【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：等比数列的基本概念与性质

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一、选择题（共29小题；共145分）
1. 已知正项等比数列 an 的公比为 q，且对任意 n∈N∗，有 an+2=an+1+2an，则 q=
A. 2B. 32C. 2D. 1

2. 等比数列 an 的公比 q=−14，a1=2，则数列 an 是
A. 递增数列B. 递减数列C. 常数数列D. 摆动数列

3. 设 a,G,b∈R，则“G2=ab”是“G 为 a，b 的等比中项”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

4. “数列 an 既是等差数列又是等比数列”是“数列 an 是常数列”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

5. 设 an 是等比数列，且 a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则 a6+a7+a8=
A. 12B. 24C. 30D. 32

6. 在各项均为正数的等比数列 an 中，a2=1，2a9=a3−a6，则 a8 的值为
A. 2B. 12C. 14D. 18

7. 在等比数列 an 中，若 a5=2a4，a2=2，则 a6=
A. 64B. 16C. 8D. 32

8. 如果数列 an 是一个以 q 为公比的等比数列，bn=−2an，那么数列 bn 是
A. 以 q 为公比的等比数列B. 以 −q 为公比的等比数列
C. 以 2q 为公比的等比数列D. 以 −2q 为公比的等比数列

9. 下列数列中成等比数列的是
A. 1，14，19，116B. 1，1，−1，−1C. 1，22，12，24D. 12，2，12，2

10. 已知 an 是等比数列，下列命题中不正确的是
A. 若 an>0n∈N∗，则 lgan 是等差数列
B. 若 an>0n∈N∗，则 a1+an+22≥a2an+1
C. an+1 一定是 an 与 an+2 的等比中项
D. an−r 与 an+rr
11. 在等比数列 an 中，a3+a4=4，a2=2，则公比 q 等于
A. −2B. 1 或 −2C. 1D. 1 或 2

12. 在等比数列 an 中，如果 an>0 且 a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么 a3+a5=
A. 5B. 15C. 20D. 25

13. 设 a，b，c，d 是非零实数，则“ad=bc”是“a，b，c，d 成等比数列”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件

14. “b2=ac”是“a，b，c 成等比数列”的
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件

15. 已知 an 是等差数列，公差 d 不为零，前 n 项和是 Sn．若 a3，a4，a8 成等比数列，则
A. a1d>0，dS4>0B. a1d<0，dS4<0C. a1d>0，dS4<0D. a1d<0，dS4>0

16. 河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”从下至上共 7 层，从第二层起，上层的数量是下层的 2 倍，总共有 1016 个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上的“浮雕像”的数量构成数列 an，则 lg2a3⋅a5 的值为
A. 8B. 10C. 12D. 16

17. 递增的等比数列 an 中，a2a5=128，a3+a4=24，则 an=
A. n2B. 12nC. 2nD. 2n

18. 已知 α，β，γ 成公比为 2 的等比数列，α∈0,2π，且 sinα，sinβ，sinγ 也成等比数列，则 α 的值为
A. 2π3 或 0B. 4π3
C. 2π3 或 4π3D. 2π3 或 4π3 或 0

19. 一个等比数列的前三项的积为 2，最后三项的积为 4，且所有项的积为 64，则该数列有
A. 13 项B. 12 项C. 11 项D. 10 项

20. 设 an 是各项均为正数的无穷数列，Ai 是边长为 ai，ai+1 的矩形面积（i=1,2,⋯），则 An 为等比数列的充要条件为
A. an 是等比数列
B. a1，a3，⋯，a2n−1，⋯ 或 a2，a4，⋯，a2n，⋯ 是等比数列
C. a1，a3，⋯，a2n−1，⋯ 和 a2，a4，⋯，a2n，⋯ 均是等比数列
D. a1，a3，⋯，a2n−1，⋯ 和 a2，a4，⋯，a2n，⋯ 均是等比数列，且公比相同

21. 若一个直角三角形三边长成等比数列，则
A. 三边长之比 \（3\mathbin{：}4\mathbin{：}5\）B. 三边长之比为 \（3\mathbin{：}\sqrt 2\mathbin{：}1\）
C. 较大锐角的正弦为 5−12D. 较小锐角的正弦为 5−12

22. 若一个直角三角形三边长成等比数列，则
A. 三边长之比 3∶4∶5B. 三边长之比为 3:2:1
C. 较大锐角的正弦为 5−12D. 较小锐角的正弦为 5−12

