湖南省衡阳市2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案）

这是一份湖南省衡阳市2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列事件为必然事件的是（ ）
A．打开电视，正在播放新闻
B．买一张电影票，座位号是奇数号
C．任意画一个三角形，其内角和是180°
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
2．要使二次根式有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x＞1C．x＜1D．x≥﹣1
3．下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
4．一元二次方程x2+3x＝0的根是（ ）
A．x1＝x2＝3B．x1＝x2＝﹣3C．x1＝3，x2＝0D．x1＝﹣3，x2＝0
5．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝6B．（x+2）2＝9C．（x﹣1）2＝6D．（x﹣2）2＝9
6．如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB＝5，BC＝10，DE＝4，则EF的长为（ ）
A．12.5B．12C．8D．4
7．二次函数y＝（m﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则m取值范围是（ ）
A．m≤3B．m＜3C．m＜3且m≠2D．m≤3且m≠2
8．如图，在△ABC中，EF∥BC，AE＝2BE，则△AEF与梯形BCFE的面积比为（ ）
A．1：2B．2：3C．3：4D．4：5
9．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tanD的值为（ ）
A．2+B．2﹣C．2D．3
10．某模具公司销售员小王一月份销售额为8万元，已知小王第一季度销售额为34.88万元，若设小王平均每月销售额的增长率均为x，可以列出方程为（ ）
A．8（1+x）2＝34.88
B．8（1+3x）＝34.88
C．8[1+（1+x）+（1+x）2]＝34.88
D．34.88（1﹣x）2＝8
11．已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，当x≤1时，y随x的增大而增大，且﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．1B．C．﹣D．﹣
12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③当y＜0时，x＜﹣1或x＞3；④3a+c＝0．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜色不同外没有任何区别，现从中任意摸出一个球，恰好是黑球的概率为 ．
14．△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且（tanA﹣）2+|2csB﹣1|＝0，则△ABC的形状是 ．
15．如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（﹣2，﹣3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，﹣1），B1（1，﹣5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为 ．
16．已知实数x、y满足（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝15，则x2+y2＝ ．
17．将抛物线y＝﹣2（x+2）2+5向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为 ．
18．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点E是边BC上一动点（不与点B，C重合），∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF，有下列结论：
①△ABE∽△ECG；
②AE＝EF；
③∠DAF＝∠CFE；
④△CEF的面积的最大值为1．
其中正确结论的序号是 ．（把正确结论的序号都填上）
三、解答题（本大题共8个小题，满分66分.第19～20题每题6分，第21～24题每题8分，第25题10分，第26题12分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．计算：（）×．
20．小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1﹣4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22＝7，求m的值．
22．如图，一艘邮轮从港口P处出发，沿北偏东60°方向行驶200海里到A港口，卸货后向正南方向行驶到B港口，此时P港口在邮轮的北偏西45°方向上，求此时邮轮与港口P相距多少海里．（结果保留根号）
23．超市销售某种儿童玩具，经市场调查发现，每件利润为40元时，每天可售出50件；销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．物价管理部门规定，该种玩具每件利润不得超过60元．设销售单价增加x元，每天可售出y件．
（1）写出y与x之间的函数关系式： （不要求写出自变量取值范围）；
（2）当x取何值时，超市每天销售这种玩具可获得利润2250元？此时每天可销售多少件？
24．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？
25．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已知折痕CE＝5，且AE：AD＝3：4．
（1）判断△OCD与△ADE是否相似？请说明理由；
（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；
