数学选修2-3第一章 计数原理综合与测试一课一练

这是一份数学选修2-3第一章 计数原理综合与测试一课一练，共12页。试卷主要包含了在3x-123xn的展开式中,等内容，欢迎下载使用。
易错点1 混淆分类与分步致误

1.(2020河北唐山第十一中学高二期中,)某班有男生28名、女生20名,从该班选出学生代表参加校学代会.
(1)若学校分配给该班1名代表,则有多少种不同的选法?
(2)若学校分配给该班2名代表,且男、女生代表各1名,则有多少种不同的选法?
2.()甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军,且每门学科只有1名冠军产生,则不同的冠军获得情况有多少种?
易错
易错点2 对特殊元素考虑不周致误
3.(2020重庆第一中学高三下5月月考,)某中学高三年级在返校复学后,为了做好疫情防护工作,一位防疫督察员要将2盒完全相同的N95口罩和3盒完全相同的普通医用口罩全部分配给3个不同的班,每个班至少分得一盒,则不同的分法种数是( )
A.21B.24C.27D.30
4.(2020陕西西安高三上第一次八校联考,)从6男4女中任选2男2女担任A、B、C、D四项互不相同的工作,且每人担任其中的一项工作.若女生甲不能担任工作C,则不同的选派方案种数为( 易错 )
A.1800B.1890C.2160D.2210
5.()有甲、乙、丙3项任务,任务甲需要2人承担,任务乙、丙各需要1人承担,从10人中选派4人承担这3项任务,不同的选法共有多少种?
易错点3 混淆二项展开式中项的系数与二项式系数致误
6.(2019江西上饶高二期末,)已知x-12xn(n∈N*)的展开式中第7项是常数项.
(1)求n的值;
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
7.(2020浙江金华一中高二下月考,)在3x-123xn(n∈N*)的展开式中,
(1)若所有二项式系数之和为64,求展开式中二项式系数最大的项;
(2)若前三项系数的绝对值成等差数列,求展开式中各项的系数和.
易错
思想方法练
一、分类讨论思想在排列、组合中的应用
1.()从集合{1,2,3,4,…,15}中任意选择三个不同的数,使得这三个数组成等差数列,这样的等差数列的个数为( )

A.98B.56C.84D.49
2.()如图,用4种不同颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂法种数为( )
A.72B.96C.108D.120
二、整体思想在排列、组合中的应用
3.(2020山东济宁高二下期末,)武汉封城期间,某医院抽调5名医生,分赴三所“方舱医院”支援抗疫,要求每名医生只去一所“方舱医院”,每所“方舱医院”至少安排一名医生,由于工作需要,医生甲和乙必须安排在同一所“方舱医院”,则所有的不同安排方案有( )
A.18种B.24种C.36种D.48种
4.()有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人坐下,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同坐法的种数是( )
A.234B.346C.350D.363
5.(2020四川三台中学实验学校高二6月月考,)为抗击新冠病毒,某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要,每地至少安排一名专家,其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作,丙、丁两名专家不能安排在同一地工作,求不同的分配方法种数.
三、函数与方程思想在二项式系数、项的系数中的应用
6.(2020广东潮州高二下期末,)记x+2xn(n∈N*)的展开式中第m项的系数为bm.
(1)求bm的表达式;
(2)若b3=12b4,求n;
(3)若n=6,求展开式中的常数项.
7.(2020河南郏县第一高级中学高二下入学考试,)已知ax+1xn的展开式中,第三项和第八项的二项式系数相等.
(1)求n的值;
(2)若展开式的常数项为84,求a;
(3)在(2)的条件下,若1+bi2-ai为纯虚数,求b的值.
8.(2020湖北华中师范大学第一附属中学高二下期中,)已知x+a4xn的展开式中各二项式系数的和与各项系数的和均为256.
(1)求展开式中有理项的个数;
(2)求展开式中系数最大的项.
9.(2020清华大学附属中学高二下月考,)已知f(x)=(1+2x)m+(1+4x)n(m,n∈N*)的展开式中含x项的系数为36,求展开式中含x2项的系数的最小值.
本章复习提升
易混易错练
1.解析 (1)选出1名代表,可以选男生,也可以选女生,因此完成“选1名代表”这件事分2类:第1类,从男生中选出1名代表,有28种不同选法;第2类,从女生中选出1名代表,有20种不同选法.根据分类加法计数原理,共有28+20=48种不同的选法.
(2)完成“选出男、女生代表各1名”这件事,可以分2步完成:第1步,选1名男生代表,有28种不同选法;第2步,选1名女生代表,有20种不同选法.根据分步乘法计数原理,共有28×20=560种不同的选法.
2.解析 完成这件事分三步:
第1步,产生第1个学科冠军,它一定被其中1名同学获得,有4种不同的获得情况;
第2步,产生第2个学科冠军,因为夺得第1个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科冠军,所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺,有4种不同的获得情况;
第3步,产生第3个学科冠军,同理,也有4种不同的获得情况.
由分步乘法计数原理知,共有4×4×4=64种不同的冠军获得情况.
