【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：反函数

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一、选择题（共30小题；共150分）
1. 函数 y=3x 与 y=lg3x 的图象
A. 关于原点对称B. 关于 x 轴对称
C. 关于 y 轴对称D. 关于直线 y=x 对称

2. 函数 y=2x+1 的反函数是
A. y=1+lg2xx>0B. y=lg2x−1x>1
C. y=−1+lg2xx>0D. y=lg2x+1x>−1

3. 如果 y=−1−x2 的反函数是 y=−1−x2，那么原来的函数的定义域是
A. 0,+∞B. −1,1C. −1,0D. 0,1

4. 函数 y=fx 与它的反函数 y=f−1x 的图象
A. 关于 y 轴对称B. 关于原点对称
C. 关于直线 x+y=0 对称D. 关于直线 x−y=0 对称

5. 下列各图中，能成为某个有反函数的函数 y=fx 的图象的是
A. B.
C. D.

6. 函数 y=2x 的反函数的图象经过点
A. 1,3B. 0,1C. 3,1D. 1,0

7. 如果函数 y=fx 的图象过点 0,1，那么函数 y=f−1x+2 的反函数的图象过点
A. 3,0B. 0,3C. 1,2D. 2,1

8. 如果函数 y=fx 的图象与函数 y=2x−1 的图象关于直线 y=x 对称，那么 fx 的解析式是
A. y=lg2x+1B. y=lg2x+1
C. y=lg2x−1D. y=lg2x−1

9. 已知 fx 的图象经过点 2,3，fx 的反函数为 f−1x，则 f−1x−2 的图象必经过点
A. 3,2B. 1,2C. 5,2D. 4,3

10. 若函数 y=fx 是函数 y=ax（a>0，且 a≠1）的反函数，且 f2=1，则 fx=
A. lg2xB. 12xC. lg12xD. 2x−2

11. 若函数 y=fx 存在反函数，则方程 fx=0
A. 有且只有一个实数根B. 至少有一个实数根
C. 至多有一个实数根D. 没有实数根

12. 若函数 y=f(x) 的反函数图像过点 (1,5) ，则函数 y=f(x) 的图像必过点
A. (1,1)B. (1,5)C. (5,1)D. (5,5)

13. 已知函数 y=fx 是函数 y=0.5x−1 的反函数，则 f3 的值为
A. 2B. −2C. −1D. 1

14. 已知函数 fx=12x，则函数 fx+1 的反函数的图象可能是
A. B.
C. D.

15. 已知函数 y=fx 的反函数是 f−1x=2+lga1−xa>0,a≠1 ，则函数 y=fx 的图像必过定点
A. 0,−2B. −2,0C. 0,2D. 2,0

16. 函数 y=3x−1≤x<0 的反函数是
A. y=lg13xx>0B. y=lg3xx>0
C. y=lg3x13≤x<1D. y=lg13x13≤x<1

17. 已知函数 y=2x 的反函数是 y=f−1x，则函数 y=f−11−x 的图象是图中的
A. B.
C. D.

18. 若函数 y=fx 是函数 y=axa>0,且a≠1 的反函数，且 f2=1，则 fx=
A. lg2xB. 12xC. lg12xD. 2x−2

19. 已知函数 y=ex 的图象与函数 y=fx 的图象关于直线 y=x 对称，则
A. f2x=e2xx∈RB. f2x=ln2⋅lnxx>0
C. f2x=2exx∈RD. f2x=lnx+ln2x>0

20. 在 P1,1，Q1,2，M2,3 和 N12,14 四点中，函数 y=ax 的图象与其反函数的公共点可能是点
A. PB. QC. MD. N

21. 函数 y=ax（a>0，且 a≠1）的反函数的图象过点 a,a，则 a 的值为
A. 2B. 12C. 2 或 12D. 3

22. 已知 fx 是 R 上的奇函数，且当 x>0 时，fx=12x+1，则 fx 的反函数的图象大致是
A. B.
C. D.

23. 使得 arcsinx>arccsx 成立的 x 的取值范围是
A. 0,22B. 22,1C. −1,22D. −1,0

24. 将 y=2x 的图象 ，再作关于直线 y=x 对称的图象，可得到 y=lg2x+1 的图象．
A. 先向左平行移动 1 个单位B. 先向右平行移动 1 个单位
C. 先向上平行移动 1 个单位D. 先向下平行移动 1 个单位

25. 已知 x1 是方程 x+lnx=4 的根，x2 是方程 x+ex=4 的根，则 x1+x2 的值等于
A. 3B. 4C. 32D. 2

26. 若 y=f−1x 为函数 y=fx 的反函数，且 y=fx 的图象过点 (3,1) ，则 y=f−1lg2x 的图象必过点
A. (1,8)B. (8,1)C. (2,3)D. (3,2)

27. 在同一平面直角坐标系中，函数 y=fx 和 y=gx 的图象关于直线 y=x 对称．现将 y=gx 图象沿 x 轴向左平移 2 个单位，再沿 y 轴向上平移 1 个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示），则函数 fx 的表达式为
A. fx=2x+2,−1≤x≤0x2+2,0B. fx=2x−2,−1≤x≤0x2−2,0C. fx=2x−2,1≤x≤2x2+1,2D. fx=2x−6,1≤x≤2x2−3,2
28. 已知 a>1，则函数 fx=lgax 的图象与其反函数 y=f−1x 的图象
A. 不可能有公共点B. 不可能只有一个公共点
C. 最多只有一个公共点D. 最多只有两个公共点

