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湘教版（2019）必修 第二册5.2 概率及运算练习题
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这是一份湘教版（2019）必修 第二册5.2 概率及运算练习题，共11页。试卷主要包含了3B等内容，欢迎下载使用。
考点1 随机事件的概率及其性质
1.(2020新高考Ⅰ,5,5分,)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A.62%B.56%
C.46%D.42%
2.(2018课标全国Ⅲ,5,5分,)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( )
A.0.3B.0.4
C.0.6D.0.7
考点2 古典概型
3.(2020全国Ⅰ,4,5分,)设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为( )
4.(2019课标全国Ⅱ,4,5分,)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为( )
5.(2019课标全国Ⅲ,3,5分,)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是( )
6.(2021上海,10,5分,)有四个不同的馆,甲、乙2人每人选2个馆去参观,恰有一个馆相同的概率为 .
7.(2019天津,15,13分,)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?
(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.
三年模拟练
1.(2021河北邯郸高三上月考,)甲、乙两人对同一个靶子各射击一次,设事件A=“甲击中靶子”,事件B=“乙击中靶子”,事件E=“靶子未被击中”,事件F=“靶子被击中”,事件G=“恰有一人击中靶子”,有下列关系式(A表示A的对立事件,B表示B的对立事件):①E=AB,②F=AB,③F=A+B,④G=A+B,⑤G=AB+AB,⑥P(F)=1-P(E),⑦P(F)=P(A)+P(B).其中正确的个数是( )
A.3B.4
C.5D.6
2.(2021江苏南通高一下期末,)已知a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5},则函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)上为增函数的概率是( )
3.()事件A,B互斥,它们都不发生的概率为25,且P(A)=2P(B),则P(A)= ,P(B)= .
4.(2020广东湛江高一下期末,)先后抛掷一枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)两次,骰子朝上的面的点数分别为x,y,求事件lg2xy=1发生的概率.
5.(2020安徽安庆高二期末,)某高校在2019年的自主招生考试中,随机抽取200名考生的笔试成绩作为样本研究,按照笔试成绩分成5组:第1组[160,165),第2组[165,170),第3组[170,175),第4组[175,180),第5组[180,185],样本频率分布直方图如下:
(1)估计全体考生笔试成绩的中位数;
(2)为了能选拔出最优秀的学生,该校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取6名学生进入第二轮面试,从这6名学生中随机抽取2名学生进行外语交流面试,求这2名学生来自同一组的概率.
6.(2020上海高三下月考,)一辆小客车上有5个座位,其座位号为1,2,3,4,5.乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位号分别为1,2,3,4,5,他们按照座位号从小到大的顺序先后上车.乘客P1因身体原因没有坐自己的1号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就座:如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位;如果自己的座位已有乘客就座,就在剩余空位中任意选择座位.
(1)若乘客P1坐到了3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4种坐法.下表给出了其中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处);
(2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,求乘客P5坐到5号座位的概率.
答案全解全析
五年高考练
1.C 记“该中学学生喜欢足球”为事件A,“该中学学生喜欢游泳”为事件B,则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A∪B,“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A∩B.
根据题意,P(A)=0.6,P(B)=0.82,P(A∪B)=0.96,所以P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=0.46.
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%.
2.B 设事件A为“不用现金支付”,事件B为“既用现金支付也用非现金支付”,事件C为“只用现金支付”,则P(A)=1-P(B)-P(C)=1-0.15-0.45=0.4.故选B.
3.A 从O,A,B,C,D中任取3点的情况有(O,A,B),(O,A,C),(O,A,D),(O,B,C),(O,B,D),(O,C,D),(A,B,C),(A,B,D),(B,C,D),(A,C,D),共10种,由图可知取到的3点共线的有(O,A,C)和(O,B,D)2种情况,所以所求概率为210=15.故选A.
4.B 记5只兔子分别为A,B,C,D,E,其中测量过某项指标的3只兔子为A,B,C,则从这5只兔子中随机取出3只的情况有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种,其中恰有2只测量过该指标的情况有ABD,ABE,ACD,ACE,BCD,BCE,共6种,所以所求事件的概率P=610=35.
5.D 设两位男同学分别为A、B,两位女同学分别为a、b,则四位同学排成一列,所有可能的结果用树状图表示为
共24种结果,其中两位女同学相邻的结果有12种,∴P(两位女同学相邻)=1224=12,故选D.
