高中数学北师大版 (2019)必修 第二册5.2 平面与平面垂直课堂教学ppt课件

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5.2　平面与平面垂直
一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面．
(1)定义：从一条直线出发的两个_______所组成的图形称为二面角．(2)相关概念：①这条直线称为二面角的棱，②这两个半平面称为二面角的面．(3)画法：
(4)记法：二面角α－AB－β或α－l－β.(5)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作______于棱的两条射线，这两条射线所成的角称为二面角的平面角．如图：则二面角α－l－β的平面角是∠AOB．
(6)二面角的平面角θ的取值范围：0°≤θ≤180°.
思考1：两个平面相交成90°的二面角时，两个平面什么位置关系呢？提示：两平面相交，平面角是直角的叫做直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(1)文字叙述：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的______，那么这条直线与另一个平面垂直．(2)图形表示：
平面与平面垂直的性质定理
(3)符号表示：α⊥β，a⊂α，α∩β＝l，a⊥l，⇒a⊥β.(4)作用：证明直线和平面垂直．
思考2：应用面面垂直的性质定理的关键点是什么呢？提示：应用面面垂直的性质定理的关键是两个垂直的平面中，一个平面内的直线如果垂直于两个平面的交线即实现面面垂直向线面垂直的转化．
(1)语言叙述：如果一个平面过另一个平面的______，那么这两个平面垂直．(2)图形表示：
平面与平面垂直的判定定理
(3)符号表示：l⊂α，l⊥β⇒α⊥β.
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．(　　)(2)异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补．(　　)(3)已知两个平面垂直，那么一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．(　　)
(4)已知两个平面垂直，那么过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．(　　)(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥β.(　　)[解析]　(4)当这个点在两个平面的交线上时，命题不正确．(5)平面α内的这一条直线和平面β垂直时，才有α⊥β.
2．二面角是指(　　)A．一个平面绕这个平面内的一条直线旋转所组成的图形B．一个半平面与另一个半平面组成的图形C．从一条直线出发的两个半平面组成的图形D．两个相交的平行四边形组成的图形[解析]　根据二面角的定义可知，选C．
3．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n[解析]　因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l.
4．如图所示，三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是______三角形．
[解析]　设P在平面ABC上的射影为O，∵平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴O∈AB．∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心，且是AB的中点，∴△ABC是直角三角形．
5.在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如右图所示，则在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有_____对．
四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB．(1)求二面角A－PD－C的平面角的度数；(2)求二面角B－PA－D的平面角的度数；(3)求二面角B－PA－C的平面角的度数；(4)求二面角B－PC－D的平面角的度数．
[分析]　求二面角的平面角的大小，先找二面角的平面角，然后在三角形中求解．
(3)因为PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AC⊥PA．所以∠BAC为二面角B－PA－C的平面角．又四边形ABCD为正方形，所以∠BAC＝45°.所以二面角B－PA－C的平面角的度数为45°.
[归纳提升]　1．求二面角大小的步骤：
简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．
2．作二面角的平面角的方法：方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．
如右图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．
方法二：(垂线法)过二面角一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图所示，∠AFE为二面角A－BC－D的平面角．
方法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图所示，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．
【对点练习】❶　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值．
[解析]　取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，
所以BO⊥A1C1，所以∠BOB1即是二面角B－A1C1－B1的平面角．因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1⊂平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1．设正方体的棱长为a，
如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．G为AD边的中点．求证：
(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB．
[证明]　(1)由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD，∴PG⊥平面ABCD，由BG⊂平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD．又AD∩PG＝G，AD，PG⊂平面PAD，∴BG⊥平面PAD．
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PBG，所以AD⊥平面PBG，又PB⊂平面PBG，所以AD⊥PB．[归纳提升]　对面面垂直的性质定理的理解(1)定理成立的条件有三个：①两个平面互相垂直；②直线在其中一个平面内；③直线与两平面的交线垂直．(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．(3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．
【对点练习】❷　如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC．
[分析]　(1)根据已知的线段长度，证明PD⊥DC，PD⊥AD，即可得到PD⊥平面ABCD，然后利用面面垂直的判定定理证得结论．(2)根据(1)问得到PD⊥平面ABCD，从而有PD⊥AC，然后结合底面ABCD为正方形得到AC⊥BD，从而找出平面PDB的垂线AC，最后利用判定定理证得结论．
(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又BD∩PD＝D，所以AC⊥平面PDB．同时，AC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD．
[归纳提升]　证明平面与平面垂直的方法：(1)定义法：根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化为求二面角的平面角为直角．(2)判定定理：判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直就要转化为证线面垂直，其关键是在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．(3)性质法：利用“两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面”．
【对点练习】❸　如图所示，在四面体A－BCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC．求证：平面ABC⊥平面SBC．
[解析]　方法一：(利用定义证明)因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC均是等边三角形，则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．取BC的中点D，如图所示，
方法二：(利用判定定理)因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，所以△ASB和△ASC均是等边三角形，所以SA＝AB＝AC，所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．因为△SBC为直角三角形，所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，所以AD⊥平面 SBC．又因为 AD⊂平面ABC，所以平面 ABC⊥平面SBC．
对面面垂直的条件把握不准确致误
　已知两个平面垂直，有下列命题：①一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数是(　　)A．3B．2C．1D．0
[错解]　B[错因分析]　④中过一个平面内任意一点作交线的垂线，并没有说明这一垂线一定在平面内．[正解]　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1D1D⊥平面ABCD．对于①，AD1⊂平面AA1D1D，BD⊂平面ABCD，AD1与BD是异面直线，且夹角为60°，故①错误；②显然正确；
对于③，AD1⊂平面AA1D1D，但AD1与平面ABCD不垂直，故③错误；对于④，D∈平面AA1D1D，平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，过点D作AD的垂线，假设为C1D，易证C1D⊥AD，而C1D⊥平面ABCD显然不成立，故④错误．综上，正确命题的个数为1．
[误区警示]　对于④，很容易认为是正确的而错选B“两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过一点作的直线不一定在平面内．
1．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(　　)A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能
2.如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是(　　)A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
[解析]　∵AB＝CB，且E是AC的中点，∴BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.∵AC在平面ABC内，∴平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDE，故选C．
3．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面(　　)A．有1个　　B．有2个C．有无数个D．不存在[解析]　经过l的平面都与α垂直，而经过l的平面有无数个，故选C．
4．(多选)下列命题中，正确的选项是(　　)A．两个相交平面组成的图形叫做二面角B．异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补C．二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角D．二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系
[解析]　由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以A不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故B正确；C中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故C不对；由定义知D正确．故选BD．
5．如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥AC．
[证明]　如图，在平面PAC内作AD⊥PC交PC于点D，∵平面PAC⊥平面PBC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，∴AD⊥平面PBC，又∵BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC．∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，∵AC⊂平面PAC，∴BC⊥AC．