【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：二项式定理

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：二项式定理，共8页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共26小题；共130分）
1. a+b2nn∈N+ 的展开式的项数是
A. 2nB. 2n+1C. 2n−1D. 2n+1

2. 已知 1+xa−x6=a0+a1x+⋯+a7x7，若 a0+a1+⋯+a7=0，则 a3=
A. −5B. −20C. 15D. 35

3. x+1⋅2x−1x5 的展开式的常数项为
A. −40B. 40C. −80D. 80

4. 1−2x7x 的展开式中 x2 的系数为
A. −84B. 84C. −280D. 280

5. 已知 a=lg23⋅lg34，则 ax+1x24 的展开式中的常数项为
A. 15B. 60C. 120D. 240

6. 在 2x−1x5 的展开式中，x 的系数为
A. 32B. −40C. −80D. 80

7. 在 x22−1x6 的二项展开式中含 x2 项的系数为
A. 152B. 154C. −152D. −154

8. x−23x5 的展开式中的常数项为
A. −40B. −80C. 40D. 80

9. 1+x2nn∈N+ 的展开式中，系数最大的项是
A. 第 n2+1 项B. 第 n 项
C. 第 n+1 项D. 第 n 项与第 n+1 项

10. 设 S=x−13+3x−12+3x−1+1，则 S 等于
A. x−13B. x−23C. x3D. x+13

11. 二项式 x−2xn 的展开式中，第 3 项的二项式系数比第 2 项的二项式系数大 9，则该展开式中的常数项为
A. −160B. −80C. 80D. 160

12. 如图，在杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和依次排成一列数，则该列数的第 10 项为
A. 55B. 89C. 120D. 144

13. x2−2x5 的展开式中，含 x 项的系数为
A. 60B. −60C. −80D. 80

14. 若 3−2x3=a0+a1x+a2x2+a3x3，则 a1−a2+a3 等于
A. 98B. 28C. 26D. −98

15. x2−2x−32x−16 的展开式中，x3 的系数为
A. 348B. 88C. −232D. −612

16. 若 x−1xnn∈N+ 的展开式的第 m 项为常数项，则 m，n 应满足
A. 2n=3m−1B. 2n=3m
C. 2n=3m+1D. 2n=m

17. x2+2x5 的展开式中 x4 的系数为
A. 10B. 20C. 40D. 80

18. x+3x12 的展开式中，含 x 的正整数次幂的项共有
A. 4 项B. 3 项C. 2 项D. 1 项

19. 1.957 的计算结果精确到个位的近似值为
A. 106B. 107C. 108D. 109

20. 1−90C101+902C102−903C103+⋯+9010C1010 除以 88 的余数是
A. 2B. 1C. 86D. 87

21. 1+1x21+x6 展开式中 x2 的系数为
A. 15B. 20C. 30D. 35

22. 1+2x21+x4 的展开式中 x3 的系数为
A. 12B. 16C. 20D. 24

23. 设 a∈Z，且 0≤a≤13，若 512020+a 能被 13 整除，则 a=
A. 0B. 1C. 11D. 12

24. x2−x+2x6 的展开式中，x6 的系数为
A. 240B. 241C. −239D. −240

25. 已知 ax+b6 的展开式中 x4 项的系数与 x5 项的系数分别为 135 与 −18，则 ax+b6 的展开式中所有项系数之和为
A. −1B. 1C. 32D. 64

26. 若 x6+1xxn 的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于
A. 3B. 4C. 5D. 6

二、选择题（共4小题；共20分）
27. 若 2x−110=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，x∈R，则
A. a2=180
B. a0+a1+a2+⋯+a10=310
C. a1+a2+⋯+a10=1
D. a12+a222+a323+⋯+a10210=−1

28. 在 1−x2017 的展开式中，有下列四个命题，其中为真命题的是
A. 非常数项系数的绝对值的和是 1
B. 系数最大的项是第 1009 项
C. 偶数项的系数和是 22016
D. 当 x=2018 时，1−x2017 除以 2018 的余数为 1

29. 若 2x−110=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，x∈R，则
A. a2=180
B. ∣a0∣+∣a1∣+∣a2∣+⋯+∣a10∣=310
C. a1+a2+⋯+a10=1
D. a12+a222+a323+⋯+a10210=−1

