小题压轴题专练1 函数的零点（1）

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1．已知函数有两个零点，，且，则的取值范围是
A．，B．C．，D．
解：函数，有两个零点，，
令，可得，令即，
令，可得，可得当时，则，当时，则，
在上单调递减，在上单调递增，可得，
若，则，符合题意；
若，则，
根据单调性，可得，即，
可得，，
综合得，的取值范围是．
又在上单调递减，可得，即．
故选：．
2．已知函数，若方程有三个不同的实数根，，，且，则的取值范围是
A． B．C．D．
解：当与相切时，设切点为，，
，，，由得
再由图知方程的三个不同的实数根，，满足，
因此，即 的取值范围是
故选：．
3．设函数在上存在导函数，对任意的有，且当，时，．若（a），的零点有
A．0个B．1个C．2个D．3个
解：设，；
则，得为上的奇函数，
时，，故在单调递增，
再结合及为奇函数，知在为增函数，
（a）（a）（a），
（a），，解得，
令，当时，，此时无解，则，
设，则，
①当时，令时，，函数单调递增，
令时，，函数单调递减，
（1），
②当时，，函数单调递减，
，直线与有两个交点，的零点有2个，
故选：．
4．已知函数，若关于的方程的不同实数根的个数为，则的所有可能值为
A．3B．1或3C．3或5D．1或3或5
解：由题可知，
由可知在和上单调递增，在上单调递减．
令，则方程必有两根，且，
注意到，（1），此时恰有，，满足题意．
①当时，有，
此时有1个根，此时时有2个根；
②当时，必有，
此时有0个根，此时时有3个根；
③当时，必有，
此时有2个根，此时时有1个根；
综上所述，对任意的，关于的方程均有3个不同实数根，
故选：．
5．已知函数，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是
A．B．，C．D．
解：设，，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
直线与在处有一个交点，在处有一个交点，
故在处需2个交点，直线经过点时，
当直线与相切于时，，
故选：．
6．已知定义域为的函数关于对称，当，时，，若方程有四个不等实根，，，时，都有成立，则实数的最小值为
A．B．C．D．
解：作出函数的图象，如图，作直线，
它与图象的四个交点的横坐标依次为，，，，
函数的图象关于对称，，，
，即，且，
显然，不等式变形为，
，
，
，
由勾形函数性质知在时是增函数，
，
令，则，，，
当时，，单调递减，，
，即的最小值是．
故选：．
7．设定义在上的函数满足有三个不同的零点，且，则的值是
A．81B．C．9D．
解：函数有三个不同的零点，
即方程有三个不同的实数根，
即有三个不同的实数根，
令，则有，整理可得，
设方程的两个根为，，所以，
又，
当时，，故在上单调递减，
当时，，故在上单调递增，
因为，当时，，
所以当时，，
故，，
因为方程最多只有两个实数根，，
所以，，
则．
故选：．
8．已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则实数的取值范围是
A．， B．， C．， D．，，
解：由，得，
①若，设，
则当，，此时，
当，，此时，此时，
当，，此时，此时，
当，，此时，此时，
当，，此时，此时，
作出函数的图象，
要使有且仅有三个零点，
即函数有且仅有三个零点，则由图象可知，
②若，设，
则当，，此时，此时，
当，，此时，此时，
当，，此时，此时，
当，，此时，此时，
当，，此时，此时，
作出函数的图象，
要使有且仅有三个零点，即函数有且仅有三个零点，
则由图象可知，
综上，实数的取值范围是，，．
故选：．
9．函数，若恰有五个不同的实根，则的取值范围是
A．B．C．D．
解：函数的图象如图所示，
，令，
若方程恰有五个不同的实根，
则△，，，
化为：，画出可行域如图三角形内部区域，
令，由图可知，当直线经过时，有最小值为，
当直线经过，时，有最大值为，的取值范围是，
故选：．
10．函数是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，当，时，，若有三个零点，则实数的取值集合是
A．，B．，
C．，D．，
解：由已知得，，，
则，
所以函数的图象关于直线对称，关于原点对称，又
，
进而有，所以得函数是以4为周期的周期函数，
由有三个零点可知，函数与函数的图象有三个交点，
当直线与函数图象在，上相切时，
由，即，故
方程有两个相等的实根，
由△，解得，
当，时，，作出函数与函数的图象如图：
由图知当直线与函数图象在，上相切时，，
数形结合可得在，上有三个零点时，实数满足，
再根据函数的周期为4，可得所求的实数的范围为，．
故选：．
11．若函数，，若有两个零点，则的取值范围为
A．B．，C．D．
解：．