易错警示
对于分步乘法计数原理问题,解题的关键是明确要完成的一件事是什么,从而明确分步的过程.用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时,哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据.
3.C 根据题意分3种情况:①3盒普通口罩分配到同一个班级,2盒N95口罩分别分配到另外两个班级,共有C31=3种情况;②3盒普通口罩平均分配到3个班级,即每个班一盒普通口罩,2盒N95口罩随机分配到3个班级,共有C32+C31=6种情况;③1个班1盒普通口罩,1个班2盒普通口罩,1个班1盒N95口罩,剩余的1盒N95口罩随机分配,共有C31·C21·C31=18种情况.故共有3+6+18=27种分法.故选C.
4.B 从6男4女中任选2男2女,共有C62C42种可能情况,2男2女担任A、B、C、D四种互不相同的工作,共有A44种方式,故从6男4女中任选2男2女担任A、B、C、D四种互不相同的工作,不同的选派方案种数为C62C42A44,若任选的2男2女中一定有女生甲且女生甲担任工作C,则不同的选派方案种数为C62C31A33,故满足题意的选派方案种数为C62C42A44-C62C31A33=1890,故选B.
易错警示
由于组合问题中的元素是无序的,因此在取某类元素且要求至少一个时,若利用直接法一定要先分类再取元素,切忌先取一个元素确保至少一个,然后再取元素,这样将元素视为了有序,导致了重复计算.此类问题也可以用间接法求解.
5.解析 解法一:先从10人中选出2人承担任务甲;再从余下8人中选出1人承担任务乙;最后从剩下的7人中选出1人承担任务丙.根据分步乘法计数原理,不同的选法共有C102C81C71=2520(种).
解法二:先从10人中选出2人承担任务甲;再从余下8人中选出2人分别承担任务乙、丙.根据分步乘法计数原理,不同的选法共有C102A82=2520(种).
6.解析 (1)其展开式的通项为Tr+1=Cnrxn-r·-12xr=Cnr-12rxn-3r2(r=0,1,2,…,n).
因为第7项为常数项,T7=Cn6-126xn-9,所以n-9=0,解得n=9.
(2)由(1)知n=9,所以二项式系数最大的项为T5与T6,
且T5=C94-124x3=638x3,
T6=C95-125x32=-6316x32.
7.解析 (1)由已知得Cn0+Cn1+…+Cnn=64,即2n=64,解得n=6,
∴展开式中二项式系数最大的项是第四项,即C63(x13)6-3-12x-133=20×-18×x0=-52.
(2)3x-123xn的展开式的通项为Tr+1=Cnr(3x)n-r-123xr=-12rCnrxn-2r3(r=0,1,…,n).
由已知,得Cn0,12Cn1,14Cn2成等差数列,
∴2×12Cn1=Cn0+14Cn2,∴n=8(n=1舍去),
∴3x-123xn=3x-123x8,令x=1,得展开式中各项的系数和为1-128=1256.
易错警示
(a+b)n的展开式中第r+1项的二项式系数是Cnr(r=0,1,2,…,n),仅与n,r有关;而第r+1项的系数不一定是二项式系数Cnr.注意二项式系数Cnr一定为正,而对应项的系数可能为正,也可能为负,解题时切忌将两者混淆.
思想方法练
1.A 三个数成等差数列时,根据公差的大小
进行分类讨论,体现了分类讨论思想,另外
要注意公差可以是负数的情况.
当公差为1时,数列可以是1,2,3;2,3,4;3,4,5;…;13,14,15,共13种情况.当公差为2时,数列可以是1,3,5;2,4,6;3,5,7;…;11,13,15,共11种情况.当公差为3时,数列可以是1,4,7;2,5,8;3,6,9;…;9,12,15,共9种情况.当公差为4时,数列可以是1,5,9;2,6,10;3,7,11;…;7,11,15,共7种情况.当公差为5时,数列可以是1,6,11;2,7,12;3,8,13;4,9,14;5,10,15,共5种情况.当公差为6时,数列可以是1,7,13;2,8,14;3,9,15,共3种情况.当公差为7时,数列可以是1,8,15,共1种情况.综上,共有13+11+9+7+5+3+1=49种情况.又因为三个数成等差数列有两种情况,递增或递减,所以等差数列共有98个.故选A.
2.B 完成该问题可分两类:
根据区域1与区域3的颜色是否相同进行
分类,体现了分类讨论思想.
第一类,若区域1与区域3颜色不同,则先用4种颜色涂区域1到区域4,共有A44种不同方法,再取区域1,2,3中的一种颜色涂区域5,有3种不同方法,根据分步乘法计数原理,有3A44种不同方法;第二类,若区域1与区域3颜色相同,且4种颜色全部使用,则用4种颜色涂区域1,2,4,5,有A44种不同方法.由分类加法计数原理得,共有3A44+A44=96种不同涂法.故选B.
