选择题03《引力与宇宙航行》-解码高考2021物理一轮复习题型突破

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命题点一 开普勒三定律及万有引力定律
命题点二 星体运行参量分析
命题点三 天体质量和密度
命题点四 向心力“不唯一”问题
命题点五 变轨及椭圆计算
命题点六 星体追及相遇问题
命题点七 双星及多星模型
【高考解码】
命题点一 开普勒三定律及万有引力定律
1．（多选）如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中( )
A．从P到M所用的时间等于eq \f(T0,4)B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
【答案】 CD
【解析】 由行星运动的对称性可知，从P经M到Q点的时间为eq \f(1,2)T0，根据开普勒第二定律可知，从P到M运动的速率大于从M到Q运动的速率，可知从P到M所用的时间小于eq \f(1,4)T0，选项A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B错误；根据开普勒第二定律可知，从P到Q阶段，速率逐渐变小，选项C正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D正确．
2．（单选）（2018年全国Ⅲ卷）为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为（ ）
A．2:1B．4:1C．8:1D．16:1
【答案】C
【解析】设地球半径为R，根据题述，地球卫星P的轨道半径为RP=16R，地球卫星Q的轨道半径为RQ=4R，根据开普勒定律，==64，所以P与Q的周期之比为TP∶TQ=8∶1，选项C正确。
3．（单选）（2020·新课标Ⅰ）火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为（ ）
A．0.2B．0.4C．2.0D．2.5
【答案】B
【解析】设物体质量为m，则在火星表面有
在地球表面有
由题意知有
故联立以上公式可得，故选B。
4．（单选）（2019·新课标全国Ⅱ卷）2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆，在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是（ ）
【答案】D
【解析】根据万有引力定律可得：，h越大，F越大，故选项D符合题意。
5．（单选）若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体．“蛟龙”号下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为( )
A．eq \f(R－d,R＋h)B．eq \f(R－d2,R＋h2)C．eq \f(R－dR＋h2,R3)D．eq \f(R－dR＋h,R2)
【答案】 C
【解析】 设地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g＝Geq \f(M,R2).由于地球的质量为：M＝ρ·eq \f(4,3)πR3，所以重力加速度的表达式可写成：g＝eq \f(GM,R2)＝eq \f(G·ρ\f(4,3)πR3,R2)＝eq \f(4,3)πGρR.根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙”号的重力加速度g′＝eq \f(4,3)πGρ(R－d)，所以有eq \f(g′,g)＝eq \f(R－d,R).根据万有引力提供向心力Geq \f(Mm,R＋h2)＝ma，“天宫一号”所在处的重力加速度为a＝eq \f(GM,R＋h2)，所以eq \f(a,g)＝eq \f(R2,R＋h2)，eq \f(g′,a)＝eq \f(R－dR＋h2,R3)，故C正确，A、B、D错误．
命题点二 星体运行参量分析
1．（单选）（2019·新课标全国Ⅲ卷）金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金a火B．a火>a地>a金C．v地>v火>v金D．v火>v地>v金
【答案】A
【解析】AB．由万有引力提供向心力可知轨道半径越小，向心加速度越大，故知A项正确，B错误；CD．由得可知轨道半径越小，运行速率越大，故C、D都错误。
2．（单选）（2016·全国卷Ⅰ） 利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯，目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为（ ）
A．1hB．4hC．8hD．16 h
【答案】B
【解析】当一地球卫星的信号刚好覆盖赤道120°的圆周时，卫星的轨道半径r＝eq \f(R,cs 60°)＝2R；对同步卫星，分别有eq \f(GMm,（6.6R）2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T0)))eq \s\up12(2)·6.6R和eq \f(GMm,（2R）2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2·2R，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T,T0)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2R,6.6R)))eq \s\up12(3)，解得T＝4 h， 选项B正确．
