【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：利用导数求函数的切线方程

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：利用导数求函数的切线方程，共9页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共30小题；共150分）
1. 已知直线 y=kx 是 y=lnx 的切线，则 k 的值为
A. 12B. −12C. 1eD. −1e

2. 函数 fx=−2x+lnx 的图象在 x=1 处的切线方程为
A. x+y+1=0B. x−y+1=0C. 2x−y+1=0D. 2x+y−1=0

3. 曲线 y=13x3−2x+3 在点 1,43 处的切线的倾斜角 α 为
A. π4B. π3C. 2π3D. 3π4

4. 曲线 y=x4+ax2+1 在点 −1,a+2 处的切线斜率为 8，则实数 a 的值为
A. −6B. 6C. 12D. −12

5. 过原点作曲线 y=lnx 的切线，则切线的斜率为
A. eB. 1eC. 1D. 1e2

6. 若曲线 y=ax2 在 x=a 处的切线与直线 2x−y−1=0 平行，则 a=
A. −1B. 1C. −1 或 1D. −12 或 1

7. 设 limΔx→0f2+Δx−f2−ΔxΔx=−2，则曲线 y=fx 在点 2,f2 处的切线的倾斜角是
A. π4B. π3C. 3π4D. 2π3

8. 若曲线 y=x−12 在点 m,m−12 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18，则 m=
A. 64B. 32C. 16D. 8

9. 已知直线 y=x+1 与曲线 y=lnx+a 相切，则 a 的值为
A. 1B. 2C. −1D. −2

10. 以正弦曲线 y=sinx 上一点 P 为切点作切线 l，则切线 l 的倾斜角的范围是
A. 0,π4∪3π4,πB. 0,π
C. π4,3π4D. 0,π4∪π2,3π4

11. 设函数 fx 是 R 上以 5 为周期的可导偶函数，则曲线 y=fx 在 x=5 处的切线的斜率为
A. −15B. 0C. 15D. 5

12. 若曲线 y=x2+ax+b 在点 0,b 处的切线方程是 x+y+1=0，则
A. a=1，b=1B. a=−1，b=1
C. a=1，b=−1D. a=−1，b=−1

13. 若曲线 y=hx 在点 Pa,ha 处的切线方程为 2x+y+1=0，则
A. hʹa=0B. hʹa<0
C. hʹa>0D. hʹa 不存在

14. 函数 y=ex（e 是自然对数的底数）在点 0,1 处的切线方程是
A. y=x−1B. y=x+1C. y=−x−1D. y=−x+1

15. 若函数 fx=exsinx，则此函数图象在点 4,f4 处的切线的倾斜角为
A. π2B. 0C. 钝角D. 锐角

16. 设 a 为实数，函数 fx=x3+ax2+a−2x 的导函数是 fʹx，且 fʹx 是偶函数，则曲线 y=fx 在原点处的切线方程为
A. y=−2xB. y=3xC. y=−3xD. y=−4x

17. 已知点 P 在曲线 y=4ex+1 上，α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 α 的取值范围是
A. 0,π4B. π4,π2C. π2,3π4D. 3π4,π

18. 设函数 fx=2sinx−a−3cs2x+ax．若 fx 为奇函数，则曲线 y=fx 在点 0,0 处的切线方程为
A. y=3xB. y=5xC. y=−5xD. y=−3x

19. 已知函数 fx=x2−m⋅ex，若函数 fx 的图象在 x=1 处的切线斜率为 3e，则 fx 的极大值是
A. 4e−2B. 4e2C. e−2D. e2

20. 若曲线 fx=x2+ax+b 在点 1,1 处的切线方程为 3x−y−2=0，则
A. a=−1，b=1B. a=1，b=−1C. a=−2，b=1D. a=2，b=−1

21. 设曲线 fx=aex−lnxa≠0 在 x=1 处的切线为 l，则 l 在 y 轴上的截距为
A. 1B. 2C. aeD. ae−1

22. 函数 fx=x3+x−2 的图象在点 P 处的切线平行于直线 y=4x−1，则 P 点的坐标为
A. 1,0B. 2,8
C. 1,0 或 −1,−4D. 2,8 或 −1,−4

