广东省深圳市南山区2021-2022学年八年级上学期期末考试数学试卷（word版 含答案）

这是一份广东省深圳市南山区2021-2022学年八年级上学期期末考试数学试卷（word版 含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列线段能组成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，2B．3，4，5C．，2，D．5，6，7
2．在如图所示的直角坐标系中，M，N的坐标分别为（ ）
A．M（2，﹣1），N（2，1）B．M（﹣1，2），N（2，1）
C．M（﹣1，2），N（1，2）D．M（2，﹣1），N（1，2）
3．在一次投篮训练中，甲、乙、丙、丁四人各进行10次投篮，每人投篮成绩的平均数都是8，方差分别为S甲2＝0.24，S乙2＝0.42，S丙2＝0.56，S丁2＝0.75，成绩最稳定的是（ ）
A．甲．B．乙C．丙D．丁
4．若a＜＜b，且a与b为连续整数，则a与b的值分别为（ ）
A．1；2B．2；3C．3；4D．4；5
5．将一副三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示方式摆放，使得BA∥EF，则∠AOF等于（ ）
A．75°B．90°C．105°D．115°
6．下列计算结果，正确的是（ ）
A．＝﹣3B．＝C．2﹣＝1D．（）2＝5
7．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．k＜0B．b＝﹣1
C．y随x的增大而减小D．当x＞2时，kx+b＜0
8．下列命题错误的个数有（ ）
①实数与数轴上的点一一对应；
②无限小数就是无理数；
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（ ）
A．121B．110C．100D．90
10．A，B两地相距640km，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距s（km），甲行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法：
①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h；
②乙出发4h后追上甲；
③甲比乙晚到h；
④甲车行驶8h或9h，甲，乙两车相距80km；
其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每题3分，共15分）
11．使二次根式有意义的x的取值范围是 ．
12．将直线y＝3x向上平移3个单位，得到直线 ．
13．如图，直线AB：y＝kx+b与直线CD：y＝mx+n交于点E（3，1），则关于x的二元一次方程组的解为 ．
14．已知M（2n﹣m，5）和N（13，m）关于x轴对称，则（m+n）2022的值为 ．
15．如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（4，8），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为 ．
三、解答题（共55分）
16．计算及解方程组：
（1）；
（2）﹣2；
（3）（﹣）（+）+﹣；
（4）．
17．深圳市近期正在创建第六届全国文明城市，学校倡议学生利用双休日参加义工活动，为了解同学们的活动情况学校随机调查了部分同学的活动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）扇形图中“1.5小时”部分圆心角是 度，活动时间的平均数是 ，众数是 小时，中位数是 小时；
（3）若该学校共有900人参与义工活动，请你估计工作时长一小时以上（不包括一小时）的学生人数为 ．
18．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？
19．为了响应市委和市政府“绿色环保，节能减排”的号召，幸福商场用3300元购进甲、乙两种节能灯共计100只，很快售完．这两种节能灯的进价、售价如下表：
（1）求幸福商场甲、乙两种节能灯各购进了多少只？
（2）全部售完100只节能灯后，商场共计获利多少元？
20．在如图的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点），点A的坐标为（﹣2，3）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′（不写画法，其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点）；
（2）直接写出A'，B'，C'三点的坐标：A′（ ），B′（ ），C′（ ）；
（3）在y轴上求作一点P，使PA+PB的值最小．（简要写出作图步骤）
21．（问题背景）
∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．
（问题思考）
（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝ ．
（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．
①若∠BAO＝70°，则∠D＝ °．
②随着点A、B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；
（问题拓展）