6.答案 23
解析 设四个不同的馆为a、b、c、d,甲从中选取两个的选法有ab,ac,ad,bc,bd,cd,共6种,
乙从中选取两个的选法有ab,ac,ad,bc,bd,cd,共6种.
因此甲、乙2人每人选两个馆去参观,所有样本点为(ab,ab),(ab,ac),(ab,ad),(ab,bc),(ab,bd),(ab,cd),(ac,ab),(ac,ac),(ac,ad),(ac,bc),(ac,bd),(ac,cd),(ad,ab),(ad,ac),(ad,ad),(ad,bc),(ad,bd),(ad,cd),(bc,ab),(bc,ac),(bc,ad),(bc,bc),(bc,bd),(bc,cd),(bd,ab),(bd,ac),(bd,ad),(bd,bc),(bd,bd),(bd,cd),(cd,ab),(cd,ac),(cd,ad),(cd,bc),(cd,bd),(cd,cd),共36个.
设“恰有一个馆相同”为事件A,则A中含有的样本点为(ab,ac),(ab,ad),(ab,bc),(ab,bd),(ac,ab),(ac,ad),(ac,bc),(ac,cd),(ad,ab),(ad,ac),(ad,bd),(ad,cd),(bc,ab),(bc,ac),(bc,bd),(bc,cd),(bd,ab),(bd,ad),(bd,bc),(bd,cd),(cd,ac),(cd,ad),(cd,bc),(cd,bd),共24个.所以所求概率P=2436=23.
7.解析 (1)由已知,老、中、青员工人数之比为6∶9∶10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.
(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种.
②由题中表格知,符合题意的所有可能结果为(A,B),(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,E),(C,F),(D,F),(E,F),共11种.
所以事件M发生的概率P(M)=1115.
三年模拟练
1.B AB表示甲、乙两人均未击中靶子,因此E=A B,因此①正确;
AB表示甲、乙两人都击中靶子,而F表示至少有一人击中靶子,因此②错误;
A+B表示至少有一人击中靶子,因此③正确,④错误;
AB+AB表示两人中恰有一人击中靶子,因此⑤正确;
由于E与F是对立事件,因此⑥正确;
由于A与B不是互斥事件,故P(F)=P(A)+P(B)-P(AB),因此⑦错误.
故选B.
2.A ∵a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5},
∴样本点总数n=3×4=12.
用(a,b)表示a,b的取值.
若函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)上为增函数,
则①当a=0时, f(x)=-2bx,符合条件的只有(0,-1),即a=0,b=-1;
②当a≠0时,需满足ba≤1,符合条件的有(1,-1),(1,1),(2,-1),(2,1),共4种.
∴函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)上为增函数的概率P=512.
3.答案 35;45
解析 由题得P(A)+P(B)=1-25=35,因为P(A)=2P(B),所以P(A)=25,P(B)=15,所以P(A)=1-P(A)=35,P(B)=1-P(B)=45.
4.解析 先后抛掷一枚均匀的正方体骰子两次,骰子朝上的面的点数x,y的所有可能情况有6×6=36(种),而满足lg2xy=1,即y=2x(1≤x≤6,1≤y≤6,x、y∈Z)的情况有
x=1,y=2或x=2,y=4或x=3,y=6,共3种,故所求概率为336=112.
5.解析 (1)设样本的中位数为x0,由频率分布直方图可知,x0∈[170,175),
从而有(0.01+0.07)×5+(x0-170)×0.04=0.5,解得x0=172.5.
故估计全体考生笔试成绩的中位数为172.5.
(2)记事件A为“这两名学生来自同一组”.
由题意得,应从第3组抽取2人,第4组抽取3人,第5组抽取1人.
记第3组的2名学生为a1,a2,第4组的3名学生为 b1,b2,b3,第5组的1名学生为c.从这6人中抽取2人的样本空间中的样本点有:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,c),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,c),(b1,b2),(b1,b3),(b1,c),(b2,b3),(b2,c),(b3,c),共15个,
其中事件A包含的样本点有:(a1,a2),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共4个.
由古典概型公式得P(A)=415.
故这2名学生来自同一组的概率为415.
6.解析 (1)余下两种坐法如下表所示:
(2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,则所有可能的坐法可用下表表示为:
于是,所有可能的坐法共8种.
设“乘客P5坐到5号座位”为事件A,则事件A包含的样本点的个数为4.所以P(A)=48=12,即乘客P5坐到5号座位的概率是12.
