则向量m-n与n的夹角为( )
A.π4 B.π3 C.2π3 D.3π4
5.(2020重庆一中高三下月考,)已知平面内三个单位向量a,b,c两两夹角都是2π3,则a-b与a+c的夹角是 ( )
A.π3 B.2π3 C.π12 D.π6
6.()将向量OA=(1,1)绕原点O按逆时针方向旋转60°得到OB,则OB=( )
A.1−32,1+32 B.1+32,1−32
C.-1-32,-1+32 D.-1+32,-1-32
7.(2021河南南阳高三模拟,)已知向量a=(1,3),b=(x,1),则下列所有正确结论的序号是( )
①存在x∈(-∞,0),使得(a+b)∥b;
②存在x∈(0,+∞),使得(a-b)⊥b;
③对任意x∈[0,+∞),a,b的夹角θ都小于π3;
④对任意x∈(-∞,0],|2a-3b|>7.
A.①③ B.①④C.②③ D.②④
8.(2020河北邯郸高一上期末,)已知四边形ABCD中,AB·AD=0,AB=2DC,|AB|=10,|AD|=5,BE=12BC,F为BD与AE的交点,则|CF|=( )
A.10 B.210 C.213 D.215
9.(2019广西桂林十八中高一下期中,)在直角△ABC中,∠BCA=90°,CA=CB=1,P为AB边上的点,且AP=λAB,若CP·AB≥PA·PB,则λ的取值范围是( )
A.12,1 B.12,2+22
C.2−22,2+22 D.2−22,1
二、填空题
10.(2021四川雅安高三三模,)在△ABC中,已知向量AB=(1,3),AC=(2,t),|BC|=1,则角B的余弦值为 .
11.(2021北京大学附属中学高三月考,)已知菱形ABCD的边长为1,
∠BAD=60°,AP=λAB(λ>0).当λ=12时,AD·AP= ;当AP·DP取得最小值时,λ= .
三、解答题
12.(2021浙江绍兴高一期末,)在梯形ABCD中,已知DC∥AB,DA=CB=AB=1.
(1)若DC=AC,AB=a,AD=b,试用a、b表示AC;
(2)若DC=2,M是梯形ABCD所在平面内一点,求MA·(2MB+MC)的最小值.
答案全解全析
一、选择题
1.B 易得2a-3b=(2k-3,-6),因为(2a-3b)⊥c,c=(2,1),
所以(2a-3b)·c=4k-6-6=0,所以k=3,故选B.
2.D 由题意得|a|=1,|b|=1,|c|=1,且向量a,b,c中任两个向量的夹角都为2π3,
所以a·b+b·c+c·a=1×1×cs 2π3+1×1×cs 2π3+1×1×cs 2π3=-32.故选D.
3.D 易得|AB+AC|=|BC|=|AC-AB|,两边平方并化简得AB·AC=0,即AB⊥AC,故三角形ABC为直角三角形,所以|BC|=|AC|2+|AB|2=5,cs C=255.所以AC在BC方向上的投影为AC·BC|BC|=|AC|cs C=2×255=455.故选D.
4.D 因为m⊥n,所以m·n=2-λ=0,解得λ=2,则m=(1,2),m-n=(-1,3),设向量m-n与n之间的夹角为θ,
则cs θ=(m-n)·n|m-n||n|=-2-310×5=-22,又θ∈[0,π],所以θ=3π4.故选D.
5.D 由题意知,|a-b|=3,|a+c|=1,
所以(a-b)·(a+c)=a2+a·c-a·b-b·c=1+1×1×cs2π3-1×1×cs2π3-1×1×cs2π3=1+12=32.
设a-b与a+c的夹角为θ,则cs θ=(a-b)·(a+c)|a-b||a+c|=323×1=32,又0≤θ≤π,
所以a-b与a+c的夹角为π6.故选D.
6.A 设OB=(x,y),则由|OB|=|OA|,
且OA=(1,1),得x2+y2=2①.
OA·OB=x+y=|OA||OB|cs 60°
=2×2×12=1②.
由①②解得x=1+32,y=1−32或x=1−32,y=1+32,
而向量OB是由向量OA绕原点O按逆时针方向旋转60°得到的,故OB=1−32,1+32.故选A.
