【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：二项式定理的通项

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一、选择题（共28小题；共140分）
1. x−1x16 的二项展开式中，第 4 项是
A. C162x12B. C163x10C. −C163x10D. C164x8

2. 在 a−b20 的二项展开式中，二项式系数与第 6 项的二项式系数相同的项是
A. 第 15 项B. 第 16 项C. 第 17 项D. 第 18 项

3. 32+x5 的展开式中系数为有理数的各项系数之和为
A. 1B. 20C. 21D. 31

4. 1+2x5 的展开式中，x2 的系数为
A. 10B. 20C. 25D. 40

5. 在 x−2x10 的二项展开式中，x6 的系数等于
A. −180B. −53C. 53D. 180

6. 设 a∈R，若 x2+2x9 与 x+ax29 的二项展开式中的常数项相等，则 a 等于
A. 4B. −4C. 2D. −2

7. 在 x−2x10 的二项展开式中，x6 的系数为
A. −180B. −53C. 53D. 180

8. 在 2x+a5（其中 a≠0）的展开式中，x2 的系数与 x3 的系数相同，则 a 的值为
A. ±12B. 12C. −2D. 2

9. 已知 1+ax1+x2 的展开式中 x2 的系数为 5，则 a 等于
A. 1B. 2C. −3D. 4

10. a+15 展开式中的第 2 项是
A. 5a3B. 10a3C. 5a4D. 10a4

11. x2+2x5 的展开式中 x4 的系数为
A. 10B. 20C. 40D. 80

12. x2−2x−32x−16 的展开式中，x3 的系数为
A. 348B. 88C. −232D. −612

13. 3x+32100 的展开式中，系数为有理数的共有
A. 50 项B. 17 项C. 16 项D. 15 项

14. 2x−31+1x6 的展开式中剔除常数项后的各项系数之和为
A. −55B. −61C. −63D. −73

15. 已知 Cn03n+Cn13n−1+Cn23n−2+⋯+Cnn−13+Cnn=212 则 n=
A. 8B. 6C. 4D. 2

16. 已知 bxn+1=a0+a1⋅x−1+a2x−12+⋯+anx−1n 对任意 x∈R 恒成立，且 a1=9，a2=36，则 b=
A. 1B. 2C. 3D. 4

17. 若 3x3+1xn 的展开式中含有常数项，则最小的正整数 n 等于
A. 4B. 5C. 6D. 7

18. 2x+x1−x4 的展开式中 x 的系数是
A. 1B. 2C. 3D. 12

19. 若 x+1xnn∈N+ 的展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为
A. 10B. 20C. 30D. 120

20. 在 x2−2x5 的二项展开式中，x7 的系数为
A. −10B. 10C. −5D. 5

21. 若 1−2x1+ax4 的展开式中 x2 的系数为 78，则整数 a 的值为
A. −3B. −2C. 2D. 3

22. 已知二项式 1+1x−2x4，则展开式中的常数项为
A. 49B. −47C. −1D. 1

23. 2x+16 的展开式中 x 的系数是
A. 120B. 60C. 30D. 15

24. x+y2xx+y5 的展开式中 x3y3 的系数为
A. 5B. 10C. 15D. 20

25. 设 a，b，m 为整数 m>0，若 a 和 b 被 m 除得的余数相同，则称 a 和 b 对模 m 同余，记为 a≡bmdm．若 a=C200+C201⋅2+C202⋅22+⋯+C2020⋅220，a≡bmd10，则 b 的值可以是
A. 2018B. 2019C. 2020D. 2021

26. x+y2x−y6 的展开式中 x4y3 的系数为
A. −80B. −40C. 40D. 80

27. 已知 xcsθ+15 的展开式中 x2 的系数与 x+544 的展开式中 x3 的系数相等，且 θ∈0,π，则 θ 等于
A. π4B. π4 或 3π4C. π3D. π3 或 2π3