（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．
26．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点．点D为抛物线的顶点．连接AC，BC，CD，BD．
（1）求抛物线的解析式和D点坐标；
（2）求证：△AOC∽△DCB；
（3）如图1，延长AC，BD相交于点E，求tan∠AEB的值．
（4）如图2，点P为抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作PM⊥直线CD，垂足为M，当PM最大时，请直接写出此时点P的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分。在每小题给出的四个选项中只有-项是符合题目要求的。）
1．下列事件为必然事件的是（ ）
A．打开电视，正在播放新闻
B．买一张电影票，座位号是奇数号
C．任意画一个三角形，其内角和是180°
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
解：A、打开电视，正在播放新闻，是随机事件；
B、买一张电影票，座位号是奇数号，是随机事件；
C、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件；
D、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件；
故选：C．
2．要使二次根式有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x＞1C．x＜1D．x≥﹣1
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
解：由题意得，2x﹣2≥0，
解得，x≥1，
故选：A．
3．下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
解：A.，故A不符合题意；
B.，故B不符合题意；
C.，故C不符合题意；
D.是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
4．一元二次方程x2+3x＝0的根是（ ）
A．x1＝x2＝3B．x1＝x2＝﹣3C．x1＝3，x2＝0D．x1＝﹣3，x2＝0
【分析】将方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解：x2+3x＝0，
x（x+3）＝0，
x+3＝0或x＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝0，
故选：D．
5．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝6B．（x+2）2＝9C．（x﹣1）2＝6D．（x﹣2）2＝9
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解：由原方程移项，得
x2﹣2x＝5，
方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得
x2﹣2x+1＝6
∴（x﹣1）2＝6．
故选：C．
6．如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB＝5，BC＝10，DE＝4，则EF的长为（ ）
A．12.5B．12C．8D．4
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入已知数据计算即可．
解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，即＝，
解得，EF＝8，
故选：C．
7．二次函数y＝（m﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则m取值范围是（ ）
A．m≤3B．m＜3C．m＜3且m≠2D．m≤3且m≠2
【分析】利用二次函数的定义和判别式的意义得到m﹣2≠0且Δ＝22﹣4（m﹣2）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
解：根据题意得m﹣2≠0且Δ＝22﹣4（m﹣2）≥0，
解得m≤3且m≠2．
故选：D．
8．如图，在△ABC中，EF∥BC，AE＝2BE，则△AEF与梯形BCFE的面积比为（ ）
A．1：2B．2：3C．3：4D．4：5
【分析】证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质得到＝（）2＝，然后根据比例的性质得到△AEF与梯形BCFE的面积比．
解：∵AE＝2BE，
∴＝＝，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴△AEF与梯形BCFE的面积比为4：5．
故选：D．
9．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tanD的值为（ ）
A．2+B．2﹣C．2D．3
【分析】通过解直角△ABC得到AC与BC、AB间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求tan∠D的值．
解：如图，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC，BC＝＝AC．
∵BD＝BA，
∴DC＝BD+BC＝（2+）AC，
∴tan∠D＝＝＝2﹣．
故选：B．
10．某模具公司销售员小王一月份销售额为8万元，已知小王第一季度销售额为34.88万元，若设小王平均每月销售额的增长率均为x，可以列出方程为（ ）
A．8（1+x）2＝34.88
B．8（1+3x）＝34.88
C．8[1+（1+x）+（1+x）2]＝34.88
D．34.88（1﹣x）2＝8
【分析】增长率问题一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出二月份的销售额，再根据题意表示出三月份的销售额，然后将三个月的销售额相加，即可列出方程．
解：小王平均每月销售额的增长率均为x，则有
8[1+（1+x）+（1+x）2]＝34.88．
故选：C．