7.C 易得a+b=(x+1,3+1),若(a+b)∥b,则(3+1)x=x+1,解得x=33,所以①不正确;
若(a-b)⊥b,则a·b=b2,即(1,3)·(x,1)=x2+1,整理得x2-x+1-3=0,
Δ=1-4(1-3)>0,设方程x2-x+1-3=0的两根分别为x1、x2,则x1x2=1-3<0,
故方程x2-x+1-3=0有正根,所以②正确;
易得cs θ=a·b|a||b|=x+32x2+1,
当x≥0时,(x+3)24x2+4=x2+23x+34(x2+1)>x2+14(x2+1)=14,则cs θ>12,
因为0≤θ≤π,所以0≤θ<π3,所以③正确;
易得2a-3b=(2-3x,3),则|2a-3b|=(2-3x)2+3,
当x≤0时,(2-3x)2+3≥7,所以④不正确.故选C.
8.A 易知F,A,E三点共线,故可设CF=λCA+(1-λ)CE(λ∈(0,1)),则CF=λ(CD+DA)+1−λ2CB=λ-12AB-AD+1−λ2(CD+DA+AB)=λ-12AB-AD+1−λ2-12AB-AD+AB=λ-12AB-AD+1−λ2·12AB-AD=1−3λ4 AB-λ+12 AD.
易知F,D,B三点共线,故可设CF=μCD+(1-μ)CB(μ∈(0,1)),则CF=-μ2AB+(1-μ)·12AB-AD=1−2μ2 AB-(1-μ)AD.
∴1−3λ4=1−2μ2,-λ+12=−(1−μ),解得λ=15,μ=25,
∴CF=110AB-35AD,
∴|CF|=1100AB2+925AD2-325AB·AD
=1+9=10.
9.D 以C为坐标原点,CA所在直线为x轴,CB所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图.
则C(0,0),A(1,0),B(0,1),∴AB=(-1,1).
∵AP=λAB,P为AB边上的点,∴λ∈[0,1],AP=λ(-1,1),CP=(1-λ,λ),PB=(λ-1,1-λ).
∵CP·AB≥PA·PB,
∴λ-1+λ≥λ2-λ+λ2-λ,
即2λ2-4λ+1≤0,
解得2−22≤λ≤2+22,
∵λ∈[0,1],∴λ∈2−22,1.故选D.
二、填空题
10.答案 -1010
解析 由题意得BC=AC-AB=(1,t-3),所以|BC|=1+(t-3)2=1,所以t=3,
所以AC=(2,3),BA=(-1,-3),BC=(1,0),所以cs B=BA·BC|BA||BC|=-110×1=-1010.
11.答案 14;14
解析 取AB的中点O,连接DO,
∵四边形ABCD为菱形,∠BAD=60°,
∴△ABD为等边三角形,∴DO⊥AB,
以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,
则A-12,0,D0,32,B12,0,
∴AD=12,32,
当λ=12,即AP=12AB时,点P为AB中点,即与坐标原点O重合,∴P(0,0),
∴AP=12,0,∴AD·AP=14.
∵AP=λAB,AB=(1,0),
∴AP=(λ,0),DP=AP-AD=λ-12,-32,
∴AP·DP=λλ-12=λ2-12λ=λ-142-116,λ>0,
∴当λ=14时,AP·DP取得最小值-116.
方法点睛 求解平面几何中的平面向量数量积问题的常用方法有两种:
(1)利用平面向量的线性运算将所求数量积问题进行转化,转化为已知夹角和模的向量数量积的求解问题;
(2)建立平面直角坐标系,利用平面向量数量积的坐标运算来进行求解.
三、解答题
12.解析 (1)如图所示,过点A作AE∥BC,交CD于点E,设AC=DC=x,
∵AE∥BC,AB∥CE,且AB=BC=1,
∴四边形ABCE是边长为1的菱形,
∴DE=CD-CE=x-1,且AE=AD=1,
易知△DAE∽△ACD,∴ADAC=DEAD,
即1x=x-11,整理可得x2-x-1=0,
∵x>0,∴x=5+12,∴DC=5+12AB,
因此,AC=DC-DA=5+12a+b.
(2)取CD的中点F,连接BF,
∵CD=2,F为CD的中点,∴DF=1,∴AB∥DF且AB=DF,
又因为AD=AB=1,则四边形ABFD为菱形,则BF=AD=1=BC=CF,
∴△BCF为等边三角形.
取AB的中点O,连接OF,以点O为原点,AB、OF所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系,
则A-12,0,B12,0,C1,32,
设点M(x,y),则MA=-12-x,-y,MB=12-x,-y,MC=1−x,32-y,
则2MB+MC=2−3x,32-3y,
∴MA·(2MB+MC)=-12-x(2-3x)-y32-3y=3x2-12x-1+3y2-32y=3x-1122+3y-3122-1312,
∴当x=112且y=312时,MA·(2MB+MC)取得最小值,最小值为-1312.