【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：复数的概念

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：复数的概念，共6页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共30小题；共150分）
1. 复数 z=3−2i 的虚部为
A. 2B. −2C. −2iD. 2i

2. 已知 a∈R，若 a−1+a−2i（i 为虚数单位）是实数，则 a=
A. 1B. −1C. 2D. −2

3. 复数 z=−1−2i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

4. 若复数 (a2−4a+3)+(a−1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为
A. 1B. 3C. 1 或 3D. −1

5. 若复数 a2−3a+2+a−1i 是纯虚数，则实数 a 的值为
A. 1B. 2C. 1 或 2D. −1

6. 计算 3cs270∘+isin270∘13cs−90∘+isin−90∘ 的结果是
A. −9B. 9C. −1D. 1

7. 复数 −1+3i 的三角形式是
A. 2cs2π3+isin2π3B. 2cs5π6+isin5π6
C. 2cs5π3+isin5π3D. 2cs11π6+isin11π6

8. 复数 z=−sin5π18+ics5π18 的辐角主值为
A. 5π18B. 16π9C. 2π9D. 7π9

9. 若复数 z=a2−1+a+1i（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值是
A. −1 或 1B. 1C. −1D. 0

10. 复数 12−32i 的三角形式是
A. cs−π3+isin−π3B. csπ3+isinπ3
C. csπ3−isinπ3D. csπ3+isin5π6

11. 复数 z=−sin100∘+ics100∘ 的辐角主值是
A. 80∘B. 100∘C. 190∘D. 260∘

12. 在下列各数中，已表示成三角形式的复数是
A. 2csπ4−isinπ4B. 2csπ4+isinπ4
C. 2sinπ4−icsπ4D. −2csπ4−isinπ4

13. 设 C=复数，R=实数，M=纯虚数，全集 U=C，则下列结论中正确的是
A. R∪M=CB. R∩∁CM=∅
C. C∩∁CR=MD. ∁CM∪∁CR=C

14. 以下命题中，正确的是
A. 若 a,b∈R，复数 a+bi 中，实部为 a，虚部为 bi
B. 若 a,b∈R，当 a+bi 是虚数时，则 a≠0 且 b≠0
C. 若 a,b∈R，当 a=0 时，复数 a+bi 为纯虚数
D. 若 a,b∈R，当 b=0 时，复数 a+bi 为实数

15. 复数 sin40∘−ics40∘ 的幅角主值是
A. 40∘B. 140∘C. 220∘D. 310∘

16. 下列有关复数的描述中，正确的是
A. i 是 −1 的一个平方根
B. −2i<−i
C. bib∈R 表示纯虚数
D. 若 z=3−4i，则 Rez=3，Imz=4

17. 设 i 是虚数单位，若复数 z=1+2i，则复数 z 的模为
A. 1B. 22C. 3D. 5

18. 若 a,b∈R，i 是虚数单位，a+2019i=2−bi，则 a2+bi 等于
A. 2019+2iB. 2019+4iC. 2+2019iD. 4−2019i

19. 有下列命题：
①若 a∈R，则 a+1i 是纯虚数；
②若 a,b∈R，且 a>b，则 a+i>b+i；
③若 x2−1+x2+3x+2i 是纯虚数，则实数 x=±1；
④两个虚数不能比较大小．
其中正确命题的序号是
A. ①B. ②C. ③D. ④

20. 欧拉公式 eix=csx+isinx（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式可知，e2i 表示的复数在复平面内对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

21. 若复数 z=x2−1+x−1i 为纯虚数，则实数 x 的值为
A. −1B. 0C. 1D. −1 或 1

22. 设 i 是虚数单位，若复数 a−103−ia∈R 是纯虚数，则 a 的值为
A. −3B. −1C. 1D. 3

23. 引入复数后，数系的结构图为
A. B.
C. D.