员工
项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位号
3
2
1
4
5
3
2
4
5
1
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位号
3
2
4
1
5
3
2
5
4
1
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位号
2
1
3
4
5
2
3
1
4
5
2
3
4
1
5
2
3
4
5
1
2
3
5
4
1
2
4
3
1
5
2
4
3
5
1
2
5
3
4
1
考点1 随机事件的概率及其性质
1.(2020新高考Ⅰ,5,5分,)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A.62%B.56%
C.46%D.42%
2.(2018课标全国Ⅲ,5,5分,)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( )
A.0.3B.0.4
C.0.6D.0.7
考点2 古典概型
3.(2020全国Ⅰ,4,5分,)设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为( )
4.(2019课标全国Ⅱ,4,5分,)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为( )
5.(2019课标全国Ⅲ,3,5分,)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是( )
6.(2021上海,10,5分,)有四个不同的馆,甲、乙2人每人选2个馆去参观,恰有一个馆相同的概率为 .
7.(2019天津,15,13分,)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?
(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.
三年模拟练
1.(2021河北邯郸高三上月考,)甲、乙两人对同一个靶子各射击一次,设事件A=“甲击中靶子”,事件B=“乙击中靶子”,事件E=“靶子未被击中”,事件F=“靶子被击中”,事件G=“恰有一人击中靶子”,有下列关系式(A表示A的对立事件,B表示B的对立事件):①E=AB,②F=AB,③F=A+B,④G=A+B,⑤G=AB+AB,⑥P(F)=1-P(E),⑦P(F)=P(A)+P(B).其中正确的个数是( )
A.3B.4
C.5D.6
2.(2021江苏南通高一下期末,)已知a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5},则函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)上为增函数的概率是( )
3.()事件A,B互斥,它们都不发生的概率为25,且P(A)=2P(B),则P(A)= ,P(B)= .
4.(2020广东湛江高一下期末,)先后抛掷一枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)两次,骰子朝上的面的点数分别为x,y,求事件lg2xy=1发生的概率.
5.(2020安徽安庆高二期末,)某高校在2019年的自主招生考试中,随机抽取200名考生的笔试成绩作为样本研究,按照笔试成绩分成5组:第1组[160,165),第2组[165,170),第3组[170,175),第4组[175,180),第5组[180,185],样本频率分布直方图如下:
(1)估计全体考生笔试成绩的中位数;
(2)为了能选拔出最优秀的学生,该校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取6名学生进入第二轮面试,从这6名学生中随机抽取2名学生进行外语交流面试,求这2名学生来自同一组的概率.
6.(2020上海高三下月考,)一辆小客车上有5个座位,其座位号为1,2,3,4,5.乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位号分别为1,2,3,4,5,他们按照座位号从小到大的顺序先后上车.乘客P1因身体原因没有坐自己的1号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就座:如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位;如果自己的座位已有乘客就座,就在剩余空位中任意选择座位.
(1)若乘客P1坐到了3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4种坐法.下表给出了其中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处);
(2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,求乘客P5坐到5号座位的概率.
答案全解全析
五年高考练
1.C 记“该中学学生喜欢足球”为事件A,“该中学学生喜欢游泳”为事件B,则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A∪B,“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A∩B.
根据题意,P(A)=0.6,P(B)=0.82,P(A∪B)=0.96,所以P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=0.46.
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%.
2.B 设事件A为“不用现金支付”,事件B为“既用现金支付也用非现金支付”,事件C为“只用现金支付”,则P(A)=1-P(B)-P(C)=1-0.15-0.45=0.4.故选B.
3.A 从O,A,B,C,D中任取3点的情况有(O,A,B),(O,A,C),(O,A,D),(O,B,C),(O,B,D),(O,C,D),(A,B,C),(A,B,D),(B,C,D),(A,C,D),共10种,由图可知取到的3点共线的有(O,A,C)和(O,B,D)2种情况,所以所求概率为210=15.故选A.
4.B 记5只兔子分别为A,B,C,D,E,其中测量过某项指标的3只兔子为A,B,C,则从这5只兔子中随机取出3只的情况有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种,其中恰有2只测量过该指标的情况有ABD,ABE,ACD,ACE,BCD,BCE,共6种,所以所求事件的概率P=610=35.
5.D 设两位男同学分别为A、B,两位女同学分别为a、b,则四位同学排成一列,所有可能的结果用树状图表示为
共24种结果,其中两位女同学相邻的结果有12种,∴P(两位女同学相邻)=1224=12,故选D.