23. 设 a∈R，函数 fx=ex+a⋅e−x 为奇函数，曲线 y=fx 的一条切线的切点的纵坐标是 0，则该切线方程为
A. 2x−y=0B. 2x+y=0C. 4x−y=0D. 4x+y=0

24. 以正弦函数 y=sinx 上一点 P 为切点的切线为直线 l，则直线 l 的倾斜角的范围是
A. 0,π4∪3π4,πB. 0,π
C. π4,3π4D. 0,π4∪π2,3π4

25. 若函数 fx=ax2+1 图象上点 1,f1 处的切线平行于直线 y=2x+1，则 a=
A. −1B. 0C. 14D. 1

26. 过点 P2,−6 作曲线 fx=x3−3x 的切线，则切线方程为
A. 3x+y=0 或 24x−y−54=0B. 3x−y=0 或 24x−y−54=0
C. 3x+y=0 或 24x−y+54=0D. 24x−y−54=0

27. 设函数 fx=x3+ax2，若曲线 y=fx 在点 Px0,fx0 处的切线方程为 x+y=0，则点 P 的坐标为
A. 0,0B. 1,−1
C. −1,1D. 1,−1 或 −1,1

28. 已知函数 fx=ax2+bxa>0,b>0 的图象在点 1,f1 处的切线的斜率为 2，则 8a+bab 的最小值是
A. 10B. 9C. 8D. 32

29. 在区间 −63,63 内任取一个 x0，若抛物线 y=x2 在 x=x0 处的切线的倾斜角为 β，则 β∈π3,2π3 的概率为
A. 1112B. 56C. 34D. 23