（3）在图②的基础上，如果∠MON＝α，其余条件不变，随着点A、B的运动（如图③），∠D＝ ．（用含α的代数式表示）
22．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+1（k≠0）交y轴于点A，交x轴于点B（3，0），点P是直线AB上方第一象限内的动点．
（1）求直线AB的表达式和点A的坐标；
（2）点P是直线x＝2上一动点，当△ABP的面积与△ABO的面积相等时，求点P的坐标；
（3）当△ABP为等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列线段能组成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，2B．3，4，5C．，2，D．5，6，7
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
解：A、∵12+22≠22，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能组成直角三角形；
B、∵32+42＝52，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故能组成直角三角形；
C、∵（）2+22≠（）2，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能组成直角三角形；
D、∵52+62≠72，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能组成直角三角形．
故选：B．
2．在如图所示的直角坐标系中，M，N的坐标分别为（ ）
A．M（2，﹣1），N（2，1）B．M（﹣1，2），N（2，1）
C．M（﹣1，2），N（1，2）D．M（2，﹣1），N（1，2）
【分析】应先判断象限内点的坐标的符号特点，进而找相应坐标．
解：点M在第二象限，那么横坐标小于0，是﹣1，纵坐标大于0，是2，即M点的坐标为（﹣1，2）；
又因为点N在第一象限，那么它的横，纵坐标都大于0，即N的坐标为（2，1）．
故选：B．
3．在一次投篮训练中，甲、乙、丙、丁四人各进行10次投篮，每人投篮成绩的平均数都是8，方差分别为S甲2＝0.24，S乙2＝0.42，S丙2＝0.56，S丁2＝0.75，成绩最稳定的是（ ）
A．甲．B．乙C．丙D．丁
【分析】根据方差的意义求解可得．
解：∵S甲2＝0.24，S乙2＝0.42，S丙2＝0.56，S丁2＝0.75，
∴S甲2＜S乙2＜S丙2＜S丁2，
∴成绩最稳定的是甲，
故选：A．
4．若a＜＜b，且a与b为连续整数，则a与b的值分别为（ ）
A．1；2B．2；3C．3；4D．4；5
【分析】根据4＜7＜9，结合a＜＜b，且a与b为连续整数，即可得出a、b的值．
解：∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，
∵a＜＜b，且a与b是两个连续整数，
∴a＝2，b＝3．
故选：B．
5．将一副三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示方式摆放，使得BA∥EF，则∠AOF等于（ ）
A．75°B．90°C．105°D．115°
【分析】依据AB∥EF，即可得∠FCA＝∠A＝30°，由∠F＝∠E＝45°，利用三角形外角性质，即可得到∠AOF＝∠FCA+∠F＝30°+45°＝75°．
解：∵BA∥EF，∠A＝30°，
∴∠FCA＝∠A＝30°．
∵∠F＝∠E＝45°，
∴∠AOF＝∠FCA+∠F＝30°+45°＝75°．
故选：A．
6．下列计算结果，正确的是（ ）
A．＝﹣3B．＝C．2﹣＝1D．（）2＝5
【分析】利用二次根式的性质对A、D进行判断；根据二次根式的加减法对B、C进行判断．
解：A、原式＝3，所以A选项错误；
B、与不能合并，所以B选项错误；
C、原式＝，所以C选项错误；
D、原式＝5，所以D选项正确．
故选：D．
7．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．k＜0B．b＝﹣1
C．y随x的增大而减小D．当x＞2时，kx+b＜0
【分析】直接利用一次函数的性质结合函数图象上点的坐标特点得出答案．
解：如图所示：A、图象经过第一、三、四象限，则k＞0，故此选项错误；
B、图象与y轴交于点（0，﹣1），故b＝﹣1，正确；
C、k＞0，y随x的增大而增大，故此选项错误；
D、当x＞2时，kx+b＞0，故此选项错误；
故选：B．
8．下列命题错误的个数有（ ）
①实数与数轴上的点一一对应；
②无限小数就是无理数；
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用实数的性质、无理数的定义、三角形的外角的性质及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
解：①实数与数轴上的点一一对应，正确，不符合题意；
②无限不循环小数就是无理数，故原命题错误，符合题意；
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，正确，不符合题意；
④两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题错误，符合题意．
错误的有2个，
故选：B．
9．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（ ）