24. 已知 i 为虚数单位，且复数 m2⋅1+i+m+i⋅i2 为纯虚数，则实数 m 的值是
A. 0 或 1B. −1C. 0D. 1

25. 已知实数 b 是关于 x 的方程 x2−6+ix+9+ai=0（a∈R）的解，则 a+b=
A. 9B. 6C. 3D. 0

26. 若 x+yi=x−1x,y∈R，则 2x+y 的值为
A. 12B. 2C. 0D. 1

27. 已知关于 x 的方程 x2+mx+2xi=−2−2im∈R 有实数根 n，且 z=m+ni，则复数 z 等于
A. 3+iB. 3−iC. −3−iD. −3+i

28. 若复数 1+i1−in 为实数，则正整数 n 的最小值是
A. 1B. 2C. 3D. 4

29. 已知 (x2−ix)n 的展开式中第三项与第五项的系数之比为 −314 ，其中 i2=−1 ，则展开式中常数项是
A. −45iB. 45iC. −45D. 45

30. 给出以下命题：
①若 a,b∈R，且 a>b，则 a+i>b+i；
② z1,z2∈C，z1−z2>0 是 z1>z2 的必要条件；
③ a,b∈R，则 a=b 是 a−b+a+bi 为纯虚数的充要条件；
④ z1,z2∈C，若 z1⋅z2=0，则 z1=0 或 z2=0．
其中正确的命题有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个
答案
第一部分
1. B【解析】因为 z=3−2i，
所以其虚部为 −2．
2. C【解析】因为 a−1+a−2i 为实数，所以 a−2=0，所以 a=2．
3. C【解析】复数 z=−1−2i 对应的点为 −1,−2，位于第三象限．
4. B
5. B
6. B【解析】3cs270∘+isin270∘13cs−90∘+isin−90∘=9cs270∘+90∘+isin270∘+90∘=9cs360∘+isin360∘=9.
7. A【解析】解法一：设复数的三角形式为 z=rcsθ+isinθ，则 r=−12+32=2，tanθ=−3，
可取 θ=argz=2π3，从而复数 −1+3i 的三角形式为 2cs2π3+isin2π3．
解法二：
−1+3i=−12+32×−1−12+32+3−12+32i=2−12+32i=2cs2π3+isin2π3.
8. D【解析】z=−sin5π18+ics5π18=cs7π9+isin7π9，
故复数 z 的辐角主值为 7π9．
9. B【解析】因为复数 z=a2−1+a+1i 是纯虚数，
所以实部为 0，虚部不为 0，即 a2−1=0,a+1≠0,
解得 a=1．
10. A
【解析】因为 cs−π3=12，sin−π3=−32，
所以复数 12−32i 的三角形式为 cs−π3+isin−π3．
11. C【解析】z=−sin100∘+ics100∘=cs190∘+isin190∘．
12. B【解析】因为 z=rcsθ+isinθ，
所以 z=2csπ4+isinπ4 表示复数的三角形式．
13. D
14. D
15. D
16. A
17. D【解析】依题意，z=12+22=5．
18. D
19. D【解析】对于复数 a+bia,b∈R，当 a=0 且 b≠0 时，为纯虚数．
在①中，若 a=−1，则 a+1i 不是纯虚数，故①错误；
在③中，若 x=−1，则 x2−1+x2+3x+2i=0，不是纯虚数，故③错误；
两个虚数不能比较大小，故②错误，④正确．
20. B
【解析】依题可知 eix 表示的复数在复平面内对应的点的坐标为 csx,sinx，故 e2i 表示的复数在复平面内对应的点的坐标为 cs2,sin2，显然该点位于第二象限．
21. A【解析】由 x2−1=0,x−1≠0,⇒x=−1．
22. D
23. A
24. C【解析】把复数 m21+i+m+ii2 整理成为标准形式，为 m2−m+m2−1i．
因为该复数为纯虚数，所以 m2−m=0,m2−1≠0, 解得 m=0．
25. B
【解析】因为实数 b 是方程 x2−6+ix+9+ai=0a∈R 的解，
所以把 b 代入整理成标准形式，为 b2−6b+9+a−bi=0．
所以 b2−6b+9=0,a−b=0.
解得 a=b=3．
所以 a+b=6．
26. D【解析】由复数相等的充要条件知，
x+y=0,x−1=0,
解得 x=1,y=−1.
所以 x+y=0．
所以 2x+y=20=1．
27. B【解析】由题意知，
n2+mn+2ni=−2−2i，
即 n2+mn+2=0,2n+2=0, 解得 m=3,n=−1.
所以 z=3−i .
28. B【解析】1+i1−in=2csπ4+isinπ4n2cs7π4+isin7π4n=csπ2+isinπ2n=csnπ2+isinnπ2,
由题意得 csnπ2≠0,sinnπ2=0,
所以正整数 n 的最小值为 2．
29. D
30. B