计算题3 《匀强电磁场领衔考察》

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计算题3　《匀强电磁场领衔考察》
【命题导航】
命题点一　匀强电场中的带电粒子
命题点二　匀强磁场中的带电粒子
命题点三　“组合”场中的带电粒子
命题点四　“交替”场中的带电粒子
命题点五　“复合”场中的带电粒子
命题点六　多过程多粒子
【高考解码】

命题点一　匀强电场中的带电粒子
1．（2020·新课标Ⅰ）在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面积是以O为圆心，半径为R的圆，AB为圆的直径，如图所示。质量为m，电荷量为q（q>0）的带电粒子在纸面内自A点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C点以速率v0穿出电场，AC与AB的夹角θ=60°。运动中粒子仅受电场力作用。

（1）求电场强度的大小；
（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大；
（3）为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为mv0，该粒子进入电场时的速度应为多大。
【答案】（1）　（2） 　（3）0或
【解析】（1）由题意知在A点速度为零的粒子会沿着电场线方向运动，由于q>0，故电场线由A指向C，根据几何关系可知：
所以根据动能定理有：
解得：；
（2）根据题意可知要使粒子动能增量最大则沿电场线方向移动距离最多，做AC垂线并且与圆相切，切点为D，即粒子要从D点射出时沿电场线方向移动距离最多，如图

粒子在电场中做类平抛运动，根据几何关系有


而电场力提供加速度有
联立各式解得粒子进入电场时的速度：；
（3）因为粒子在电场中做类平抛运动，粒子穿过电场前后动量变化量大小为mv0，即在电场方向上速度变化为v0 ，过C点做AC垂线会与圆周交于B点，故由题意可知粒子会从C点或B点射出。当从B点射出时由几何关系有


电场力提供加速度有
联立解得；当粒子从C点射出时初速度为0。
2．如图所示，虚线MN左侧有一场强为E1＝E的匀强电场，在两条平行的虚线MN和PQ之间存在着宽为L、电场强度为E2＝2E的匀强电场，在虚线PQ右侧相距为L处有一与电场E2平行的屏。现将一电子（电荷量为e，质量为m，不计重力）无初速度地放入电场E1中的A点，A点到MN的距离为，最后电子打在右侧的屏上，AO连线与屏垂直，垂足为O，求：

（1）电子从释放到打到屏上所用的时间t；
（2）电子刚射出电场E2时的速度方向与AO连线夹角θ的正切值tan θ；
（3）电子打到屏上的点P′（图中未标出）到点O的距离x。
【答案】（1）3　（2）2　（3）3L
【解析】（1）电子在电场E1中做初速度为零的匀加速直线运动，设加速度为a1，时间为t1，由牛顿第二定律得：a1＝＝①
由x＝at2得：＝a1t②
电子进入电场E2时的速度为：v1＝a1t1③
进入电场E2到屏水平方向做匀速直线运动，时间为：t2′＝2t2＝④
电子从释放到打到屏上所用的时间为：t＝t1＋t2′⑤
联立①～⑤求解得：t＝3；
（2）设粒子射出电场E2时平行电场方向的速度为vy，由牛顿第二定律得：eE2=ma，电子进入电场E2时的加速度为：
a2＝＝⑥
vy＝a2t2⑦
电子刚射出电场E2时的速度方向与AO连线夹角的正切值为tan θ＝⑧
联立①②③④⑥⑦⑧得：tan θ＝2⑨
（3）带电粒子在电场中的运动轨迹如图所示。

设电子打到屏上的点P到O点的距离x，根据上图用几何关系得：tan θ＝⑩
联立得：x＝3L
3．如图所示，一质量为m、电荷量为q的带正电小球（可看做质点）从y轴上的A点以初速度v0水平抛出，两长为L的平行金属板M、N倾斜放置且与水平方向间的夹角为θ=37°（sin37°=0.6）， 若带电小球恰好能垂直于M板从其中心小孔B进入两板间。

（1）试求带电小球在y轴上的抛出点A的坐标及小球抛出时的初速度v0；
（2）若该平行金属板M、N间有如图所示的匀强电场，且匀强电场的电场强度大小与小球质量之间的关系满足E=4mg5q，试计算两平行金属板M、N之间的垂直距离d至少为多少时才能保证小球不打在N板上。
【答案】（1）（0，1730L）　3gL10　（2）d=526L
【解析】（1）设小球由y轴上的A点运动到金属板M的中点B的时间为t，由题意，在与x轴平行的方向上，有：
L2cos⁡θ=v0t
tanθ=v0gt
带电小球在竖直方向上下落的距离为：h=12gt2
所以小球抛出点A的纵坐标为：y=h+L2sinθ，
以上各式联立并代入数据可解得：v0=3gL10，y=1730L， t=22L15g，h=4L15。
所以小球抛出点A的坐标为（0，1730L）
小球抛出时的初速度大小为：v0=3gL10。
（2）设小球进入电场时的速度大小为v，则由动能定理可得：
mgh=12mv2-12mv02
解得：v=5gL6。
带电小球进入匀强电场后的受力情况如图所示：

因为E=4mg5q，所以qE=mgcosθ，
因此，带电小球进入该匀强电场之后，将做类平抛运动。其加速度大小为：
a=mgsinθm=gsinθ，
设带电小球在该匀强电场中运动的时间为t'，欲使小球不打在N板上，由类平抛运动的规律可得：d=vt'，L2=12at'2
以上各式联立求解并代入数据可得：d=526L。
4．一质量为m的带电小球以速度v0沿竖直方向从A点垂直进入匀强电场E中，如图所示，经过一段时间后到达B点，其速度变为水平方向，大小仍为v0，重力加速度为g，求：

