【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：分段函数

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：分段函数，共12页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共28小题；共140分）
1. 设 fx=x−3,x≥10,ffx+6,x<10, 则 f5 的值为
A. 11B. 10C. 9D. 8

2. 已知函数 fx=x12,x>012x,x≤0，则 ff−4=
A. −4B. −14C. 4D. 6

3. 已知 fx=x2+3x>0,1x=0,x+4x<0, 则 fff−4=
A. −4B. 4C. 3D. −3

4. 已知 fx=1x+2,−1≤x≤0x2−2x,0A. m>12B. m<12C. 0≤m<12D. 12
5. 已知函数 fx=lg3x,x>02x,x≤0，则 ff19=
A. 4B. 14C. −4D. −14

6. 设 x∈R，定义符号函数 sgn x=1,x>00,x=0−1,x<0，则
A. ∣x∣=x∣sgn x∣B. ∣x∣=x sgn∣x∣
C. ∣x∣=∣x∣sgn xD. ∣x∣=x sgn x

7. 设函数 fx=2ex−1,x<2lg3x2−1,x≥2，则 ff2 的值为
A. 0B. 1C. 2D. 3

8. 已知函数 fx=ex−1,x<2lg3x2−1,x≥2，若 fa=1，则 a 的值是
A. 1B. 2C. −2 或 2D. 1 或 2

9. 设函数 fx=lg21−x,x<022x−1,x≥0，则 f−3+flg23 等于
A. 112B. 132C. 152D. 10

10. 设函数 fx=x2−1,x>0,−2x+1,x<0. 若 fx0>3，则 x0 的取值范围是
A. −∞,−2∪1,+∞B. −∞,−1∪2,+∞
C. −∞,−2∪−1,+∞D. −∞,1∪2,+∞

11. 已知 fx=1,x≥0−1,x<0，则不等式 x+x+2⋅fx+2≤5 的解集是
A. −∞,32B. −∞,−2C. −2,32D. −2,1

12. 已知 fx=3x+1,x>02x2−1,x<0，若 fa+f−1=8，则实数 a 的值为
A. −2B. 2C. ±2D. ±3

13. 已知函数 fx=x+2,x>ax2+5x+2,x≤a，若函数 gx=fx−2x 恰有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是
A. −1,1B. −1,2C. −2,2D. 0,2

14. 设函数 fx=x+12,x<14−x−1,x≥1，则使得 fx≥1 的自变量 x 的取值范围为
A. −∞,−2∪0,10B. −∞,−2∪0,1
C. −∞,−2∪1,10D. −2,0∪1,10

15. 已知实数 a≠0，函数 fx=2x+a,x<1−x−2a,x≥1，若 f1−2a=f1+a，则实数 a 的值为
A. −1B. 1C. 3D. −3

16. 已知函数 fx=ln−x,x<0x2−6x+6,x≥0．若关于 x 的方程 fx2−bfx+1=0 有 8 个不同的根，则实数 b 的取值范围是
A. 2,174B. −∞,−2∪2,174
C. 2,376D. −∞,−2∪2,+∞

17. 设 fx，gx 都是定义在实数集上的函数，定义函数 f⋅gx：对任意 x∈R，f⋅gx=fgx．若 fx=x,x>0x2,x≤0，gx=ex,x≤0lnx,x>0，则
A. f⋅fx=fxB. f⋅gx=fx
C. g⋅fx=gxD. g⋅gx=gx

18. 已知实数 a≠0，函数 fx=2x+a,x<1−x−2a.x≥1．若 f1−a=f1+a，则 a 的值为
A. −34B. 34C. −35D. 35

19. 已知函数 fx=x2−ax+1,x≥1ax+a−1,x<1，是定义在 R 上的增函数，则实数 a 的取值范围是
A. 0
20. 函数 fx=x2,x≥tx,00 是区间 0,+∞ 上的增函数，则实数 t 的取值范围是
A. 1B. 0,+∞C. 1,+∞D. 1,+∞

21. 若函数 fx=−x2+2x,x<13−ax+4a,x≥1 满足对任意实数 x1≠x2，都有 fx1−fx2x1−x2>0 成立，则实数 a 的取值范围是
A. 1,+∞B. 1,3C. −23,3D. −∞,3

22. 某公司生产一种产品，固定成本为 20000 元，每生产一单位的产品，成本增加 100 元，若总收入 R 与年产量 x 的关系是 Rx=−x3900+400x,0≤x≤39090090,x>390，则
当总利润最大时，每年生产产品的单位数是
A. 150B. 200C. 250D. 300