23. 设 an 是由正数组成的等比数列，公比 q=2，且 a1a2a3⋅⋯⋅a30=230，那么 a3a6a9⋅⋯⋅a30=
A. 210B. 220C. 216D. 215

24. 已知正项等比数列 an 满足 a7=a6+2a5，若存在两项 am，an 使得 aman=4a1，则 1m+4n 的最小值为
A. 32B. 53C. 256D. 不存在

25. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn=n2−n，正项等比数列 bn 中，b2=a3，bn+3bn−1=4bn2n≥2,n∈N+，则 lg2bn=
A. nB. 2n−1C. n−2D. n−1

26. 已知数列 an 满足 a1=2，an=−2an−1+3（n≥2 且 n∈N∗），则下列说法错误的是
A. a4=−7
B. a4−1 是 a2−1 与 a6−1 的等比中项
C. 数列 an+1−an 是等比数列
D. 在数列 an 中，只有有限个大于 0 的项

27. 已知 an 是等差数列，公差 d 不为零，前 n 项和是 Sn，若 a3，a4，a8 成等比数列，则
A. a1d>0，dS4>0B. a1d<0，dS4<0C. a1d>0，dS4<0D. a1d<0，dS4>0

28. 已知正项等差数列 an 中，若 a1+a2+a3=15，若 a1+2，a2+5，a3+13 成等比数列，则 a10 等于
A. 21B. 23C. 24D. 25

29. 若数列 an 为等差数列，bn 为等比数列，且满足：a1+a2019=π，b1b2019=2，函数 fx=sinx，则 fa1+a20191+b2b2018 等于
A. −32B. 12C. 32D. −12