时，，函数在上单调递减，
此时函数最多有一个零点，不满足题意，舍去．
时，．
令，，解得．
时，，函数在上单调递减；
时，，函数在上单调递增．
时，函数取得极小值，
有两个零点，，
令（a），（1）．
（a），函数在上单调递增，．
又时，；时，．
满足函数有两个零点．的取值范围为，
故选：．
12．已知函数，，其中，若方程恰好有3个不同解，，，则与的大小关系为
A．B．C．D．不能确定
解：，
易知（a）（极大值）；（极小值）；（极大值）；（极小值）．
要使恰好有3个不同解，结合图象得：
①当，即时，解得，不存在这样的实数．
②当，即时，解得；
此时，又因为与关于对称，
．．
③当，即时，解得．
此时，，是方程的两实根，
所以，而，所以，
故选：．
多选题
13．设，，若满足关于的方程恰有三个不同的实数解，则下列选项中，一定正确的是
A．B．C．D．
解：设，满足，
可知为偶函数，
，所以不正确；，其中必有一解为0，则，，，
当时，，
当且仅当时，取等号；
当时，在递增，
，
，
又在递增，
，即，，可得，所以正确．
，所以不正确；．所以正确
故选：．
14．若方程和的根分别为，和，，则下列判断正确的是
A． B．C． D．
解：由题意，，和，分别是和的两个根，
即与和交点的横坐标．
由，得，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
作出函数，的图象如图所示
（注意到：当时，．
由图可知，，，从而，
解得，选项正确，选项错误，
又，正确．
故选：．
15．已知函数，以下结论正确的是
A．在区间，上是增函数
B．
C．若函数在上有6个零点，2，3，4，5，，则D．若方程恰有3个实根，则
解：（1）由题意可知当时，是以3为周期的函数，
故在，上的单调性与在，上的单调性相同，
而当时，，
在，上不单调，故错误；
（2）又，故，故正确；
（3）作出的函数图象如图所示：
由于在上有6个零点，故直线与在上有6个交点，
不妨设，，2，3，4，5，
由图象可知，关于直线对称，，关于直线对称，，关于直线对称，
，故正确；
（4）若直线经过点，则，
若直线与相切，则消元可得：，
令△可得，解得或，
当时，，当时，（舍，故．
若直线与在上的图象相切，由对称性可得．
因为方程恰有3个实根，故直线与的图象有3个交点，
或，故正确
故选：．
16．已知函数和且为常数），则下列结论正确的是
A．当时，存在实数，使得关于的方程有四个不同的实数根
B．存在，，使得关于的方程有三个不同的实数根
C．当时，若函数恰有3个不同的零点，，，则
D．当时，且关于的方程有四个不同的实数根，，，，若在上的最大值为，则
解：若，则函数 在区间，上单调递增，
且当时，，如下图所示：
如上图可知，此时关于 的方程 根的个数不大于2，选项不合乎题意；
若，且当 时，函数在区间上单调递增，在上单调递减，此时，
当 时，若关于的方程有四个不同的实数根，则，解得，选项正确；
设，由，得，
当 时，，设关于的一元二次方程 的两根分别为，，
由于函数 有三个零点，则，，设，
由，得，由图象可知，，
由，则，即，选项正确；
当时，若，，
此时，函数与函数 在区间，上的两个交点关于直线对称，则．
如下图所示，
当 时，函数与函数 的两个交点的横坐标，满足，且有，，则，
所以，由图象可知，函数在 上单调递减，在，上单调增，
所以，
所以，则，，
所以，选项正确．
故选：．
填空题
17．已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围为 ．
解设，，
则在上为减函数，在上为增函数，
当时，，，此时两个函数值相等，
当时，，此时，，
当时，，此时，
即函数．
若函数恰有两个零点，
则，即，恰有两个根，
作出函数与的图象，由图象知若两个图象有两个不同的交点，则，
故实数的取值范围是，故答案为：．
18．已知定义域为的函数满足，是偶函数，当时，，若关于的方程恰有10个不同的实数解，则实数的取值范围是 ．
解：，函数为偶函数，
为偶函数，，得，
函数是周期为2的周期函数．
在同一个坐标系中作出与的图象，
由图可知，要使关于的方程恰有10个不同的实数解，
则需函数的图象与的图象恰有10个不同的交点，
即，解得．
实数的取值范围是．
故答案为：．
19．对于定义域为的函数，若存在，且，使得，则称函数具有性质，若函数，具，有性质，则实数的最小值为 ．
解：设，由得，，
则，故，
，
又，
，
，，
则，，
，故，
，则实数的最小值为．
故答案为：．
20．定义域为，，的函数满足，当时，，若有8个不同的实数解，则实数的取值范围是 ．
解：由题意，可知是偶函数，
当时，，则，
当时，则，当时，则，
当时，，
作出的图象，设，
由有8个不同的实数解，
即有8个不同的实数解，
令则△，解得或，
由的图象可知，，
由根的分布可得且，
解得，综上，可得的范围是．
故答案为：．