29. 给出下列三个命题：
①函数 y=12ln1−csx1+csx 与 y=lntanx2 是同一函数；
②若函数 y=fx 与 y=gx 的图象关于直线 y=x 对称，则函数 y=f2x 与 y=12gx 的图象也关于直线 y=x 对称；
③若奇函数 fx 对定义域内任意 x 都有 fx=f2−x，则 fx 为周期函数．
其中真命题是
A. ①②B. ①③C. ②③D. ②

30. 设点 P 在曲线 y=12ex 上，点 Q 在曲线 y=ln2x 上，则 ∣PQ∣ 的最小值为
A. 1−ln2B. 21−ln2C. 1+ln2D. 21+ln2
答案
第一部分
1. D【解析】因为同底数的指数函数与对数函数互为反函数，
所以函数 y=3x 与 y=lg3x 互为反函数，
所以它们的图象关于直线 y=x 对称．
2. C【解析】由 y=2x+1 解出 x=lg2y−1，其中 y>0，则原函数的反函数为 y=lg2x−1，x>0．
3. C
4. D
5. D
【解析】在A，B，C选项的函数图象中，当 y 取某些值时，自变量有不只一个值与之相对应，故这些函数没有反函数．本题正确选项为D．
6. D
7. D
8. B
9. C
10. A
【解析】函数 y=ax（a>0，且 a≠1）的反函数是 fx=lgax（a>0，且 a≠1），又 f2=1，即 lga2=1，所以 a=2，故 fx=lg2x．
11. C
12. C
13. B【解析】（方法一）由 y=0.5x−1，得 y+1=0.5x，
所以 x=lg0.5y+1，
所以函数 y=0.5x−1 的反函数是 y=fx=lg0.5x+1x>−1，
所以 f3=lg0.53+1=−2．
（方法二）利用反函数与原函数定义域、值域关系得 3=0.5x−1，所以 4=0.5x，所以 x=−2，
即 f3=−2．
14. D【解析】函数 fx=12x 的图象恒过点 0,1，则函数 fx+1 的图象恒过点 −1,1，则其反函数的图象恒过点 1,−1．而选项A，B，C中的图象明显不过点 1,−1，故排除．所以正确选项为D．
15. D
16. C【解析】由 y=3x−1≤x<0 得反函数是 y=lg3x13≤x<1，故选C．
17. C
18. A
19. D【解析】由 y=ex 得 fx=lnx，
所以 f2x=ln2x=ln2+lnxx>0．
20. D
【解析】在验证时可以不动函数解析式，只需把点的坐标对调即可，
点 P，Q 显然是不可能的，
因为 lga1=0，不可能得到 1 或 2，
下面验证 N 点正确，
设 N12,14 在 y=ax 图象上，
所以 14=a12⇒1412=a1212，
所以 12=a14，即 14=lga12，
说明 12,14 在 y=lgax 的图象上，
所以 N 为公共点．
所以选D．
21. B
22. A【解析】当 x<0 时，−x>0，
所以 f−x=12−x+1=2x+1．
又 fx 是奇函数，
所以 f−x=−fx，
所以当 x<0 时，fx=−2x−1，即 fx=12x+1,x>0,−2x−1,x<0,
fx 的图象如图所示．
由函数及其反函数图象之间的关系可知其反函数的图象应为A．
23. B
24. D【解析】易求得函数 y=lg2x+1 的反函数是 y=2x−1．所以只须把 y=2x 的图象向下平移一个单位，即可得 y=2x−1 的图象．
25. B
26. C
27. A【解析】提示：因为所给图象是由两条线段组成的，所以可以用其端点进行变换求解．取点 −2,0，0,1，1,3，先将其沿 x 轴向右平移 2 个单位，再沿 y 轴向下平移 1 个单位，最后关于直线 y=x 对称，得 −1,0，0,2，2,3，它们都是函数 fx 图象上的点．
28. D
29. C【解析】①中的两个函数的定义域不同，故此项错误；
②中的两个函数 y=fx 和函数 y=gx 互为反函数，则可判断函数 y=f2x 和函数 y=12gx 也互为反函数，故此项正确；
③中可得 fx=fx+4，故可判断函数 fx 是周期为 4 的周期函数，故此项正确．
30. B
【解析】由于函数 y=12ex 与 y=ln2x 互为反函数，其图象关于直线 y=x 对称，
故 ∣PQ∣ 的最小值可转化为 y=12ex 图象上点 P 到直线 y=x 距离最小值的 2 倍，
设与 y=x 平行的直线与 y=12ex 相切时切点为 Px0,y0，由导数的几何意义可得
f′x0=12ex0=1,
解得 x0=ln2，代入得
y0=12eln2=1,
故 Pln2,1，此时点 P 到直线 y=x 距离最小，因此
∣PQ∣min=221−ln2×2=21−ln2.