A．121B．110C．100D．90
【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，
所以，四边形AOLP是正方形，
∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，
∴AC＝＝＝4，
∴AO＝AB+AC＝3+4＝7，
∴KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，
因此，矩形KLMJ的面积为10×11＝110，
故选：B．
10．A，B两地相距640km，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距s（km），甲行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法：
①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h；
②乙出发4h后追上甲；
③甲比乙晚到h；
④甲车行驶8h或9h，甲，乙两车相距80km；
其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据函数图象即可得到甲车行驶的速度以及乙车行驶的速度；根据函数图象即可得到乙出发4h后追上甲；根据图象，当乙到达B地时，甲乙相距100km，据此可得甲比乙晚到h；根据甲，乙两车相距80km，列出方程进行求解即可．
解：①由图可得，甲车行驶的速度是60÷1＝60km/h，
∵甲先出发1h，乙出发3h后追上甲，
∴3（v乙﹣60）＝60，
∴v乙＝80km/h，
即乙车行驶的速度是80km/h，故①正确；
②∵当t＝1时，乙出发，当t＝4时，乙追上甲，
∴乙出发3h后追上甲，故②错误；
③由图可得，当乙到达B地时，甲乙相距100km，
∴甲比乙晚到100÷60＝h，故③正确；
④由图可得，当60t+80＝80（t﹣1）时，
解得t＝8；
当60t+80＝640时，
解得t＝9，
∴甲车行驶8h或9h，甲，乙两车相距80km，故④正确；
综上所述，正确的个数是3个．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．使二次根式有意义的x的取值范围是 x≥5 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣5≥0，再解即可．
解：由题意得：x﹣5≥0，
解得：x≥5，
故答案为：x≥5．
12．将直线y＝3x向上平移3个单位，得到直线 y＝3x+3 ．
【分析】利用一次函数“上加下减”的平移规律即可得出答案．
解：将直线y＝3x向上平移3个单位，得到直线：y＝3x+3．
故答案为y＝3x+3．
13．如图，直线AB：y＝kx+b与直线CD：y＝mx+n交于点E（3，1），则关于x的二元一次方程组的解为 ．
【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
解：∵直线AB：y＝kx+b与直线CD：y＝mx+n交于点E（3，1），
则关于x的二元一次方程组的解为，
故答案为：．
14．已知M（2n﹣m，5）和N（13，m）关于x轴对称，则（m+n）2022的值为 1 ．
【分析】根据两个点关于x轴对称，先求出m，n的值，然后代入进行计算即可．
解：∵M（2n﹣m，5）和N（13，m）关于x轴对称，
∴2n﹣m＝13，m＝﹣5，
∴把m＝﹣5代入2n﹣m＝13中得：
2n﹣（﹣5）＝13，
∴n＝4，
∴（m+n）2022＝（﹣5+4）2022＝1，
故答案为：1．
15．如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（4，8），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为 （﹣，） ．
【分析】过D作DF⊥x轴于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE＝DE，OA＝CD＝4，设OE＝x，那么CE＝8﹣x，DE＝x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD＝AB＝8，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．
解：如图，过D作DF⊥x轴于F，
∵点B的坐标为（4，8），
∴AO＝4，AB＝8，
根据折叠可知：CD＝OA，
而∠D＝∠AOE＝90°，∠DEC＝∠AEO，
∴△CDE≌△AOE，
∴OE＝DE，OA＝CD＝4，
设OE＝x，那么CE＝8﹣x，DE＝x，
∴在Rt△DCE中，CE2＝DE2+CD2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
∴x＝3，
又DF⊥AF，
∴DF∥EO，
∴△AEO∽△ADF，
而AD＝AB＝8，
∴AE＝CE＝8﹣3＝5，
∴＝＝，
即，
∴DF＝，AF＝，
∴OF＝﹣4＝，
∴D的坐标为（﹣，）．
故答案是：（﹣，）．
三、解答题（共55分）
16．计算及解方程组：
（1）；
（2）﹣2；
（3）（﹣）（+）+﹣；
（4）．
【分析】（1）利用二次根式的乘法法则运算；
（2）利用二次根式的除法法则运算；
（3）先利用平方差公式计算，然后化简后合并即可；
（4）先把原方程组整理为，然后利用加减消元法解方程组．
解：（1）原式＝
＝
＝6；
（2）原式＝+1﹣2