30. 已知 ax2+1xna>0 的展开式中第 5 项与第 7 项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为 1024，则下列说法正确的是
A. 展开式中奇数项的二项式系数的和为 256
B. 展开式中第 6 项的系数最大
C. 展开式中存在常数项
D. 展开式中含 x15 项的系数为 45
答案
第一部分
1. B【解析】根据二项式定理可知，展开式共有 2n+1 项．
2. A【解析】由题意，令 x=1，
可得 a0+a1+⋯+a7=1+1a−16=2×a−16=0，
解得 a=1，
所以 1+xa−x6=1+x1−x6=1−x6+x×1−x6，
所以展开式中 x3 的系数为 C63−13+C62−12=−20+15=−5，
故选A．
3. A【解析】2x−1x5 的展开式的通项为 Tr+1=C5r2x5−r−1xr=−1r25−rC5rx5−2r，
令 5−2r=−1，得 r=3，
令 5−2r=0，得 r=52（舍去），
所以 x+12x−1x5 的展开式的常数项为 −13×22×C53=−40．
4. C【解析】易得 1−2x7 的展开式的通项为 Tk+1=−2kC7kxk，则 1−2x7x 的展开式的通项为 −2kC7kxk−1，令 k−1=2，得 k=3，
所以 x2 的系数为 −23C73=−280．选C．
5. D
【解析】已知 a=lg23⋅lg34=lg3lg2⋅lg4lg3=lg24=2，
则 ax+1x26=2x+1x26 的展开式的通项公式为 Tr+1=C6r⋅26−r⋅x6−3r，
令 6−3r=0，求得 r=2，
可得展开式中的常数项为 C62⋅24=240．
6. C【解析】2x−1x5 的展开式的通项为 Tr+1=C5r⋅2x5−r⋅−1xr=−1r⋅25−r⋅C5r⋅x5−3r2，令 5−3r2=1，得 r=1．
所以 x 的系数为 −24×C51=−80．
7. B【解析】 Tr+1=C6r126−r⋅x12−2r⋅−1r⋅x−12r=−1r⋅126−r⋅C6rx12−52r,
令 12−52r=2，解得 r=4，
∴ 含 x2 项的系数为 −14122C64=154．
8. B【解析】Tr+1=C5rx125−r−2rx−13r=−2rC5rx5−r2−r3，
令 5−r2−r3=0，解得 r=3．
所以常数项为 −23C53=−80．
9. C【解析】在 1+x2nn∈N+ 的展开式中，第 r+1r∈N 项的系数与该项的二项式系数相同，易知该式的展开式共有 2n+1 项，所以第 n+1 项的系数最大．
10. C
【解析】S=x−13+3x−12+3x−1+1=C30x−13+C31x−12+C32x−1+C33=x−1+13=x3.
11. A【解析】由题知第 3 项的二项式系数比第 2 项的二项式系数大 9，即 Cn2−Cn1=9，n≥2，n∈N+，解得 n=6．二项式 x−2x6 的展开式二的通项为 Tr+1=C6rx6−r−2xr=−2rC6rx6−2r，令 6−2r=0，解得 r=3．当 r=3 时，取得常数项 T4=−23C63=−160．故选A．
12. A【解析】设这列数为 a1，a2，a3，⋯，
由题意，可知 a1=1，a2=1，a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+3=5，a6=3+5=8，a7=5+8=13，a8=8+13=21，a9=13+21=34，a10=21+34=55，故选A．
13. C【解析】x2−2x5 的展开式为 Tk+1=C5kx25−k−2xk=−2kC5kx10−3k．
令 10−3k=1，得 k=3，
所以含 x 项的系数为 −23C53=−80．
14. D【解析】当 x=0 时，a0=27；当 x=−1 时，a0−a1+a2−a3=53=125，
所以 a1−a2+a3=27−125=−98．
15. A
【解析】x2−2x−32x−16=x22x−16−2x2x−16−32x−16=x21−2x6−2x1−2x6−31−2x6.
所以结合二项式定理可知 x3 的系数为
C61×−21+−2×C62×−22+−3×C63×−23=−12−120+24×20=348.
16. A【解析】由题意，x−1xnn∈N+ 的展开式的第 m 项为 Tm=Cnm−1xn−m−1−1m−1⋅x−12m−1=−1m−1Cnm−1xn−32m+32m=1,2,⋯,n,n+1,
由第 m 项为常数项，可得 n−32m+32=0 ，
所以 m，n 应满足 2n=3m−1，故选A．
17. C【解析】由题可得 x2+2x5 的展开式的通式为 Tr+1=C5rx25−r2xr=C5r⋅2r⋅x10−3r，
令 10−3r=4，得 r=2，
所以展开式中 x4 的系数为 C52×22=40．
故选C．
18. B【解析】因为 Tr+1=C12rx12−r3xr=C12rx6−r6．
当 r=0，6，12 时，x 为正整数次幂．
19. B【解析】因为 1.957=2−0.057=27−C71×26×0.05+C72×25×0.052−⋯−0.057≈107.21，
所以 1.957≈107．
20. B
【解析】1−90C101+902C102−903C103+⋯+9010C1010=1−9010=1+8810=1+88C101+882C102+883C103+⋯+8810C1010=1+88C101+88C102+882C103+⋯+889C1010,