23. 已知函数 fx=x+2,x>ax2+5x+2,x≤a 若方程 fx−2x=0 恰有三个不同的实根，则实数 a 的取值范围是
A. −1,1B. −1,2C. −2,2D. 0,2

24. 已知函数 fx=x2+4a−3x+3a,x<0lgax+1+1,x≥0（a>0，且 a≠1）在 R 上单调递减，且关于 x 的方程 ∣fx∣=2−x 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是
A. 0,23B. 23,34
C. 13,23∪34D. 13,23∪34

25. 已知函数 fx=x2−6x+6,x≥03x+4,x<0．若互不相等的实数 x1，x2，x3 满足 fx1=fx2=fx3，则 x1+x2+x3 的取值范围是
A. 113,6B. −13,83C. −113,6D. −113,83

26. 函数 fx=lg2x,x>0lg12−x,x<0，若 fa>f−a，则实数 a 的取值范围是
A. −1,0∪0,1B. −∞,−1∪1,+∞
C. −1,0∪1,+∞D. −∞,−1∪0,1

27. 已知函数 fx=ex,x≤0lnx,x>0，gx=fx+x+a．若 gx 存在 2 个零点，则 a 的取值范围是
A. −1,0B. 0,+∞C. −1,+∞D. 1,+∞

28. 已知函数 fx=∣2x−1∣,x<23x−1,x≥2 若方程 fx−a=0 有三个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为
A. 1,3B. 0,3C. 0,2D. 0,1

二、选择题（共2小题；共10分）
29. 已知函数 fx=x2+2x+1,x≥0−x2+2x+1,x<0，则下列说法正确的是
A. fx 为奇函数
B. 对任意 x1,x2∈R，有 x1−x2fx1−fx2≤0
C. 对任意 x∈R，有 fx+f−x=2
D. 若方程 ∣fx∣−mx=0 有两个不同的实数根，则实数 m 的取值范围是 −∞,0∪4,+∞