（1）小球带电情况；
（2）小球由A到B的位移；
（3）小球速度的最小值。
【答案】（1）小球带正电，电荷量为　（2），与水平方向的夹角为45°斜向右上方　（3）
【解析】（1）从A到B过程中，在竖直方向小球做匀减速运动，加速度ay＝g
B点是最高点，竖直分速度为0，有：t＝
水平方向小球在电场力作用下做匀加速运动，可知小球带正电
初速度为0，加速度ax＝
水平方向有：v0＝t
联立解得：Eq＝mg
可得q＝
（2）在两个方向上的运动互为逆运动，故小球运动的水平位移大小等于竖直位移大小
在竖直方向有2gh＝v
可得h＝
所以位移为h＝
其与水平方向的夹角为θ
tan θ＝＝1，即位移与水平方向的夹角为45°斜向右上方
（3）设重力与电场力的合力为F，其与水平方向的夹角为θ
则：tan θ＝＝1，如图所示

开始一段时间内，F与速度方向夹角大于90°，合力做负功，动能减小
后来F与速度夹角小于90°，合力做正功，动能增加
因此，当F与速度v的方向垂直时，小球的动能最小，速度也最小，设为vmin
即：tan θ＝＝1，则vx＝vy，vx＝t′＝gt′，vy＝v0－gt′
解得t′＝，vmin＝＝。
5．如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O，用一根长度为L＝0.4 m的绝缘细线把质量为m＝0.20 kg，带有q＝6.0×10－4 C正电荷的金属小球悬挂在O点，小球静止在B点时细线与竖直方向的夹角为θ＝37°。已知A、C两点分别为细线悬挂小球的水平位置和竖直位置，求：（g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

（1）A、B两点间的电势差UAB；
（2）将小球拉至位置A使细线水平后由静止释放，小球通过最低点C时细线对小球的拉力F的大小；
（3）如果要使小球能绕O点做完整的圆周运动，则小球在A点时沿垂直于OA方向运动的初速度v0的大小。
【答案】（1）－400 V　（2）3 N　（3） m/s
【解析】（1）带电小球在B点静止受力平衡，根据平衡条件得：qE＝mgtan θ，
得：E＝＝ V/m＝2.5×103 V/m
由U＝Ed有：UAB＝－EL(1－sin θ)＝－2.5×103×0.4×(1－sin 37°)V＝－400 V。
（2）设小球运动至C点时速度为vC，则：
mgL－qEL＝mv
解得：vC＝ m/s
在C点，小球所受重力和细线的合力提供向心力：
F－mg＝m，
联立解得：F＝3 N。
（3）分析可知小球做完整圆周运动时必须通过B点关于O点的对称点，设在该点时小球的最小速度为v，则：
mgcos θ＋qEsin θ＝
－mgLcos θ－qEL(1＋sin θ)＝mv2－mv
联立解得：v0＝ m/s。

命题点二　匀强磁场中的带电粒子
1．（2020·新课标Ⅱ）如图，在0≤x≤h，区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B的大小可调，方向不变。一质量为m，电荷量为q（q>0）的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x轴进入磁场，不计重力。

（1）若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm；
（2）如果磁感应强度大小为，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离。
【答案】（1）磁场方向垂直于纸面向里　　（2）　
【解析】（1）由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里。设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有
　①
由此可得 　②
粒子穿过y轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y轴正半轴上，半径应满足③
由题意，当磁感应强度大小为Bm时，粒子的运动半径最大，由此得 　④
（2）若磁感应强度大小为，粒子做圆周运动的圆心仍在y轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径为 　⑤
粒子会穿过图中P点离开磁场，运动轨迹如图所示。设粒子在P点的运动方向与x轴正方向的夹角为α，

由几何关系
⑥
即⑦
由几何关系可得，P点与x轴的距离为⑧
联立⑦⑧式得⑨
2．如图所示，在纸面内有两个磁感应强度大小均为B、方向相反的匀强磁场，虚线等边三角形ABC为两磁场的理想边界。已知三角形ABC边长为L，虚线三角形内为方向垂直纸面向外的匀强磁场，三角形外部的足够大空间为方向垂直纸面向里的匀强磁场。一电荷量为＋q、质量为m的带正电粒子从AB边中点P垂直AB边射入三角形外部磁场，不计粒子的重力和一切阻力，试求：

（1）要使粒子从P点射出后在最短时间内通过B点，则从P点射出时的速度v0为多大；
（2）满足（1）问的粒子通过B后第三次通过磁场边界时到B的距离是多少；
（3）满足（1）问的粒子从P点射入外部磁场到再次返回到P点的最短时间为多少；画出粒子的轨迹并计算。
【答案】（1）　（2）　（3）见图，tmin＝
【解析】（1）当粒子运动半个圆周到达B点时所用时间最短，此时粒子做圆周运动半径r＝，根据洛伦兹力提供向心力可得r＝，解得v0＝；
（2）粒子做圆周运动半径r＝，由几何关系可知：
设过B点后第三次通过磁场边界时到B点的距离为s，s＝3r＝；
（3）粒子运动轨迹如图

粒子在磁场中运动的周期T＝，由图可知从P点射入外部磁场到再次返回到P点的最短时间为tmin＝T＝
3．（2019·江苏卷）如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B。磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M、N，MN=L，粒子打到板上时会被反弹（碰撞时间极短），反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反。质量为m、电荷量为-q的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为d，且d