11．已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，当x≤1时，y随x的增大而增大，且﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．1B．C．﹣D．﹣
【分析】根据二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x≤1时，y随x的增大而增大，可以得到a的正负情况，然后根据﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，即可得到a的值．
解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1，
∴该函数的对称轴是直线x＝2，
又∵当x≤1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，
∵当﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，
∴x＝6时，y＝a×62﹣4a×6﹣1＝﹣4，
解得a＝﹣，
故选：D．
12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③当y＜0时，x＜﹣1或x＞3；④3a+c＝0．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，即可求解；
②抛物线和x轴有两个交点，即可求解；
③点B坐标为（﹣1，0），点A（3，0），即可求解；
④对称轴为x＝1，则b＝﹣2a，点B（﹣1，0），故a﹣b+c＝0，即可求解．
解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故原答案错误，不符合题意；
②抛物线和x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0正确，符合题意；
③点B坐标为（﹣1，0），点A（3，0），则当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．故正确，符合题意；
④函数的对称轴为：x＝﹣＝1，故b＝﹣2a，点B坐标为（﹣1，0），故a﹣b+c＝0，而b＝﹣2a，即3a+c＝0，正确，符合题意；
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜色不同外没有任何区别，现从中任意摸出一个球，恰好是黑球的概率为 ．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．本题球的总数为6+9+3＝18，黑球的数目为3．
解：根据题意可得：一袋中装有红球6个，白球9个，黑球3个，共18个，
任意摸出1个，摸到黑球的概率是＝＝．
故答案为：．
14．△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且（tanA﹣）2+|2csB﹣1|＝0，则△ABC的形状是 等边三角形 ．
【分析】直接利用非负数的性质结合特殊角的三角函数值得出各角度数，即可得出答案．
解：∵（tanA﹣）2+|2csB﹣1|＝0，
∴tanA﹣＝0，2csB﹣1＝0，
则tanA＝，csB＝，
故∠A＝60°，∠B＝60°，
则∠C＝60°，即△ABC的形状是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
15．如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（﹣2，﹣3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，﹣1），B1（1，﹣5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为 （﹣5，﹣1） ．
【分析】分别延长B1B、O1O、A1A，它们相交于点P，然后写出P点坐标即可．
解：如图，P点坐标为（﹣5，﹣1）．
故答案为（﹣5，﹣1）．
16．已知实数x、y满足（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝15，则x2+y2＝ 2 ．
【分析】根据换元法，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案．
解：设x2+y2＝z，原方程化为（z+1）（z+3）＝15，即z2+4z﹣12＝0．
解得z＝2，z＝﹣6（不符合题意，舍），
所以x2+y2＝2，
故答案为：2．
17．将抛物线y＝﹣2（x+2）2+5向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为 y＝﹣2（x﹣1）2+3 ．
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
解：将抛物线y＝﹣2（x+2）2+5向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为：y＝﹣2（x+2﹣3）2+5﹣2，即y＝﹣2（x﹣1）2+3．
故答案为：y＝﹣2（x﹣1）2+3．
18．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点E是边BC上一动点（不与点B，C重合），∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF，有下列结论：
①△ABE∽△ECG；
②AE＝EF；
③∠DAF＝∠CFE；
④△CEF的面积的最大值为1．
其中正确结论的序号是 ①②③ ．（把正确结论的序号都填上）
【分析】①由∠AEB+∠CEG＝∠AEB+∠BAE得∠BAE＝∠CEG，再结合两直角相等得△ABE∽△ECG；
②在BA上截取BM＝BE，易得△BEM为等腰直角三角形，则∠BME＝45°，所以∠AME＝135°，再利用等角的余角相等得到∠BAE＝∠FEC，于是根据“ASA”可判断△AME≌△ECF，则根据全等三角形的性质可对②进行判断；
③由∠MAE+∠DAF＝45°，∠CEF+∠CFE＝45°，可得出∠DAF与∠CFE的大小关系，便可对③判断；
④设BE＝x，则BM＝x，AM＝AB﹣BM＝2﹣x，利用三角形面积公式得到S△AME＝•x•（2﹣x），则根据二次函数的性质可得S△AME的最大值，便可对④进行判断．
