高中数学人教版新课标A选修2-22.1合情推理与演绎推理同步达标检测题

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-22.1合情推理与演绎推理同步达标检测题，共12页。试卷主要包含了1　合情推理与演绎推理等内容，欢迎下载使用。
2.1.2综合拔高练
五年高考练
考点1 演绎推理在几何证明中的应用
1.(2020全国Ⅰ,19,12分,)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,△ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,∠APC=90°.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAC;
(2)设DO=2,圆锥的侧面积为3π,求三棱锥P-ABC的体积.
2.(2020全国新高考,20,12分,)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.
(1)证明:l⊥平面PDC;
(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.
考点2 演绎推理在三角函数中的应用
3.(2020全国Ⅱ,17,12分,)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cs2π2+A+cs A=54.
(1)求A;
(2)若b-c=33a,证明:△ABC是直角三角形.
4.(2020浙江,18,14分,)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知2bsin A-3a=0.
(1)求角B的大小;
(2)求cs A+cs B+cs C的取值范围.
三年模拟练
1.()余弦函数是偶函数, f(x)=cs(2x2-3)是余弦函数,因此f(x)=cs(2x2-3)是偶函数,以上推理中( )
A.推理形式不正确 B.大前提不正确 C.小前提不正确 D.全不正确
2.(2019黑龙江大庆铁人中学高二期中,)下列推理属于演绎推理的为( )
A.由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可导电
B.猜想数列11×2,12×3,13×4,…的通项公式为an=1n(n+1)(n∈N*)
C.半径为r的圆的面积S=πr2,则单位圆的面积S=π
D.由平面直角坐标系中圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,推测空间直角坐标系中球的方程为(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2
3.(2020辽宁沈阳高三上月考,)新高考的改革方案开始实施后,某地学生需要从化学、生物、政治、地理四门学科中选课,每名同学都要选择其中的两门课程.已知甲选了化学,乙与甲没有选相同的课程,丙与甲恰有一门课程相同,丁与丙也没有选相同的课程,则以下说法正确的是( )
A.丙没有选化学 B.丁没有选化学
C.乙、丁可以两门课程都相同 D.这四个人里恰有两个人选了化学
4.(2020山东青岛高三调研,)某地铁换乘站设有编号为m1,m2,m3,m4的四个安全出口,若同时开放其中的两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间如下:
则疏散同样多的乘客最快的安全出口的编号是( )
A.m1B.m2C.m3D.m4
5.(2019吉林白城通榆一中高二月考,)若定义在区间D上的函数f(x),对于D内的任意n个值x1,x2,…,xn,总满足f(x1)+f(x2)+…+f(xn)n≤fx1+x2+…+xnn,则称f(x)为D上的凸函数.若已知f(x)=cs x在0,π2上是凸函数,则在锐角三角形ABC中,cs A+cs B+cs C的最大值是 .
6.(2019河南南阳中学高二月考,)“克拉茨猜想”又称“3n+1猜想”,是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想:任给一个正整数n,如果n是偶数就将它减半,如果n为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算,经过有限步后,最终都能够得到1.已知正整数m经过6次运算后得到1,则m的值为 .
7.(2020北京第五中学高二下学期第一次段考,)某校实行选科走班制度,小明同学选择的是物理、生物、政治这三科,且物理在A层班级,生物在B层班级,该校周一上午课程安排如下表所示,小明选择三个科目的课各上一节,另外一节上自习,则他不同的选课方法有 种.
8.()如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E是A1C的中点,ED⊥A1C交AC于点D,A1A=AB=22BC.
(1)证明:B1C1∥平面A1BC;
(2)证明:A1C⊥平面EDB.
答案全解全析
五年高考练
1.解析 (1)证明:由题设可知,PA=PB=PC.
由于△ABC是正三角形,因此△PAC≌△PAB,△PAC≌△PBC.
又∠APC=90°,故∠APB=90°,∠BPC=90°.
从而PB⊥PA,PB⊥PC,故PB⊥平面PAC,
所以平面PAB⊥平面PAC.
(2)设圆锥的底面半径为r,母线长为l.
由题设可得rl=3,l2-r2=2.解得r=1,l=3.
从而AB=3.由(1)可得PA2+PB2=AB2,故PA=PB=PC=62.
所以三棱锥P-ABC的体积为13×12×PA×PB×PC=13×12×623=68.
2.解析 (1)证明:因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥AD.又底面ABCD为正方形,所以AD⊥DC.又PD∩DC=D,所以AD⊥平面PDC.
因为AD∥BC,AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面PBC.
结合已知可得l∥AD,因此l⊥平面PDC.
(2)以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),DC=(0,1,0),PB=(1,1,-1).
由(1)可设Q(a,0,1),则DQ=(a,0,1).
设n=(x,y,z)是平面QCD的法向量,则n·DQ=0,n·DC=0,即ax+z=0,y=0.
可取n=(-1,0,a).
所以cs=n·PB|n|·|PB|=-1-a31+a2.
设PB与平面QCD所成角为θ,则sin θ=33×|a+1|1+a2=331+2aa2+1.
因为331+2aa2+1≤63,当且仅当a=1时等号成立,所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为63.
3.解析 (1)由已知得sin2A+cs A=54,即cs2A-cs A+14=0.
所以csA-122=0,解得cs A=12.
由于0