思想方法
分类讨论思想是本章最基本的数学思想,在分析较复杂的计数问题时,对问题分类讨论是基本的策略.分类加法计数原理本身就体现了分类讨论的数学思想,在处理有关计数问题时,要确定恰当的分类标准,对于同一个题目,分类标准不同,分类的结果也不同.当计数问题过于复杂或限制条件较多时,我们一般采取分类讨论的方法解决,即对计数问题中的各种情况进行分类,然后针对每一类分别研究和求解.分类讨论的原则是不重复,不遗漏.
3.C 甲、乙两人必须安排在一起,其本质上是元
素相邻问题,把相邻元素看成一个整体,体现
了整体思想.
将甲、乙看成一个整体,即相当于只有4名医生,则4名医生中有2名去同一所“方舱医院”的排列数为C42·A33=36.故选C.
4.B 易知一共可坐的位子有20个,2个人坐的坐法种数为A202,还需排除两人左右相邻的情况.把可坐的20个座位排成连续一行,
将其中两个相邻座位看成一个整体,体现了
整体思想.
则相邻的坐法种数A191A22,还应再加上2A22,所以不同坐法的种数为A202-A191A22+2A22=346.故选B.
5.解析 因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作,所以将甲、乙两名专家看成一个整体,即相当于只有四名专家,
运用相邻元素“捆绑法”体现了整体思想.
则四名专家中有两名在同一地工作的排列数为C42·A33,又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作,所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数A33,所以不同的分配方法种数为C42·A33-A33=30.
思想方法
整体思想指通过研究问题的整体结构和形式,并且把问题的某个部分看成一个整体,从而解决数学问题的一种思维方法,整体思想应用于高中数学解题、探寻问题的整体结构特征,以“集成、整体”的角度,将某些图形或式子看成一个整体,分析它们之间的相关性,有目的、有意识的对数学问题进行整体处理.
6.解析 (1)x+2xn的展开式中第m项为Cnm-1xn-m+1·2xm-1=2m-1·Cnm-1·xn-2m+2,
∴bm=2m-1·Cnm-1.
(2)由b3=12b4,得22·Cn2=12·23·Cn3,即Cn2=Cn3,∴n=5.
(3)当n=6时,x+2x6的展开式的通项为Tr+1=C6r·x6-r·2xr=2r·C6r·x6-2r,
根据常数项的概念建立关于r的方程,解出
r,体现了方程思想在二项式定理中的应用.
令6-2r=0,解得r=3,∴展开式中的常数项是T4=23·C63=160.
7.解析 (1)ax+1xn的展开式中,第三项和第八项的二项式系数相等,即Cn2=Cn7,故n=9.
(2)ax+1x9的展开式的通项为Tr+1=C9r·(ax)9-r·1xr=C9r·a9-rx9-3r2,令9-3r2=0,得r=6,得常数项为C96·a3=84,解得a=1.
(3)1+bi2-ai=1+bi2-i=(1+bi)(2+i)(2-i)(2+i)=2-b+(2b+1)i5=2-b5+2b+15i为纯虚数,
利用复数是纯虚数的充要条件建立关系式求
解参数,充分体现了方程思想.
故2-b5=0,2b+15≠0,解得b=2.
8.解析 (1)根据二项式系数的和为256建立
方程,体现了方程思想.
x+a4xn的展开式中各二项式系数的和为2n,由已知得2n=256,故n=8.此时x+a4x8展开式的通项为Tk+1=akC8kx16-3k4,k=0,1,2,…,8,当k=0,4,8时,为有理项,故有理项的个数为3.
(2)令x=1,则(1+a)8=256,得a=-3或a=1.当a=1时,展开式的通项为Tk+1=C8kx16-3k4,k=0,1,2,…,8,故二项式系数最大时系数最大,即第5项系数最大,即系数最大的项为T5=C84x=70x;当a=-3时,展开式的通项为Tk+1=(-3)kC8kx16-3k4,k=0,1,2,…,8,展开式中系数最大的项是奇数项,其中T1=x4,T3=252x52,T5=5670x,T7=20412x-12,T9=6561x-2,故展开式中系数最大的项为第7项,即T7=20412x-12.综上,展开式中系数最大的项为70x或20412x-12.
9.解析 (1+2x)m+(1+4x)n的展开式中含x的项为Cm1·2x+Cn1·4x=(2Cm1+4Cn1)x,
∴2Cm1+4Cn1=36,即m+2n=18,
(1+2x)m+(1+4x)n的展开式中含x2项的系数为Cm222+Cn242=2m2-2m+8n2-8n,
∵m+2n=18,且m,n∈N*,∴m=18-2n(1≤n≤8,n∈N*),令t=2m2-2m+8n2-8n,则t=2(18-2n)2-2(18-2n)+8n2-8n
=16n2-148n+612
=16n2-374n+1534(1≤n≤8,n∈N*),
∴当n取距离378最近的正整数,即当n=5时,t取得最小值,即含x2项的系数最小,最小值为272.
思想方法
方程思想就是用建立方程的方法去解决问题的一种思想.具体步骤是通过分析问题中变量之间的等量关系,构建方程或方程组,通过解方程或方程组使问题得以解决.
1
4
5
2
3
3.C
4.B
1.A
2.B
3.C
4.B