解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠ECG＝90°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠CEG＝∠AEB+∠BAE，
∴∠BAE＝∠CEG，
∴△ABE∽△ECG，
故①正确；
②在BA上截取BM＝BE，如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，BA＝BC，
∴△BEM为等腰直角三角形，
∴∠BME＝45°，
∴∠AME＝135°，
∵BA﹣BM＝BC﹣BE，
∴AM＝CE，
∵CF为正方形外角平分线，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
而∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
在△AME和△ECF中
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF，
故②正确；
③∵AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∵∠BAE+∠CFE＝∠CEF+∠CFE＝45°，
∴∠DAF＝∠CFE，
故③正确；
④设BE＝x，则BM＝x，AM＝AB﹣BM＝2﹣x，
S△ECF＝S△AME＝•x•（2﹣x）＝﹣（x﹣1）2+，
当x＝1时，S△ECF有最大值，
故④错误．
故答案为：①②③．
三、解答题（本大题共8个小题，满分66分.第19～20题每题6分，第21～24题每题8分，第25题10分，第26题12分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．计算：（）×．
【分析】根据二次根式的乘法法则运算．
解：原式＝﹣
＝6﹣
＝5．
20．小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1﹣4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出数字之和大于5的情况数，分别求出两人获胜的概率，比较即可得到游戏公平与否．
解：这个游戏对双方不公平．
理由：列表如下：
所有等可能的情况有16种，其中数字之和大于5的情况有（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4）共6种，
故小颖获胜的概率为：＝，则小丽获胜的概率为：，
∵＜，
∴这个游戏对双方不公平．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22＝7，求m的值．
【分析】首先根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把x12+x22转换为（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果．
解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝m，x1x2＝2m﹣1，
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝7，
∴m2﹣2（2m﹣1）＝7，
解得：m1＝5，m2＝﹣1，
又∵方程x2﹣mx+2m﹣1＝0有两个实数根，
∴Δ＝m2﹣4（2m﹣1）≥0，
∴当m＝5时，
Δ＝25﹣36＝﹣11＜0，舍去；
故符合条件的m的值为m＝﹣1．
22．如图，一艘邮轮从港口P处出发，沿北偏东60°方向行驶200海里到A港口，卸货后向正南方向行驶到B港口，此时P港口在邮轮的北偏西45°方向上，求此时邮轮与港口P相距多少海里．（结果保留根号）
【分析】如图所示，作PD⊥AB于D点，解直角三角形即可得到结论．
解：如图所示，作PD⊥AB于D点，
根据题意可得∠APD＝30°，AP＝200海里，
在Rt△APD中，AD＝100，cs∠APD＝，
∴PD＝APcs30°＝200×＝100（海里），
在Rt△BPD中，PD＝100海里，sinB＝，∠B＝45°，
∴PB＝＝＝100（海里），
答：此时邮轮与港口P相距100海里．
23．超市销售某种儿童玩具，经市场调查发现，每件利润为40元时，每天可售出50件；销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．物价管理部门规定，该种玩具每件利润不得超过60元．设销售单价增加x元，每天可售出y件．
（1）写出y与x之间的函数关系式： y＝50﹣ （不要求写出自变量取值范围）；
（2）当x取何值时，超市每天销售这种玩具可获得利润2250元？此时每天可销售多少件？
【分析】（1）利用每天可售出的数量＝50﹣销售单价增加的钱数÷2，即可得出y与x之间的函数关系式；
（2）利用超市每天销售这种玩具获得的利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合该种玩具每件利润不得超过60元，即可确定x的值，再将其代入y＝50﹣中即可求出此时每天的销售量．
解：（1）依题意得：y＝50﹣．
故答案为：y＝50﹣．
（2）依题意得：（40+x）（50﹣）＝2250，
整理得：x2﹣60x+500＝0，
解得：x1＝10，x2＝50．
∵每件利润不得超过60元，
∴0≤x≤20，
∴x＝10，此时y＝50﹣＝50﹣＝45．
答：当x为10时，超市每天销售这种玩具可获得利润2250元，此时每天可销售45件．
24．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？
【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的光线三者构成的两个直角三角形相似解答．
解：∵，
当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即＝，
当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即＝＝，
∴＝，
∵CG＝EH＝1.5米，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米，