3．（单选）（2020·浙江卷）火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的（ ）
A．轨道周长之比为2∶3B．线速度大小之比为
C．角速度大小之比为D．向心加速度大小之比为9∶4
【答案】C
【解析】由周长公式可得
则火星公转轨道与地球公转轨道周长之比为
，A错误；
由万有引力提供向心力，可得
则有
即
BD错误，C正确。
4．（单选）（2020·新课标Ⅲ）“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】假设在地球表面和月球表面上分别放置质量为m和m0的两个物体，则在地球和月球表面处，分别有
，
解得
设嫦娥四号卫星的质量为m1，根据万有引力提供向心力得
解得，故选D。
5．（多选）（2019·新课标全国Ⅰ卷）在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a–x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则（ ）
A．M与N的密度相等B．Q的质量是P的3倍
C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
【答案】AC
【解析】A、由a–x图象可知，加速度沿竖直向下方向为正方向，根据牛顿第二定律有：，变形式为：，该图象的斜率为，纵轴截距为重力加速度。根据图象的纵轴截距可知，两星球表面的重力加速度之比为：；又因为在某星球表面上的物体，所受重力和万有引力相等，即：，即该星球的质量。又因为：，联立得。故两星球的密度之比为：，故A正确；B、当物体在弹簧上运动过程中，加速度为0的一瞬间，其所受弹力和重力二力平衡，，即：；结合a–x图象可知，当物体P和物体Q分别处于平衡位置时，弹簧的压缩量之比为：，故物体P和物体Q的质量之比为：，故B错误；C、物体P和物体Q分别处于各自的平衡位置（a=0）时，它们的动能最大；根据，结合a–x图象面积的物理意义可知：物体P的最大速度满足，物体Q的最大速度满足：，则两物体的最大动能之比：，C正确；D、物体P和物体Q分别在弹簧上做简谐运动，由平衡位置（a=0）可知，物体P和Q振动的振幅A分别为和，即物体P所在弹簧最大压缩量为2，物体Q所在弹簧最大压缩量为4，则Q下落过程中，弹簧最大压缩量时P物体最大压缩量的2倍，D错误；故本题选AC。
命题点三 天体质量和密度
1．（单选）（2020·新课标Ⅱ）若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】卫星在星体表面附近绕其做圆周运动，则
， ，
知卫星该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期。
2．（单选）（2018年全国II卷）2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为（ ）
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
【答案】 C
【解析】 脉冲星自转，边缘物体m恰对球体无压力时万有引力提供向心力，则有Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)，
又知M＝ρ·eq \f(4,3)πr3
整理得密度ρ＝eq \f(3π,GT2)＝eq \f(3×3.14,6.67×10－11×5.19×10－32) kg/m3≈5.2×1015 kg/m3.
3．（单选）（2018浙江）如图土星最大的卫星叫“泰坦”，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为，已知引力常量，则土星的质量约为（ ）
A． B．C． D．
【答案】 B
【解析】卫星绕土星运动，土星的引力提供卫星做圆周运动的向心力设土星质量为M：，解得
带入计算可得：，故B正确，A、C、D错误；故选B。
4．（多选）“嫦娥三号”在月球表面释放出“玉兔”号月球车开展探测工作，若该月球车在地球表面的重力为G1，在月球表面的重力为G2，已知地球半径为R1，月球半径为R2，则( )
A．地球表面与月球表面的重力加速度之比为eq \f(G1R22,G2R12)
B．地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为eq \r(\f(G1R1,G2R2))
C．地球与月球的质量之比为eq \f(G1R22,G2R12)
D．地球与月球的平均密度之比为eq \f(G1R2,G2R1)
【答案】 BD