＝2+1﹣2
＝1；
（3）原式＝3﹣2+2﹣
＝1+；
（4）原方程组整理为，
②﹣①得4n＝8，
解得n＝2，
把n＝2代入①得2m﹣4＝4，
解得m＝3，
所以原方程组的解为．
17．深圳市近期正在创建第六届全国文明城市，学校倡议学生利用双休日参加义工活动，为了解同学们的活动情况学校随机调查了部分同学的活动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）扇形图中“1.5小时”部分圆心角是 144 度，活动时间的平均数是 1.32小时 ，众数是 1.5 小时，中位数是 1.5 小时；
（3）若该学校共有900人参与义工活动，请你估计工作时长一小时以上（不包括一小时）的学生人数为 522 ．
【分析】（1）从两个统计图中可得到，工作时间为1小时的有30人，占调查人数的30%，可求出调查总人数，进而求出“工作时间为1.5小时”的人数，补全条形统计图；
（2）扇形图中“1.5小时”部分占360°的，求出圆心角度数，利用加权平均数的计算方法计算出工作时间的平均数，观察工作时间出现次数最多的数即为众数，将100个人的工作时间从小到大排序后，找出在第50、51位的两个数的平均数即为中位数，
（3）样本中，工作时间大于1小时占调查人数的，根据全校900人中，工作时间大于1小时也占58%，进而求出人数即可．
解：（1）30÷30%＝100（人）
100﹣12﹣30﹣18＝40（人）补全统计如图所示：
（2）360°×＝144°，
活动时间的平均数为：＝1.32（小时）
活动时间出现次数最多的是1.5小时，出现40次，因此众数为1.5小时，
将100个学生的活动时间从小到大排序后处在第50、51位的都是1.5小时，因此中位数是1.5小时，
故答案为：144，1.32小时，1.5，1.5．
（3）900×＝522（人），
故答案为：522．
18．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？
【分析】首先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为（x+1）尺，根据勾股定理可得方程x2+52＝（x+1）2，再解即可．
解：设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+52＝（x+1）2，
解得：x＝12，
则x+1＝13，
答：水深12尺，芦苇长13尺．
19．为了响应市委和市政府“绿色环保，节能减排”的号召，幸福商场用3300元购进甲、乙两种节能灯共计100只，很快售完．这两种节能灯的进价、售价如下表：
（1）求幸福商场甲、乙两种节能灯各购进了多少只？
（2）全部售完100只节能灯后，商场共计获利多少元？
【分析】（1）设商场购进甲种节能灯x只，购进乙种节能灯y只，根据幸福商场用3300元购进甲、乙两种节能灯共计100只，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总利润＝每只甲种节能灯的利润×购进数量+每只乙种节能灯的利润×购进数量，即可求出结论．
解：（1）设商场购进甲种节能灯x只，购进乙种节能灯y只，
根据题意得：，
解得：．
答：商场购进甲种节能灯40只，购进乙种节能灯60只．
（2）40×（40﹣30）+60×（50﹣35）＝1300（元）．
答：商场共计获利1300元．
20．在如图的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点），点A的坐标为（﹣2，3）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′（不写画法，其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点）；
（2）直接写出A'，B'，C'三点的坐标：A′（ ﹣2，﹣3 ），B′（ ﹣3，﹣1 ），C′（ 1，2 ）；
（3）在y轴上求作一点P，使PA+PB的值最小．（简要写出作图步骤）
【分析】（1）根据关于x轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）利用所画图形写出各点坐标即可；
（3）利用轴对称求出最短路径即可．
解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；
（2）如图所示：A′（﹣2，﹣3），B′（﹣3，﹣1），C′（1，2）；
（3）如图所示：P点即为所求，
找到A点关于y轴对称点A″，连接A″B，交y轴于点P，
此时PA+PB的值最小．
21．（问题背景）
∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．
（问题思考）
（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝ 135° ．
（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．
①若∠BAO＝70°，则∠D＝ 45 °．
②随着点A、B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；
（问题拓展）
（3）在图②的基础上，如果∠MON＝α，其余条件不变，随着点A、B的运动（如图③），∠D＝ ．（用含α的代数式表示）
【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