30. 定义“正对数”：ln+x=0,00，b>0，则下列结论中正确的是
A. ln+ab=bln+aB. ln+ab=ln+a+ln+b
C. ln+a+b≥ln+a+ln+bD. ln+a+b≤ln+a+ln+b+ln2
答案
第一部分
1. D【解析】由题意知，函数 fx=x−3,x≥10,ffx+6,x<10,
则 f5=ff5+6=f11−3=ff8+6=f14−3=11−3=8．
2. C【解析】因为 f−4=12−4=16>0，
所以 ff−4=f16=1612=4，故选C．
3. B【解析】因为 −4<0，所以 f−4=−4+4=0．
所以 ff−4=f0=1．
于是 fff−4=f1=12+3=4．
故选B．
4. D【解析】由题意，得 −1≤2m−1≤0,12m+1<12 或 0<2m−1≤1,2m−12−22m−1<12,
解得 125. B
【解析】本题考查分段函数的概念．由题意得 f19=lg319=−2，所以 ff19=f−2=2−2=14，故选B．
6. D【解析】由已知可知 x sgn x=x,x>00,x=0−x,x<0，而 ∣x∣=x,x>00,x=0−x,x<0，所以 ∣x∣=x sgn x．
7. C
8. D【解析】①当 a<2 时，解方程 ea−1=1 得：a=1，
②当 a≥2 时，解方程 lg3a2−1=1 得：a=2，
综合①②得：方程 fa=1 的解为：a=1 或 a=2．
9. B
10. B
11. A【解析】当 x+2≥0，即 x≥−2 时，fx+2=1，由 x+x+2⋅fx+2≤5 可得 x+x+2≤5，
所以 x≤32，即 −2≤x≤32．
当 x+2<0，即 x<−2 时，fx+2=−1，由 x+x+2⋅fx+2≤5 可得 x−x+2≤5，即 −2≤5，
所以 x<−2．
综上，不等式 x+x+2⋅fx+2≤5 的解集为 −∞,32．
故选A．
12. C【解析】当 x<0 时，fx=2x2−1，因此 f−1=2×−12−1=1，结合 fa+f−1=8 可知 fa=7．当 a>0 时，fa=3a+1=7，解得 a=2．当 a<0 时，fa=2a2−1=7，解得 a=−2．故选C．
13. B【解析】函数 fx=x+2,x>ax2+5x+2,x≤a，
由 x2+5x+2=2x，可得 x2+3x+2=0，
解得 x=−1，x=−2，y=x+2 与 y=2x 的交点为：2,4，
函数 y=fx 与 y=2x 的图象如图：
函数 gx=fx−2x 恰有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是：−1≤a<2．
14. A【解析】由 x+12≥1,x<1 得 x≤−2 或 0≤x<1；由 4−x−1≥1,x≥1 得 1≤x≤10．
所以 x≤−2 或 0≤x≤10．
15. A
【解析】当 a>0 时，1−2a<1，1+a>1，
所以由 f1−2a=f1+a，得 21−2a+a=−1+a−2a，此时 a 无解；
当 a<0 时，1−2a>1，1+a<1，
所以由 f1−2a=f1+a，得 −1−2a−2a=21+a+a，解得 a=−1．
综上可得，a=−1．
故选A．
16. C【解析】令 t=fx，则原方程可化为 t2−bt+1=0．作出函数 fx 的图象，如图．
因为方程 fx2−bfx+1=0 有 8 个不同的根，
所以方程 t2−bt+1=0 的两根 t1,t2∈0,6，且 t1≠t2，
令 gt=t2−bt+1，
所以 Δ=b2−4>0,00,g6=36−6b+1≥0,
解得 217. A
18. A【解析】已知 a≠0，f1−a=f1+a，
当 a>0 时，1−a<1<1+a，
则 f1−a=21−a+a=2−a，f1+a=−1+a−2a=−1−3a．
则有 2−a=−1−3a，即 a=−32（舍）．
当 a<0 时，1+a<1<1−a，则 f1−a=−1−a−2a=−1−a，f1+a=21+a+a=2+3a，
所以 −1−a=2+3a，即 a=−34．
综上可得 a=−34．
故选A．
19. A【解析】由题意得 a2≤1,a>0,2a−1≤2−a. 解得 020. D
【解析】因为 fx=x2,x≥tx,00 是区间 0,+∞ 上的增函数，且函数 y=x2 及 y=x 在区间 0,+∞ 上都为增函数，
所以 t2≥t,t>0,
解得 t≥1．
21. C【解析】对任意实数 x1≠x2，都有 fx1−fx2x1−x2>0 成立，
所以 fx 在 R 上是增函数，
所以 3−a>0,3−a×1+4a≥−12+2×1, 解得 −23≤a<3．
22. D【解析】由题意得，
总利润 Px=−x3900+300x−20000,0≤x≤39070090−100x,x>390．
令 P′x=0，得 x=300．
23. B【解析】令 gx=fx−2x，则由题意可得函数 gx=−x+2,x>ax2+3x+2,x≤a 恰有三个零点，
如图，作出函数 y=−x+2 与 y=x2+3x+2 的图象，
结合函数 y=−x+2 与 y=x2+3x+2 的图象可知，当 −1≤a<2 时，函数 gx 有三个零点．
24. C【解析】当 x<0 时，fx 单调递减，必须满足 −4a−32≥0，故 0如图，
当 x≥0 时，函数 y=∣fx∣ 的图象和直线 y=2−x 有且只有一个公共点，即当 x≥0 时，方程 ∣fx∣=2−x 只有一个实数解．