【解析】 地球表面的重力加速度为g1＝eq \f(G1,m)，月球表面的重力加速度g2＝eq \f(G2,m)，地球表面与月球表面的重力加速度之比为eq \f(g1,g2)＝eq \f(G1,G2)，故A错误．根据第一宇宙速度公式v＝eq \r(gR)，得eq \f(v1,v2)＝ eq \r(\f(g1R1,g2R2))＝eq \r(\f(G1R1,G2R2))，故B正确．根据mg＝eq \f(GMm,R2)，得M＝eq \f(gR2,G)，地球质量M1＝eq \f(g1R\\al(,12),G)，月球的质量M2＝eq \f(g2R22,G)，所以地球与月球质量之比为eq \f(M1,M2)＝eq \f(g1R12,g2R22)＝eq \f(G1R12,G2R22)，故C错误．平均密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(3g,4πRG)，得eq \f(ρ1,ρ2)＝eq \f(g1R2,g2R1)＝eq \f(G1R2,G2R1)，故D正确．
5．（多选）利用探测器探测某行星，探测器在距行星表面高度为h1的轨道上做匀速圆周运动时，测得周期为T1；探测器在距行星表面高度为h2的轨道上做匀速圆周运动时，测得周期为T2，万有引力常量为G，根据以上信息可求出( )
A．该行星的质量B．该行星的密度
C．该行星的第一宇宙速度D．探测器贴近行星表面飞行时行星对它的引力
【答案】 ABC
【解析】 探测器在距行星表面高度为h的轨道上做匀速圆周运动时，有：Geq \f(Mm,R＋h2)＝meq \f(4π2,T2)(R＋h)
解得：M＝eq \f(4π2R＋h3,GT2)
则有M＝eq \f(4πR＋h13,GT12)，M＝eq \f(4π2R＋h23,GT22)
联立两式即可求出行星的质量M和行星的半径R，A正确；
行星的密度：ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(\f(4π2R＋h13,GT12),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πR＋h13,GT12R3)，可以求出行星的密度，B正确；根据万有引力提供向心力，得第一宇宙速度v＝ eq \r(\f(GM,R))，C正确；由于不知道探测器的质量，所以不可求出探测器贴近行星表面飞行时行星对它的引力，D错误．
命题点四 向心力“不唯一”问题
1．（单选）为“照亮”“嫦娥四号”“驾临”月球背面之路，一颗承载地月中转通信任务的中继卫星将在“嫦娥四号”发射前半年进入到地月拉格朗日点L2，如图.在该点，地球、月球和中继卫星始终位于同一直线上，且中继卫星绕地球做圆周运动的周期与月球绕地球做圆周运动的周期相同，则( )
A．中继卫星绕地球做圆周运动的周期为一年
B．中继卫星做圆周运动的向心力仅由地球提供
C．中继卫星的线速度小于月球运动的线速度
D．中继卫星的向心加速度大于月球运动的向心加速度
【答案】 D
【解析】 中继卫星绕地球做圆周运动的周期与月球绕地球运动的周期相等，都约为27.3天，故A错误；中继卫星做圆周运动的向心力由月球和地球引力的合力提供，故B错误；中继卫星与地球同步绕地球运动，角速度相等，根据v＝ωr，知中继卫星的线速度大于月球的线速度，故C错误；根据a＝ω2r知，中继卫星的向心加速度大于月球的向心加速度，故D正确．
2．（多选）2018年5月25日21时46分，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继卫星成功实施近月制动，进入月球至地月拉格朗日L2点的转移轨道．当“鹊桥”位于拉格朗日点(如图中的L1、L2、L3、L4、L5所示，人们称为地月系统拉格朗日点)上时，会在月球与地球的共同引力作用下，几乎不消耗燃料而保持与月球同步绕地球做圆周运动，下列说法正确的是(月球的自转周期等于月球绕地球运动的周期)( )
A．“鹊桥”位于L2点时，“鹊桥”绕地球运动的周期和月球的自转周期相等
B．“鹊桥”位于L2点时，“鹊桥”绕地球运动的向心加速度大于月球绕地球运动的向心加速度
C．L3和L2到地球中心的距离相等
D．“鹊桥”在L2点所受月球和地球引力的合力比在其余四个点都要大
【答案】ABD
【解析】：.“鹊桥”位于L2点时，由于“鹊桥”与月球同步绕地球做圆周运动，所以“鹊桥”绕地球运动的周期和月球绕地球运动的周期相等，又月球的自转周期等于月球绕地球运动的周期，故选项A正确；“鹊桥”位于L2点时，由于“鹊桥”与月球绕地球做圆周运动的周期相同，“鹊桥”的轨道半径大，根据公式a＝eq \f(4π2,T2)r分析可知，“鹊桥”绕地球运动的向心加速度大于月球绕地球运动的向心加速度，故选项B正确；如果L3和L2到地球中心的距离相等，则“鹊桥”在L2点受到月球与地球引力的合力更大，加速度更大，所以周期更短，故L2到地球中心的距离大于L3到地球中心的距离，选项C错误；在5个点中，L2点离地球最远，所以在L2点“鹊桥”所受合力最大，故选项D正确．
3．（单选）（2016·四川卷） 国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2060 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35786 km的地球同步轨道上．设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为（ ）
A．a2＞a1＞a3B．a3＞a2＞a1C．a3＞a1＞a2D．a1＞a2＞a3
【答案】D
【解析】 由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度相等，可得：a＝ω2r，由于r2>r3，则可以得出：a2>a3；又由万有引力定律有：Geq \f(Mm,r2)＝ma，且r1RB，所以A的质量一定小于B的质量，故A错误；根据线速度与角速度的关系有：vA＝ωRA、vB＝ωRB，因为角速度相等，半径RA>RB，所以A的线速度大于B的线速度，故B正确；又因为T＝eq \f(2π,ω)，联立可得周期为：T＝2πeq \r(\f(L3,GM))，所以总质量M一定，两星间距离L越大，周期T越大，故C错误，D正确．