所以 1−90C101+902C102−903C103+⋯+9010C1010 除以 88 的余数是 1．
21. C【解析】1+1x21+x6 展开式中：
若 1+1x2=1+x−2 提供常数项 1，则 1+x6 提供含有 x2 的项，可得展开式中 x2 的系数；
若 1+1x2 提供 x−2，则 1+x6 提供含有 x4 的项，可得展开式中 x2 的系数；
1+x6 展开式通项公式为 C6rxr．
可知当 r=2 时，展开式中 x2 的系数为 C62=15，
可知当 r=4 时，展开式中 x2 的系数为 C64=15，
所以 1+1x21+x6 展开式中 x2 的系数为：15+15=30．
22. A【解析】1+x4 的展开式的通项为 Tk+1=C4kxkk=0,1,2,3,4，故 1+2x21+x4 的展开式中 x3 的系数为 C43+2C41=12．故选A．
23. D【解析】将复杂的整除问题转化为二项式展开问题．
因为 51=52−1，
所以 512020=52−12020=522020−C20201522019+⋯−C20202019521+1，
又因为 52 能被 13 整除，
所以只需 1+a 能被 13 整除，
因为 a∈Z，0≤a≤13，
所以 a=12，故选D．
24. C【解析】由题意，令 x=t，求 t12 的系数即可，原式=t5−t3+26t6，即只需求出 t5−t3+26 中 t18 的系数即可，即 C66t50⋅−t36⋅C60⋅20+C41t53⋅−t31C62⋅22=−239，故 x6 的系数为 −239．
25. D
【解析】由二项展开式的通项公式可知 x4 项的系数为 C62a4b2，x5 项的系数为 C61a5b，则由题意可得 C62a4b2=135,C61a5b=−18, 解得 a+b=±2，故 ax+b6 的展开式中所有项的系数之和为 a+b6=64．
26. C【解析】x6+1xxn 的展开式的项为 Tr+1=Cnrx6n−r⋅ 1xxr=Cnrx6n−152r，由 6n−152r=0 得，n=54r，又 n 为正整数，所以当 r=4 时，n 的最小值为 5．
第二部分
27. A， B， D
【解析】因为 2x−110 的展开式的通项为 Tr+1=C10r2x10−r−1r，
所以 T9=C1082x2×−18=180x2，
所以 a2=180，故A正确．
因为 2x+110=a0+a1x+a2x2+⋯+a10⋅x10，
令 x=1，得 a0+a1+a2+⋯+a10=310，故B正确．
令 x=0，得 a0=1，令 x=1，得 a0+a1+a2+⋯+a10=1，
所以 a1+a2+⋯+a10=0，故C错误．
令 x=12，得 a0+a12+a222+a323+⋯+a10210=0，
所以 a12+a222+a323+⋯+a10210=−1，故D正确．
28. B， D
【解析】对于A，1−x2017 的展开式中，常数项为 1，令 x=−1，得所有项系数的绝对值的和为 1+12017=22017，所以展开式中非常数项系数的绝对值的和为 22017−1，所以A中命题是假命题；
对于B，展开式的通项公式为 Tr+1=C2017r⋅−xr=−1rC2017rxr（r=0,1,2,⋯,2017），所以系数最大的项是第 1009 项，所以B中命题是真命题；
对于C，令 x=1，得 1−12017=0，易知展开式中奇数项系数为正，偶数项系数为负，故展开式中偶数项的系数和是 −22016，所以C中命题是假命题；
对于D，当 x=2018 时，1−20182017=1−C20171×2018+C20172×20182−⋯−20182017，展开式中不含 2018 的项是 1，所以当 x=2018 时，1−x2017 除以 2018 的余数为 1，所以D中命题是真命题．
29. A， B， D
【解析】因为 2x−110=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，
且 2x−110 的展开式的通项 Tr+1=C10r2x10−r−1r，
所以 T3=C1082x2−18=180x2，
所以 a2=180，
故A正确．
因为 2x+110=∣a0∣+∣a1∣x+∣a2∣x2+⋯+∣a10∣x10，
令 x=1，得 ∣a0∣+∣a1∣+∣a2∣+⋯+∣a10∣=310，
故B正确．
令 x=0，得 a0=1，
令 x=1，得 a0+a1+a2+⋯+a10=1，
所以 a1+a2+⋯+a10=0，
故C错误．
令 x=12，得 a0+a12+a222+a323+⋯+a10210=0，
所以 a12+a222+a323+⋯+a10210=−1
故D正确．
故选ABD．
30. B， C， D
【解析】由展开式中第 5 项与第 7 项的二项式系数相等可知 n=10，又展开式的各项系数之和为 1024，即当 x=1 时，a+110=1024，所以 a=1（负值舍去），所以 ax2+1xn=x2+1x10=x2+x−1210，则二项式系数的和为 210=1024，奇数项的二项式系数的和为 12×1024=512，故A错误；
由 n=10 可知展开式共有 11 项，中间项的二项式系数最大，即第 6 项的二项式系数最大，因为 x2 与 x−12 的系数均为 1，所以该展开式的二项式系数与系数相同，所以第 6 项的系数最大，故B正确；
若展开式中存在常数项，由展开式的通项 Tr+1=C10rx210−rx−12r 可得 210−r−12r=0，解得 r=8，故C正确；
令 210−r−12r=15，解得 r=2，所以含 x15 项的系数为 C102=45，故D正确．