30. 若以曲线 y=fx 上任意一点 Mx1,y1 为切点作切线 l1，曲线上总存在异于 M 的点 Nx2,y2，以点 N 为切点作切线 l2，且 l1∥l2，则称曲线 y=fx 具有“可平行性”．现有下列命题：
① 函数 y=x2+lnx−4x+4 的图象具有“可平行性”；
② 定义在 −∞,0∪0,+∞ 的奇函数 y=fx 的图象具有“可平行性”；
③ 三次函数 fx=x3−x2+ax+b 的图象具有“可平行性”，且对应的两个切点 Mx1,y1，Nx2,y2 的横坐标满足 x1+x2=23；
④ 要使分段函数 fx=x+1x,x>m且m>0ex−1,x<0 的图象具有“可平行性”，则 m=1．
其中真命题的个数为
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案
第一部分
1. C【解析】因为 yʹ=1x=k，所以 x=1k，所以切点坐标为 1k,1．
又切点在曲线 y=lnx 上，所以 ln1k=1，所以 1k=e，k=1e．
2. A【解析】当 x=1 时，f1=−2+0=−2，所以切点坐标为 1,−2．
由题意得 fʹx=−2+1x，
所以函数 fx 的图象在 x=1 处的切线的斜率 k=fʹ1=−2+11=−1，
所以切线方程为 y+2=−1⋅x−1，即 x+y+1=0．
3. D【解析】由 y=13x3−2x+3，得 yʹ=x2−2，
所以曲线在点 1,43 处的切线的斜率为 12−2=−1，
即 tanα=−1，又 α∈0,π，
所以 α=3π4．
4. A【解析】由 y=x4+ax2+1，得 yʹ=4x3+2ax，
则曲线 y=x4+ax2+1 在点 −1,a+2 处的切线斜率为 −4−2a=8，得 a=−6．
5. B
【解析】设切点坐标为 m,n，
由 y=lnx，得 y=1x，所以切线的斜率为 1m，
所以切线方程为 y−n=1mx−m，
因为切线过原点，所以 0−n=1m0−m，得 n=1，
因为切点 m,n 在曲线 y=lnx 上，所以 n=lnm，解得 m=e，
所以切线的斜率为 1e，
故选：B．
6. A【解析】yʹ=2ax，于是切线的斜率 k=yʹ∣x=a=2a2，
因为切线与直线 2x−y−1=0 平行，
所以 2a2=2，
所以 a=±1
a=1 时，y=x2，切点是 1,1，
切线的斜率 k=2，
故切线方程是：y−1=2x−1，
即 2x−y−1=0 和直线 2x−y−1=0 重合，
故 a=−1．
7. C【解析】因为 limΔx→0f2+Δx−f2−ΔxΔx=2fʹ2=−2，
所以 fʹ2=−1，则曲线 y=fx 在点 2,f2 处的切线斜率为 −1，
故所求切线的倾斜角为 3π4．
8. A【解析】因为 yʹ=−12x−32，
所以曲线 y=x−12 在点 m,m−12 处的切线方程为 y−m−12=−12⋅m−32x−m，
令 x=0，得 y=32m−12，
令 y=0，得 x=3m，
由题意可得，12×32m−12×3m=18，
解得 m=64．
9. B【解析】设切点为 Px0,y0，
则 y0=x0+1，
y0=lnx0+a，
因为 yʹ∣x=x0=1x0+a=1，
所以 x0+a=1，
所以 y0=lnx0+a=0，
所以 x0=y0−1=−1．
所以 a=1−x0=2．
10. A
【解析】因为 y=sinx，所以 yʹ=csx
因为 csx∈−1,1，所以切线斜率的范围是 −1,1，
所以倾斜角的范围是 0,π4∪3π4,π．
11. B【解析】由题设可知 fx+5=fx，
所以 fʹx+5=fʹx，
所以 fʹ5=fʹ0，
又 f−x=fx，
所以 fʹ−x−1=fʹx，
即 fʹ−x=−fʹx，
所以 fʹ0=0，
所以 fʹ5=fʹ0=0．
12. D【解析】将 0,b 代入切线方程可得 0+b+1=0，
所以 b=−1，yʹ=limΔx→0ΔyΔx=2x+a，
所以当 x=0 时，yʹ=a=−1．
13. B【解析】由 2x+y+1=0，得 y=−2x−1，由导数的几何意义知，hʹa=−2<0．
14. B【解析】由题意，yʹ=ex，
当 x=0 时，yʹ=1，
所以函数 y=ex（e 是自然对数的底数）在点 0,1 处的切线方程是 y−1=x−0，
即 y=x+1．
15. C
【解析】因为 fx=exsinx，
所以 fʹx=exsinx+excsx=exsinx+csx，
所以 fʹ4=e4sin4+cs4．
因为 π<4<3π2，
所以 sin4<0，cs4<0，
所以 fʹ4<0．
由导数的几何意义，知此函数图象在点 4,f4 处的切线的倾斜角为钝角．
16. A【解析】因为 fx=x3+ax2+a−2x，
所以 fʹx=3x2+2ax+a−2，
又 fʹx 是偶函数，
所以 2a=0，即 a=0，
所以 fʹx=3x2−2，则 fʹ0=−2，
所以曲线 y=fx 在原点处的切线方程为 y=−2x．
17. D【解析】因为 y=4ex+1，
所以 yʹ=−4exex+12=−4exex2+2ex+1=−4ex+1ex+2．
因为 ex+1ex≥2（当且仅当 ex=1ex，即 x=0 时，等号成立），
所以 ex+1ex+2≥4，
所以 yʹ∈−1,0，
即 tanα∈−1,0，又 α∈0,π，
