高中数学人教版新课标A选修2-21.3导数在研究函数中的应用练习

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-21.3导数在研究函数中的应用练习，共21页。试卷主要包含了已知函数f=ex+ax2-x，已知函数f=12-x2等内容，欢迎下载使用。
考点 导数与最值的综合运用
1.(2020全国新高考Ⅰ,21,12分,)已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
2.(2020全国Ⅰ理,21,12分,)已知函数f(x)=ex+ax2-x.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时, f(x)≥12x3+1,求a的取值范围.
3.(2020全国Ⅱ理,21,12分,)已知函数f(x)=sin2xsin 2x.
(1)讨论f(x)在区间(0,π)的单调性;
(2)证明:|f(x)|≤338;
(3)设n∈N*,证明:sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤3n4n.
4.(2020北京,19,15分,)已知函数f(x)=12-x2.
(1)求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程;
(2)设曲线y=f(x)在点(t, f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小值.
5.(2020浙江,22,15分,)已知10.所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)≥1.
当a>1时,f(x)=aex-1-ln x+ln a≥ex-1-ln x≥1.
综上,a的取值范围是[1,+∞).
2.解析 (1)当a=1时,f(x)=ex+x2-x,f '(x)=ex+2x-1.
故当x∈(-∞,0)时,f '(x)0;当x∈π3,2π3时, f '(x)0时,S(t)=12·t2+122t·(t2+12)=(t2+12)24t,
则S'(t)=3(t2-4)(t2+12)4t2,
当00,此时S(t)在(2,+∞)上单调递增,
所以S(t)min=S(2)=32.
②当t0时,f '(x)>0,故函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以函数y=f(x)在(0,+∞)上有唯一零点.
(2)(i)令g(x)=ex-12x2-x-1(x≥0),则g'(x)=ex-x-1=f(x)+a-1,由(1)知函数g'(x)在[0,+∞)上单调递增,故当x>0时,g'(x)>g'(0)=0,所以函数g(x)在[0,+∞)上单调递增,故g(x)≥g(0)=0.
由g(2(a-1))≥0得f(2(a-1))=e2(a-1)-2(a-1)-a≥0=f(x0),
因为f(x)在[0,+∞)上单调递增,故2(a-1)≥x0.
令h(x)=ex-x2-x-1(0≤x≤1),则h'(x)=ex-2x-1,
令h1(x)=ex-2x-1(0≤x≤1),则h'1(x)=ex-2,所以
故当01时,u'(x)>0,故函数u(x)在区间[1,+∞)上单调递增,因此u(x)≥u(1)=0.
由ex0=x0+a可得
x0 f(ex0)=x0 f(x0+a)=(ea-1)x02+a(ea-2)·x0≥(e-1)ax02,
由x0≥a-1得x0 f(ex0)≥(e-1)(a-1)a.
6.解析 (1)由条件f(x)≥h(x)≥g(x),得x2+2x≥kx+b≥-x2+2x,
取x=0,得0≥b≥0,所以b=0.
由x2+2x≥kx,得x2+(2-k)x≥0,此式对一切x∈(-∞,+∞)恒成立,
所以(2-k)2≤0,则k=2,此时2x≥-x2+2x恒成立,
所以h(x)=2x.
(2)h(x)-g(x)=k(x-1-ln x),x∈(0,+∞).
令u(x)=x-1-ln x,则u'(x)=1-1x,
令u'(x)=0,得x=1.
当x变化时,u'(x)、u(x)的变化情况如下表:
所以u(x)min=u(1)=0,则x-1≥ln x恒成立.
所以当且仅当k≥0时,h(x)≥g(x)恒成立.
另一方面, f(x)≥h(x)恒成立,即x2-x+1≥kx-k恒成立,
也即x2-(1+k)x+1+k≥0恒成立.
因为k≥0,所以1+k2>0,
所以[-(1+k)]2-4(1+k)≤0,解得-1≤k≤3.
因此,k的取值范围是0≤k≤3.
(3)证明:①当1≤t≤2时,由g(x)≤h(x),得4x2-8≤4(t3-t)x-3t4+2t2,整理得x2-(t3-t)x+3t4-2t2-84≤0.(*)
令Δ=[-(t3-t)]2-(3t4-2t2-8),
则Δ=t6-5t4+3t2+8.
记φ(t)=t6-5t4+3t2+8(1≤t≤2),
则φ'(t)=6t5-20t3+6t=2t(3t2-1)(t2-3)0,v(t)是增函数.
v(0)=-1,v(1)=0,则当00),
令h'(x)0,所以00),则φ'(t)=2·et-12+1t2>0,
所以h'(t)在(0,+∞)上是增函数,
且h'12=0,
所以当t>12时,h'(t)>0,h(t)单调递增,当00,即ekx·x(kx+2)>0,即x(kx+2)>0,解得x0,
所以函数f(x)在-∞,-2k和(0,+∞)上单调递增;
令f'(x)0,
所以f(x)在x=x1处取得最小值,
由f'(x1)=0得ex1-22x1+1=0,
所以ex1=22x1+1,所以x1=ln 22x1+1,
所以f(x)min=f(x1)=ex1-ln(2x1+1)=22x1+1-ln(2x1+1),
由x1=ln 22x1+1得-ln(2x1+1)=x1-ln 2,
所以f(x1)=22x1+1+x1-ln 2,
而22x1+1+x1-ln 2=1x1+12+x1+12-ln 2-12≥2-ln 2-12=32-ln 2,
当且仅当x1=12时,等号成立,
而f'12=e12-1≠0,所以f(x1)>32-ln 2,
所以f(x)≥f(x1)>32-ln 2,即f(x)>32-ln 2.
7.解析 (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)= ax+2x=a+2x2x.
①当a≥0时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
②当a0,所以f'(x)>0,所以f(x)在-a2,+∞上单调递增.
综上,当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a