（2）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
②由①的思路可得结论；
（3）在②的基础上，将90°换成α即可．
解：（1）∵∠MON＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE＝∠BAO，∠ABE＝∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE＝（∠BAO+∠ABO）＝45°，
∴∠AEB＝135°；
故答案为：135°；
（2）①∵∠AOB＝90°，∠BAO＝70°，
∴∠ABO＝20°，∠ABN＝160°，
∵BC是∠ABN的平分线，
∴∠OBD＝∠CBN＝×160°＝80°，
∵AD平分∠BAO，
∴∠DAB＝35°，
∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD﹣∠AOB＝180°﹣80°﹣35°﹣20°＝45°，
故答案为：45；
②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，
设∠BAD＝x，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO＝2x，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90+2x，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC＝45°+x，
∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+x﹣x＝45°；
（3）设∠BAD＝x，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO＝2x，
∵∠AOB＝α，
∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝α+2x，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC＝+x，
∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝+x﹣x＝；
故答案为：．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+1（k≠0）交y轴于点A，交x轴于点B（3，0），点P是直线AB上方第一象限内的动点．
（1）求直线AB的表达式和点A的坐标；
（2）点P是直线x＝2上一动点，当△ABP的面积与△ABO的面积相等时，求点P的坐标；
（3）当△ABP为等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）把B的坐标代入直线AB的解析式，即可求得k的值，然后在解析式中，令x＝0，求得y的值，即可求得A的坐标；
（2）过点A作AM⊥PD，垂足为M，求得AM的长，即可求得△BPD和△PAD的面积，二者的和即可表示S△PAB，在根据△ABP的面积与△ABO的面积相等列方程即可得答案；
（3）分三种情况：当P为直角顶点时，过P作PN⊥y轴于N，过B作BM⊥PN于M，由△APN≌△PBM（AAS），可得AN+1＝PN①，PN+AN＝3②，即得P（2，2）；当A为直角顶点时，过P作PK⊥y轴于K，由△APK≌△BAO，可得P（1，4），当B为直角顶点时，过P作PR⊥x轴于R，同理可得P（4，3）．
解：（1）∵直线AB：y＝kx+1（k≠0）交y轴于点A，交x轴于点B（3，0），
∴0＝3k+1，
∴k＝﹣，
∴直线AB的解析式是y＝﹣x+1．
当x＝0时，y＝1，
∴点A（0，1）；
（2）如图1，过点A作AM⊥PD，垂足为M，则有AM＝2，
设P（2，n），
∵x＝2时，y＝﹣x+1＝，
∴D（2，），
∵P在点D的上方，
∴PD＝n﹣，
∴S△APD＝AM•PD＝×2×（n﹣）＝n﹣，
由点B（3，0），可知点B到直线x＝2的距离为1，即△BDP的边PD上的高长为1，
∴S△BPD＝×1×（n﹣）＝（n﹣），
∴S△PAB＝S△APD+S△BPD＝n﹣；
∵△ABP的面积与△ABO的面积相等，
∴n﹣＝×1×3，
解得n＝，
∴P（2，）；
（3）当P为直角顶点时，过P作PN⊥y轴于N，过B作BM⊥PN于M，如图2：
∵△ABP为等腰直角三角形，
∴AP＝BP，∠NPA＝90°﹣∠BPM＝∠PBM，
∵∠ANP＝∠BMP＝90°，
∴△APN≌△PBM（AAS），
∴BM＝PN，PM＝AN，
∵∠NOB＝∠ONM＝∠OBM＝90°，
∴四边形OBMN是矩形，
∴MN＝OB＝3，BM＝ON＝AN+1＝PN①，
∴PN+PM＝PN+AN＝3②，
由①②解得PN＝2，AN＝1，
∴ON＝OA＝AN＝2，
∴P（2，2）；
当A为直角顶点时，过P作PK⊥y轴于K，如图3：
∵△ABP为等腰直角三角形，
∴AP＝AB，∠KAP＝90°﹣∠OAB＝∠ABO，
而∠PKA＝∠AOB＝90°，
∴△APK≌△BAO（AAS），
∴AK＝OB＝3，PK＝OA＝1，
∴OK＝OA+AK＝4，
∴P（1，4），
当B为直角顶点时，过P作PR⊥x轴于R，如图4：
同理可证△AOB≌△BRP（AAS），
∴BR＝OA＝1，PR＝OB＝3，
∴P（4，3），
综上所述，P坐标为：（2，2）或（1，4）或（4，3）．
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