2．（多选）（2018年全国Ⅰ卷）2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星（ ）
A．质量之积B．质量之和C．速率之和D．各自的自转角速度
【答案】BC
【解析】本题考查天体运动、万有引力定律、牛顿运动定律及其相关的知识点。双中子星做匀速圆周运动的频率f=12Hz（周期T=1/12s），由万有引力等于向心力，可得，G=m1r1（2πf）2，G=m2r2（2πf）2，r1+ r2=r=40km，联立解得：（m1+m2）=（2πf）2Gr3，B正确，A错误；由v1=ωr1=2πf r1，v2=ωr2=2πf r2，联立解得：v1+ v2=2πf r，C正确；不能得出各自自转的角速度，D错误。
3．（多选）宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为L的正方形的四个顶点上，其中L远大于R.已知万有引力常量为G，忽略星体的自转，则关于四星系统，下列说法正确的是( )
A．四颗星做圆周运动的轨道半径为eq \f(L,2)
B．四颗星做圆周运动的线速度均为 eq \r(\f(Gm,L)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(\r(2),4))))
C．四颗星做圆周运动的周期均为2πeq \r(\f(2L3,4＋\r(2)Gm))
D．四颗星表面的重力加速度均为Geq \f(m,R2)
【答案】 CD
【解析】 如图所示，
四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，轨道半径r＝eq \f(\r(2),2)L.取任一顶点上的星体为研究对象，它受到其他三个星体的万有引力的合力为F合＝eq \r(2)Geq \f(m2,L2)＋Geq \f(m2,\r(2)L2).由F合＝F向＝meq \f(v2,r)＝meq \f(4π2r,T2)，解得v＝eq \r(\f(Gm,L)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(\r(2),4))))，T＝2πeq \r(\f(2L3,4＋\r(2)Gm))，故A、B项错误，C项正确；对于在星体表面质量为m0的物体，受到的重力等于万有引力，则有m0g＝Geq \f(mm0,R2)，故g＝Geq \f(m,R2)，D项正确．
4．（多选）如图，天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动．已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是( )
A．三颗星的质量可能不相等B．某颗星的质量为eq \f(4π2l3,3GT2)
C．它们的线速度大小均为eq \f(2\r(3)πl,T)D．它们两两之间的万有引力大小为eq \f(16π4l4,9GT4)
【答案】 BD
【解析】 轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，r＝eq \f(\f(l,2),cs 30°)＝eq \f(\r(3),3)l.根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设为m，则2Geq \f(m2,l2)cs 30°＝m·eq \f(4π2,T2)·eq \f(\r(3),3)l，解得m＝eq \f(4π2l3,3GT2)，它们两两之间的万有引力F＝Geq \f(m2,l2)＝Geq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π2l3,3GT2)))2,l2)＝eq \f(16π4l4,9GT4)，A错误，B、D正确；线速度大小为v＝eq \f(2πr,T)＝eq \f(2π,T)·eq \f(\r(3)l,3)＝eq \f(2\r(3)πl,3T)，C错误．
5．（多选）双星系统由两颗绕着它们中心连线上的某点旋转的恒星组成．假设两颗恒星质量相等，理论计算它们绕连线中点做圆周运动，理论周期与实际观测周期有出入，且eq \f(T理论,T观测)＝eq \f(\r(n),1)(n>1)，科学家推测，在以两星球中心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质，设两星球中心连线长度为L，两星球质量均为m，据此推测，暗物质的质量为( )
A．(n－1)m B．(2n－1)m C．eq \f(n－1,4)m D．eq \f(n－2,8)m
【答案】：C
【解析】：双星运动过程中万有引力提供向心力：Geq \f(m2,L2)＝meq \f(L,2)(eq \f(2π,T理论))2，解得T理论＝eq \r(\f(2π2L3,Gm))；设暗物质的质量为M′，对星球由万有引力提供向心力Geq \f(m2,L2)＋Geq \f(M′m,（\f(L,2)）2)＝meq \f(L,2)(eq \f(2π,T观测))2，解得T观测＝eq \r(\f(2π2L3,G（m＋4M′）)).根据eq \f(T理论,T观测)＝eq \f(\r(n),1)，联立以上可得：M′＝eq \f(n－1,4)m ，选项C正确．