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    北师大版 (2019)高中数学必修 第一册课文《函数的单调性和最值》,完整版PPT课件免费下载,优秀PPT背景图搭配,精美的免费ppt模板。轻松备课,欢迎免费下载使用。

    §3 函数的单调性和最值
    一、【素养目标】

    1.根据一次函数,二次函数了解并理解函数单调性的概念.(数学抽象)2.会利用函数图象判断一次函数,二次函数的单调性.(直观想象)3.理解一次函数、二次函数等常见函数的最大(小)值问题.(数据分析)4.能利用定义判断一些简单函数在给定区间上的单调性,掌握利用单调性定义判断、证明函数单调性的方法.(逻辑推理)5.掌握利用函数的图象和函数的单调性求一些简单函数的最大(小)值的方法.(数据分析)
    二、【课程的主要内容】

    1.函数单调性的学习,学生要正确使用符号语言清晰地刻画函数的性质.2.单调性的有关概念比较抽象,要注意结合具体的函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)加深理解其含义及应用.3.应少做偏题、怪题,避免烦琐的技巧训练.
    第1课时 函数的单调性
    f(x1)<f(x2)
    f(x1)>f(x2)
    思考1:在函数单调性的定义中,能否去掉“任意”?提示:不能,不能用特殊代替一般.
    函数的单调性与单调区间函数y=f(x)在__________上是单调递增或单调递减,则函数在区间D上具有(严格的)单调性,区间D叫作函数的单调区间.思考2:区间D一定是函数的定义域吗?提示:不一定,可能是定义域的一个子区间,单调性是局部概念,不是整体概念.
    函数的最大(小)值设函数y=f(x)的定义域为D,若存在实数M,对所有的x∈D,都有__________________________,且存在x0∈D,使得______________,则称M为函数y=f(x)的最大(小)值.思考3:函数f(x)=-x2的定义域为R,存在实数1,对所有的x∈R,都有f(x)≤1.那么1是函数f(x)=-x2的最大值吗?为什么?提示:不是.因为不存在x0∈R,使得f(x0)=-x=1.
    f(x)≤M(f(x)≥M)
    1.函数y=f(x)在区间(a,b)上是减函数,x1,x2∈(a,b),且x1<x2,则有( )A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)>f(x2)C.f(x1)=f(x2)D.以上都有可能[解析] 因为函数y=f(x)在(a,b)上是减函数,且x1<x2,所以f(x1)>f(x2),故选B.
    [解析] 分别画出各个函数的图象,在区间(0,2)上上升的图象只有B.
    3.函数f(x)在[-2,+∞)上的图象如图所示,则此函数的最大、最小值分别为( )A.3,0 B.3,1C.3,无最小值 D.3,-2
    如图为函数y=f(x),x∈[-4,7]的图象,指出它的单调区间.
    [分析] (1)函数f(x)在D上单调递增(或单调递减)表现在其图象上有怎样的特征?(2)单调增、减区间与函数在该区间上为增、减函数一样吗?[解析] 函数的单调增区间为[-1.5,3),[5,6),单调减区间为[-4,-1.5),[3,5),[6,7].
    (3)区间端点的写法:对于单独的一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调问题,因此写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但对于某些点无意义时,单调区间就不包括这些点.

    三、【例题剖析】

    【对点练习】❶ 根据下列函数图象,指出函数的单调增区间和单调减区间.
     [解析] 由图象(1)知此函数的增区间为(-∞,2],[4,+∞),减区间为[2,4].由图象(2)知,此函数的增区间为(-∞,-1],[1,+∞),减区间为[-1,0),(0,1].
    (1)函数f(x)在区间[-2,5]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是( )A.-2,f(2)B.2,f(2)C.-2,f(5)D.2,f(5)
    [解析] (1)由函数的图象可知,最小值为-2,最大值为f(5).(2)①由题意,当x∈[-1,2]时,f(x)=-x2+3,为二次函数的一部分;当x∈(2,5]时,f(x)=x-3,为一次函数的一部分;所以,函数f(x)的图象如图所示:②由图象可知,当x=0时有最大值为3;当x=2时有最小值为-1.
    已知函数f(x)=3x2-12x+5,当自变量x在下列范围内取值时,求函数的最大值和最小值.(1)R;(2)[0,3];(3)[-1,1].
    [解析] f(x)=3x2-12x+5=3(x-2)2-7,作出函数y=f(x)的图象,如图所示.
    (1)当x∈R时,f(x)=3(x-2)2-7≥-7,当x=2时,等号成立.故当x∈R时,函数f(x)的最小值为-7,无最大值.(2)由图可知,在[0,3]上,函数f(x)在x=0处取得最大值,最大值为5;故x=2处取得最小值,最小值为-7.(3)由图可知,函数f(x)在[-1,1]上是减函数,在x=-1处取得最大值,最大值为20;在x=1处取得最小值,最小值为-4.
    [归纳提升] 定轴定区间的二次函数的最值问题的解法解决这类问题,要画出函数的图象,根据给定的区间截取符合要求的部分,根据图象写出最大值和最小值.经常用到的结论:当二次函数图象开口向上时,自变量距离对称轴越远,对应的函数值越大;当图象开口向下时,则相反.
    【对点练习】❸ 求函数f(x)=x2-2x+2在区间[t,t+1]上的最小值g(t).[解析] f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1],t∈R,对称轴为直线x=1.
    当t+1<1,即t<0时,函数图象如图1所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为减函数,所以最小值为g(t)=f(t+1)=t2+1;当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,函数图象如图2所示,最小值为g(t)=f(1)=1;当t>1时,函数图象如图3所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为增函数.
    1.函数y=f(x)的图象如图所示,其增区间是( )A.[0,1]B.[-4,-3]∪[1,4]C.[-3,1]D.[-3,4][解析] 结合图象分析可知,函数图象在区间[-3,1]是上升的,故其增区间是[-3,1].
    3.下列函数在区间(0,+∞)上不是增函数的是( )A.y=2x+1B.y=x2+1C.y=3-xD.y=x2+2x+1[解析] 函数y=3-x在区间(0,+∞)上是减函数.
    4.函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是( )A.f(-2),0B.0,2C.f(-2),2D.f(2),2[解析] 由图象可知,当x=-2时,f(x)取最小值f(-2),当x=1时,f(x)取最大值f(1)=2,故选C.
    5.函数f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])的最小、最大值分别为( )A.3,5B.-3,5C.1,5D.5,-3[解析] ∵函数f(x)在[-2,2]上单调递减,∴f(x)min=f(2)=-3,f(x)max=f(-2)=5.

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