6.答案 23
解析 设四个不同的馆为a、b、c、d,甲从中选取两个的选法有ab,ac,ad,bc,bd,cd,共6种,
乙从中选取两个的选法有ab,ac,ad,bc,bd,cd,共6种.
因此甲、乙2人每人选两个馆去参观,所有样本点为(ab,ab),(ab,ac),(ab,ad),(ab,bc),(ab,bd),(ab,cd),(ac,ab),(ac,ac),(ac,ad),(ac,bc),(ac,bd),(ac,cd),(ad,ab),(ad,ac),(ad,ad),(ad,bc),(ad,bd),(ad,cd),(bc,ab),(bc,ac),(bc,ad),(bc,bc),(bc,bd),(bc,cd),(bd,ab),(bd,ac),(bd,ad),(bd,bc),(bd,bd),(bd,cd),(cd,ab),(cd,ac),(cd,ad),(cd,bc),(cd,bd),(cd,cd),共36个.
设“恰有一个馆相同”为事件A,则A中含有的样本点为(ab,ac),(ab,ad),(ab,bc),(ab,bd),(ac,ab),(ac,ad),(ac,bc),(ac,cd),(ad,ab),(ad,ac),(ad,bd),(ad,cd),(bc,ab),(bc,ac),(bc,bd),(bc,cd),(bd,ab),(bd,ad),(bd,bc),(bd,cd),(cd,ac),(cd,ad),(cd,bc),(cd,bd),共24个.所以所求概率P=2436=23.
7.解析 (1)由已知,老、中、青员工人数之比为6∶9∶10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.
(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种.
②由题中表格知,符合题意的所有可能结果为(A,B),(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,E),(C,F),(D,F),(E,F),共11种.
所以事件M发生的概率P(M)=1115.
三年模拟练
1.B AB表示甲、乙两人均未击中靶子,因此E=A B,因此①正确;
AB表示甲、乙两人都击中靶子,而F表示至少有一人击中靶子,因此②错误;
A+B表示至少有一人击中靶子,因此③正确,④错误;
AB+AB表示两人中恰有一人击中靶子,因此⑤正确;
由于E与F是对立事件,因此⑥正确;
由于A与B不是互斥事件,故P(F)=P(A)+P(B)-P(AB),因此⑦错误.
故选B.
2.A ∵a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5},
∴样本点总数n=3×4=12.
用(a,b)表示a,b的取值.
若函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)上为增函数,
则①当a=0时, f(x)=-2bx,符合条件的只有(0,-1),即a=0,b=-1;
②当a≠0时,需满足ba≤1,符合条件的有(1,-1),(1,1),(2,-1),(2,1),共4种.
∴函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)上为增函数的概率P=512.
3.答案 35;45
解析 由题得P(A)+P(B)=1-25=35,因为P(A)=2P(B),所以P(A)=25,P(B)=15,所以P(A)=1-P(A)=35,P(B)=1-P(B)=45.
4.解析 先后抛掷一枚均匀的正方体骰子两次,骰子朝上的面的点数x,y的所有可能情况有6×6=36(种),而满足lg2xy=1,即y=2x(1≤x≤6,1≤y≤6,x、y∈Z)的情况有
x=1,y=2或x=2,y=4或x=3,y=6,共3种,故所求概率为336=112.
5.解析 (1)设样本的中位数为x0,由频率分布直方图可知,x0∈[170,175),
从而有(0.01+0.07)×5+(x0-170)×0.04=0.5,解得x0=172.5.
故估计全体考生笔试成绩的中位数为172.5.
(2)记事件A为“这两名学生来自同一组”.
由题意得,应从第3组抽取2人,第4组抽取3人,第5组抽取1人.
记第3组的2名学生为a1,a2,第4组的3名学生为 b1,b2,b3,第5组的1名学生为c.从这6人中抽取2人的样本空间中的样本点有:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,c),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,c),(b1,b2),(b1,b3),(b1,c),(b2,b3),(b2,c),(b3,c),共15个,
其中事件A包含的样本点有:(a1,a2),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共4个.
由古典概型公式得P(A)=415.
故这2名学生来自同一组的概率为415.
6.解析 (1)余下两种坐法如下表所示:
(2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,则所有可能的坐法可用下表表示为:
于是,所有可能的坐法共8种.
设“乘客P5坐到5号座位”为事件A,则事件A包含的样本点的个数为4.所以P(A)=48=12,即乘客P5坐到5号座位的概率是12.
员工
项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
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赡养老人
○
○
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○
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位号
3
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1
4
5
3
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1
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