答案
第一部分
1. C【解析】因为数列 an 是正项等比数列，故 q>0 且 a1⋅q≠0．又因为对任意 n∈N∗，有 an+2=an+1+2an，即 a1qn+1=a1qn+2a1qn−1，所以 q2−q−2=0，解得 q=2 或 q=−1（舍去）．
2. D【解析】由于公比 q=−14<0，所以数列 an 是摆动数列．
3. B【解析】若 G 是 a，b 的等比中项，
则 G2=ab，
当 a=b=G=0 时，
满足 G2=ab，
但 a，G，b，不能构成等比数列，
所以“G2=ab”是“G 为 a，b 的等比中项”的必要不充分条件．
4. A【解析】由数列 an 既是等差数列又是等比数列，可知 an 是常数列，所以充分性成立；当常数列的各项均为 0 时，不是等比数列，所以必要性不成立，
所以“数列 an 既是等差数列又是等比数列是“数列 an 是常数列”的充分不必要条件，故选A．
5. D
【解析】an 是等比数列，且 a1+a2+a3=1，
则 a2+a3+a4=qa1+a2+a3，即 q=2，
所以 a6+a7+a8=q5a1+a2+a3=25×1=32．
6. C【解析】设等比数列的公比为 qq>0，
由 2a9=a3−a6，则 2a3q6=a3−a3q3，
所以 2q6=1−q3⇒2q6+q3−1=0⇒2q3−1q3+1=0，
由 q>0，所以 q3=12，故 a8=a2q6=14，
故选：C．
7. D【解析】设公比为 q，因为 a5=2a4，故 q=2，所以 a6=a2×q4=32，故选：D．
8. A
9. C
10. D
11. B
12. A
13. B
14. B
15. B
【解析】因为 an 为等差数列，且 a3，a4，a8 成等比数列，
所以 a1+3d2=a1+2da1+7d⇒a1=−53d，
所以 S4=2a1+a4=2a1+a1+3d=−23d，
所以 a1d=−53d2<0，dS4=−23d2<0．
16. C【解析】由题意得数列 an 为等比数列，且公比 q=2，n=7，a11−271−2=1016，
解得 a1=8，则 an=8×2n−1=2n+21≤n≤7,n∈N+，
所以 a3=25，a5=27，
从而 a3⋅a5=25×27=212，
所以 lg2a3⋅a5=lg2212=12，
故选C．
17. D【解析】设等比数列 an 的公比为 q．
由等比数列的性质可得，a2a5=a3a4=128，
又因为 a3+a4=24，
所以 a3=8,a4=16 或 a3=16,a4=8.
又 an 为递增的等比数列，
所以 a3=8，a4=16，
所以 q=a4a3=168=2，
所以 an=a3⋅qn−3=8×2n−3=2n．
18. C【解析】因为 α，β，γ 成公比为 2 的等比数列，α∈0,2π，
所以 β=12α，γ=4α，
因为等比数列中每一项都不为零，
所以 α≠0，
因为 sinα，sinβ，sinγ 也成等比数列，
所以 sin2β=sinα⋅sinγ，
即 sin212α=sinα⋅sin4α，
把选项中 α 的值代入以上等式进行检验，
得到 α=2π3，α=4π3 合题意．
19. B【解析】设数列的通项公式为 an=a1qn−1
则前三项分别为 a1，a1q，a1q2，
后三项分别为 a1qn−3，a1qn−2，a1qn−1．
由题意得 a13q3=2，a13q3n−6=4，
两式相乘得 a16q3n−1=8，即 a12qn−1=2．
又因为 a1⋅a1q⋅a1q2⋯⋯a1qn−1=64，
所以 a1nqnn−12=64，
即 a12qn−1n=642，解得 n=12．
20. D
21. D【解析】由题中条件可设三边为 a，aq，aq2（q>1），
由勾股定理：a2+a2q2=a2q4，则 q4−q2−1=0⇒q2=1+52，
设较小锐角为 A，其对边为 a，则 sinA=aaq2=21+5=5−12．
选D．
22. D【解析】由题中条件可设三边为 a，aq，aq2q>1，
由勾股定理：a2+a2q2=a2q4，
则 q4−q2−1=0⇒q2=1+52，
设较小锐角为 A，其对边为 a，
则 sinA=aaq2=21+5=5−12．
选D．
23. B【解析】设 A=a1a4a7⋯a28，B=a2a5a8⋯a29，C=a3a6a9⋯a30，
则 A，B，C 成等比数列，公比为 q10=210，
由条件得 A⋅B⋅C=230，即 B3=230，
所以 B=210，
所以 C=B⋅210=220．
24. A【解析】由题意可知 a5q2=a5q+2a5q>0，且 a5≠0，
化简得 q2−q−2=0，解得 q=2 或 q=−1 （舍去）．
由 aman=4a1，得 a1qm−1⋅a1qn−1=16a12，
所以 qm+n−2=16=24，所以 m+n=6，
所以
1m+4n=1m+4n⋅m+n6=165+4mn+nm≥165+24mn⋅nm=32,
当且仅当 4mn=nm，即 m=2，n=4 时，等号成立．
25. A
【解析】数列 an 的前 n 项和 Sn=n2−n，
所以 a1=S1=0，
n≥2 时，an=Sn−Sn−1=2n−2，n=1 时也成立，
所以 an=2n−2n∈N∗，
设正项等比数列 bn 的公比为 q>0，b2=a3=4，bn+3bn−1=4bn2n≥2,n∈N∗，
所以 b1qn+2⋅b1qn−2=4b1qn−12，化简得 q2=4，解得 q=2，
所以 b1×2=4，解得 b1=2，
所以 bn=2n，
则 lg2bn=n．
26. D【解析】设 an+x=−2an−1+x，解得 x=−1，即 an−1an−1−1=−2，
所以 an−1 是一个以 1 为首项，以 −2 为公比的等比数列，
所以 an−1=−2n−1，所以 an=−2n−1+1．
当 n=4 时，a4=−7，所以选项A正确；
因为 an−1 是一个以 1 为首项，以 −2 为公比的等比数列，
所以 a4−1 是 a2−1 与 a6−1 的等比中项，所以选项B正确；
an+1−an=−3⋅−2n−1，所以数列 an+1−an 是等比数列，所以选项C正确；
在数列 an 中，an=−2n−1+1，偶数项为负，奇数项为正，有无限个大于 0 的项，所以选项D错误．
27. B
28. A【解析】设公差为 d，由 a1+a2+a3=15，即 3a2=15，
所以 a2=5，
所以 a1=5−d，a3=5+d，
又 a1+2，a2+5，a3+13 成等比数列，
可得：a2+52=a1+2a3+13，
所以 100=7−d18+d，解得：d=2 或 d=−13．
因为等差数列 an 是正项数列，
所以 d=−13（舍去），
所以 a1=3．
an=a1+n−1d=2n+1．
所以 a10=21．
29. C