设AB＝x，BC＝y，
∴＝，解得：y＝3，经检验y＝3是原方程的根．
∵＝，即＝，
解得x＝6米．
即路灯A的高度AB＝6米．
25．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已知折痕CE＝5，且AE：AD＝3：4．
（1）判断△OCD与△ADE是否相似？请说明理由；
（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；
（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）结论△OCD与△ADE相似：根据同角的余角相等即可得出∠OCD＝∠EDA，由此可证得两三角形相似．
（2）求出C、E点的坐标，根据待定系数法即可解决问题．
（3）应该有两条如图
①直线BF满足条件，根据B、D两点的坐标求出此直线的解析式．
②假设直线DN满足条件，因为△PDM∽△NCM，推出∠PDM＝∠NCM，推出∠ODN＝∠PCO，所以tan∠PCO＝tan∠ODN，得到＝，即＝，推出ON＝12，然后根据N、D两点的坐标求出直线DN的解析式．
解：（1）△OCD与△ADE相似．
理由如下：
由折叠知，∠CDE＝∠B＝90°，
∴∠CDO+∠EDA＝90°，
∵∠CDO+∠OCD＝90°，
∴∠OCD＝∠EOA．
又∵∠COD＝∠DAE＝90°，
∴△OCD∽△ADE．
（2）∵＝，
∴设AE＝3t，则AD＝4t，
由勾股定理得DE＝5t，
∴OC＝AB＝AE+EB＝AE+DE＝3t+5t＝8t．
由（1）△OCD∽△ADE，得 ＝，
∴＝，
∴CD＝10t．
在△DCE中，∵CD2+DE2＝CE2，
∴（10t）2+（5t）2＝（5 ）2，
解得t＝1．
∴OC＝8，AE＝3，点C的坐标为（0，8），
点E的坐标为（10，3），
设直线CE的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+8，则点P的坐标为（16，0）．
（3）存在．①直线BF满足条件．
∵CE必垂直平分BD，
∴∠DGP＝∠CGF＝90°，
∵∠CFG+∠FCE＝90°，∠DPG+∠FCE＝90°
∴∠CFG＝∠DPG，
∴△DPG∽△CFG，
∴直线BD符合条件，
∵D（6，0），B（10，8），
∴直线BD的解析式为y＝2x﹣12．
②假设直线DN满足条件，
∵△PDM∽△NCM，
∴∠PDM＝∠NCM，
∴∠ODN＝∠PCO，
∴tan∠PCO＝tan∠ODN，
∴＝，
∴＝，
∴ON＝12，
∵N（0，12），D（6，0），
∴直线DN的解析式为y＝﹣2x+12．
综上所述，满足条件的直线l有2条：y1＝﹣2x+12，y2＝2x﹣12．
26．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点．点D为抛物线的顶点．连接AC，BC，CD，BD．
（1）求抛物线的解析式和D点坐标；
（2）求证：△AOC∽△DCB；
（3）如图1，延长AC，BD相交于点E，求tan∠AEB的值．
（4）如图2，点P为抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作PM⊥直线CD，垂足为M，当PM最大时，请直接写出此时点P的坐标．
【分析】（1）先由点A和点B的坐标设二次函数的交点式，然后代入点C的坐标求得二次函数的解析式，再将函数解析式化为顶点式求得点D的坐标；
（2）由点A、B、C、D的坐标求得OA、OC、AC、BC、BD、CD的长，然后证明三角形相似；
（3）先求得直线AC和直线BD的解析式，然后求得点E的坐标，进而求得AE和BE的长，过点B作BF⊥AE于点F，过点E作EG⊥x轴于点G，然后利用等面积法求BF得长，进而利用勾股定理求得EF的长，最后求得tan∠AEB的值；
（4）先求直线BC的解析式，过点P作PH⊥x轴交BC于点H，然后设点P的坐标，得到点H的坐标，从而得到PH的长度，再利用等面积法求得PM的长度，最后利用二次函数的性质求得PM最大时，点P的坐标．
解：（1）由抛物线经过点A（﹣1，0）和B（3，0）设y＝a（x+1）（x﹣3），
将点C（0，﹣3）代入y＝a（x+1）（x﹣3）得，﹣3a＝﹣3，
∴a＝1，
∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴点D的坐标为（1，﹣4）；
（2）∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4），
∴OA＝1，OC＝3，AC＝，BC＝3，BD＝2，CD＝，
∴，
∴△AOC∽△DCB；
（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，则
，解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3，
设直线BD的解析式为y＝mx+n，则
，解得：，
∴直线BD的解析式为y＝2x﹣6，
联立y＝﹣3x﹣3和y＝2x﹣6得，
，解得：，
∴点E的坐标为（，﹣），
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AE＝，BE＝，AB＝4，
如图1，过点B作BF⊥AE于点F，过点E作EG⊥x轴于点G，则EG＝，
∵S△ABE＝，
∴，
解得：BF＝，
∴EF＝＝，
∴tan∠AEB＝＝1；
（4）设直线BC的解析式y＝kx+b，则
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
如图2，过点P作PH⊥x轴交BC于点H，连接PC，PB，
设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则点H的坐标为（x，x﹣3），
∴PH＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，
∵PM⊥直线CD，
∴S△PBC＝，
∴×3×PM＝×（﹣x2+3x）×3，
∴PM＝﹣＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，PM最大＝，
此时，点P的坐标为（，﹣）．

1
2
3
4
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）