因此，只需当 x<0 时，方程 ∣fx∣=2−x 恰有一个实数解．
根据已知条件可得，当 x<0 时，fx>0，即只需方程 fx=2−x 恰有一个实数解，即 x2+4a−3x+3a=2−x，即 x2+22a−1x+3a−2=0 在 −∞,0 上恰有唯一的实数．判别式 Δ=42a−12−43a−2=44a2−7a+3=4a−14a−3，因为 13≤a≤34，所以 Δ≥0．当 Δ=0 时，即 y=2−x 与 ∣fx∣ 图象在 −∞,0 相切，解得 a=1（舍去）或 a=34；当 Δ>0 时，由图象可知，当 3a∈1,2 时满足 y=2−x 与 ∣fx∣ 图象在 −∞,0 上只有一个交点，解得 a∈13,23．
25. A
【解析】函数 fx=x2−6x+6,x≥03x+4,x<0 的图象如图所示，
不妨设 x1所以 x2+x3=6，
又 −73所以 −73+6所以 x1+x2+x3 的取值范围是 113,6．
26. C【解析】当 a>0 时，由 fa>f−a 得 lg2a>lg12−−a，即 lg2a>0，解得 a>1；
当 a<0 时，由 fa>f−a 得 lg12−a>lg2−a，即 lg2−a<0，解得 0<−a<1，即 −1因此实数 a 的取值范围是 −1,0∪1,+∞．
27. C【解析】gx=fx+x+a 存在 2 个零点等价于函数 fx=ex,x≤0lnx,x>0 与 hx=−x−a 的图象存在 2 个交点，如图，
当 x=0 时，h0=−a，由图可知要满足 y=fx 与 y=hx 的图象存在 2 个交点，需要 −a≤1，即 a≥−1．
28. D【解析】作出函数 y=fx 的图象及直线 y=a，如图所示，
因为方程 fx−a=0 有三个不同的实数根，
所以 y=fx 的图象与直线 y=a 有三个不同的交点，由图可得，实数 a 的取值范围为 0第二部分
29. C， D
【解析】因为 f0=1≠0，
所以函数 fx 不是奇函数，故A错误；
函数 y=x2+2x+1 图象的对称轴为 x=−1，开口向上，函数 y=−x2+2x+1 图象的对称轴为 x=1，开口向下，
所以函数 y=x2+2x+1 在区间 0,+∞ 上单调递增，函数 y=−x2+2x+1 在区间 −∞,0 上单调递增，并且 02+2×0+1=−02+2×0+1，
所以 fx 在 R 上单调递增，即对任意 x1即 x1−x2fx1−fx2>0，故B错误；
当 x>0 时，−x<0，则 f−x=−−x2+2−x+1=−x2−2x+1，
故 fx+f−x=x2+2x+1−x2−2x+1=2，
当 x=0 时，f0=1，此时 fx+f−x=2 也成立，
当 x<0 时，−x>0，则 f−x=−x2+2−x+1=x2−2x+1，
故 fx+f−x=−x2+2x+1+x2−2x+1=2，
所以对任意 x∈R，有 fx+f−x=2，故C正确；
当 x=0 时，∣f0∣−0=1≠0，则 x=0 不是该方程的根，
当 x≠0 时，∣fx∣−mx=0⇔∣fx∣x=m，
令函数 gx=∣fx∣x，
由题意可知直线 y=m 与函数 gx=∣fx∣x 的图象有两个不同的交点，
因为当 fx≥0 时，x∈1−2,+∞，当 fx<0 时，x∈−∞,1−2，
所以 gx=x+1x+2,x>0−x+1x+2,1−2≤x<0x−1x−2,x<1−2，
当 x>0 时，任取 0因为 x1−x2<0，x1x2−1<0，
所以 gx1−gx2>0，即 gx1>gx2，
任取 1所以函数 gx 在区间 0,1 上单调递减，在区间 1,+∞ 上单调递增，
同理可证，函数 gx 在区间 1−2,0 上单调递减，在区间 −∞,1−2 上单调递增，g1=1+11+2=4，
函数 gx 的大致图象如下图所示：
由图可知，要使直线 y=m 与函数 gx=∣fx∣x 的图象有两个不同的交点，
则实数 m 的取值范围是 −∞,0∪4,+∞，故D正确．
故选CD．
30. A， D
【解析】对于A，当 00 时，有 0所以 ln+ab=bln+a；
当 a≥1，b>0 时，有 ab≥1，从而 ln+ab=ln+ab=blna，bln+a=blna，
所以 ln+ab=bln+a．
所以当 a>0，b>0 时，ln+ab=bln+a，所以A正确．
对于B，当 a=14，b=2 时满足 a>0，b>0，而 ln+ab=ln+12=0，ln+a+ln+b=ln+14+ln+2=ln2，
所以 ln+ab≠ln+a+ln+b，
所以B错误．
对于C，令 a=2，b=4，则 ln+2+4=ln6，ln+2+ln+4=ln2+ln4=ln8，显然 ln6对于D，由“正对数“的定义知，当 0当 0从而 ln+a+b所以 ln+a+b当 a≥1，01，
从而 ln+a+b=lna+b所以 ln+a+b当 01，
从而 ln+a+b=lna+b所以 ln+a+b当 a≥1，b≥1 时，ln+a+b=lna+b，ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln2ab，
因为 2ab−a+b=ab−a+ab−b=ab−1+ba−1≥0，
所以 2ab≥a+b，
所以 ln+a+b≤ln+a+ln+b+ln2．
综上所述，当 a>0，b>0 时，ln+a+b≤ln+a+ln+b+ln2，所以D正确．
故选AD．