所以 α∈3π4,π．
18. B【解析】因为 fx 为奇函数，且其定义域为 R，
故 f0=−a−3=0，解得 a=3．
故 fx=2sinx+3x，fʹx=2csx+3，
则 fʹ0=5，
故过点 0,0 处的切线方程为 y=5x．
19. A【解析】因为函数 fx=x2−m⋅ex，
所以 fʹx=exx2−m+2x，
由函数 fx 的图象在 x=1 处的切线斜率为 3e，
得 fʹ1=e1−m+2=e3−m=3e，
所以 m=0．
则 fʹx=exx2+2x=exx+2x，
因为 ex>0，
所以函数 fx 在 −∞,−2 上单调递增，在 −2,0 上单调递减，在 0,+∞ 上单调递增，
所以函数 fx 的极大值为 f−2=4e−2．
20. B
【解析】由题意得
fʹ1=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→01+△x2+a1+△x+b−1−a−b△x=limΔx→0Δx2+2△x+a△x△x=2+a
因为曲线 fx=x2+ax+b 在点 1,1 处的切线方程为 3x−y−2=0，
所以 2+a=3，解得 a=1，
又因为点 1,1 在曲线 y=x2+ax+b 上，
所以 1+a+b=1，
解得 b=−1，
所以 a=1，b=−1．
21. A【解析】因为函数 fx=aex−lnxa≠0，
所以 fʹx=aex−1x，
将 x=1 代入，得 k=ae−1，
又 f1=ae，
所以曲线 fx 在 x=1 处的切线 l 的方程为 y−ae=ae−1x−1，
整理得 y=ae−1x+1，
令 x=0，得 y=1．
所以 l 在 y 轴上的截距为 1．
22. C【解析】fʹx=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0x+Δx3+x+Δx−2−x3−x+2Δx=3x2+1.
设 Px0,y0，则 fʹx0=3x02+1=4，
所以 x0=±1，
当 x0=1 时，fx0=0，
当 x0=−1 时，fx0=−4，
因此 P 点的坐标为 1,0 或 −1,−4．
23. A【解析】因为函数 fx=ex+a⋅e−x 为奇函数，
所以 f−x=−fx 对一切 x∈R 恒成立，
所以 e−x+a⋅ex=−ex−a⋅e−x 对一切 x∈R 恒成立，
即 a+1ex+e−x=0 对一切 x∈R 恒成立，
所以 a+1=0，解得 a=−1，
因此 fx=ex−e−x，
故 fʹx=ex+e−x，
由曲线 y=fx 的一条切线的切点的纵坐标是 0，
得 fx=ex−e−x=0，解得 x=0．
所以曲线 y=fx 的这条切线的切点的坐标为 0,0，
切线的斜率为 fʹ0=e0+e0=2，
故曲线 y=fx 的这条切线方程为 y−0=2x−0，即 2x−y=0．
24. A【解析】因为 y=sinx，
所以 yʹ=csx，
因为 csx∈−1,1，
所以切线斜率的范围是 −1,1，
所以倾斜角的范围是 0,π4∪3π4,π．
25. D
【解析】因为 fʹx=2ax，函数 fx 在点 1,f1 处的切线与直线 y=2x+1 平行，所以 fʹ1=2a=2，解得 a=1．
26. A【解析】设切点为 m,m3−3m，
fx=x3−3x 的导数为 fʹx=3x2−3，则切线斜率 k=3m2−3，
由点斜式方程可得切线方程为 y−m3+3m=3m2−3x−m，
将点 P2,−6 代入可得 −6−m3+3m=3m2−32−m，
解得 m=0 或 m=3．
当 m=0 时，切线方程为 3x+y=0；当 m=3 时，切线方程为 24x−y−54=0．
27. D
28. B【解析】由题意知 fʹx=2ax+b，
又 fx=ax2+bxa>0,b>0 在点 1,f1 处的切线的斜率为 2，
所以 fʹ1=2a+b=2，
所以 a+b2=1，
所以
8a+bab=8b+1a=a+b2⋅8b+1a=8ab+b2a+5≥28ab⋅b2a+5=9,
当且仅当 a=13,b=43 时“=”成立，
所以 8a+bab 的最小值是 9．
29. A【解析】当 β∈π3,2π3 时，切线的斜率 k≥3 或 k≤−3，又 y=x2 的导函数 yʹ=2x，
所以 x0≥32 或 x0≤−32，故所求概率 P=2×63−32123=1112．
30. A
【解析】① 函数 y=x2+lnx−4x+4，则 yʹ=2x−2+1x=2x2−4x+1xx>0，方程 2x2−4x+1x=k，即 2x2−4+kx+1=0，当 k=−4±22 时有两个相等的正根，故此时函数 y=x2+lnx−4x+4 的图象不具有“可平行性”．
② 如 y=x，x∈−∞,0∪0,+∞ 在各点处没有切线，所以 ② 错误．
③ 三次函数 fx=x3−x2+ax+b，则 fʹx=3x2−2x+a，令 fʹx=k，则方程 3x2−2x+a−k=0 在判别式 Δ=−22−12a−k≤0 时不满足方程 fʹx=k 至少有两个根，所以 ③ 错误．
④ 函数 y=ex−1x<0，yʹ=ex∈0,1，函数 y=x+1xx>m，yʹ=1−1x2x>m，则由 1−1x2∈0,1，得到 1x2∈0,1，所以 x>1，所以 m=1，故要使分段函数 fx 的图象具有“可平行性”，则 m=1，④ 正确．