28. 已知 1−x2nn∈N+ 的展开式中所有项的系数和等于 1256，则展开式中项的系数的最大值是
A. 72B. 358C. 7D. 70

二、选择题（共2小题；共10分）
29. 对于 1x2+x5nn∈N+，下列判断正确的是
A. 对任意 n∈N+，展开式中有常数项
B. 存在 n∈N+，展开式中有常数项
C. 对任意 n∈N+，展开式中不含 x 项
D. 存在 n∈N+，展开式中含 x 项

30. 已知 ax2+1xna>0 的展开式中第 5 项与第 7 项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为 1024，则下列说法正确的是
A. 展开式中奇数项的二项式系数的和为 256
B. 展开式中第 6 项的系数最大
C. 展开式中存在常数项
D. 展开式中含 x15 项的系数为 45
答案
第一部分
1. C【解析】展开式的通项为 Tr+1=C16r⋅x16−r⋅−1xr=−1r⋅C16r⋅x16−2r，
所以第 4 项为 T4=−13×C163x10=−C163x10．
2. B【解析】第 6 项的二项式系数为 C205，
又 C2015=C205，
所以第 6 项与第 16 项的二项式系数相同．
3. C【解析】因为 32+x5 展开式的通项为
Tk+1=C5k325−kxk=C5k25−k3xk，
因此，要使系数为有理数，只需 5−k3 为正整数，
又因为 0≤k≤5 且 k∈Z，所以 k=2,5，
因此系数为有理数的项为 C52323x2，x5，
故所求系数之和为 20+1=21．故选C．
4. D【解析】Tr+1=C5r2xr=C5r2rxr，
当 r=2 时，x2 的系数为 C52⋅22=40．
5. D
【解析】x−2x10 的二项展开式的通项公式为 Tk+1=C10k⋅−2k⋅x10−2k，
令 10−2k=6，求得 k=2，
可得 x6 的系数为 C102⋅−22=180．
6. A
7. D
8. D【解析】在 2x+a5（其中 a≠0）的展开式中，
通项 Tk+1=C5k2x5−kak，
因为 x2 的系数与 x3 的系数相同，
所以 C53⋅22⋅a3=C52⋅23⋅a2，
又因为 a≠0，
所以 a=2．
9. B
10. C
【解析】a+15 展开式中的第 2 项是 T2=C51a5−1=5a4．
故选：C．
11. C【解析】由题可得 Tr+1=C5rx25−r2xr=C5r⋅2r⋅x10−3r．
令 10−3r=4，则 r=2，所以 C5r⋅2r=C52×22=40．
12. A【解析】x2−2x−32x−16=x22x−16−2x2x−16−32x−16=x21−2x6−2x1−2x6−31−2x6.
所以结合二项式定理可知 x3 的系数为
C61×−21+−2×C62×−22+−3×C63×−23=−12−120+24×20=348.
13. B【解析】展开式的通项公式为 Tr+1=C100r3x100−r⋅32r=C100rx100−r⋅350−r2⋅213rr=0,1,2,⋯,100，
故 r 需为 6 的倍数，0∼100 内 6 的倍数共有 17 个．
14. D【解析】令 x=1，得 2x−31+1x6 的展开式中各项系数之和为 −26=−64，而常数项为 −3×C60+2×C61=9，
所以 2x−31+1x6 的展开式中剔除常数项后的各项系数之和为 −64−9=−73．
15. B
【解析】Cn03n+Cn13n−1+⋯+Cnn−13+Cnn=Cn03n10+Cn13n−111+⋯+Cnn−1311n−1+Cnn301n=3+1n=4n=212,，
即 22n=212，得 n=6．
16. A【解析】因为 bxn+1=a0+a1x−1+a2x−12+⋯+anx−1n，
所以 bxn+1=b1+x−1n+1=a0+a1x−1+a2x−12+⋯+anx−1n，
且 a1=9，a2=36，
可得 bCn1=9，bCn2=36，
解得 b=1，n=9．
17. D【解析】由二项展开式的通项公式可得 3x3+1xn 展开式的通项为 Tr+1=Cnr3x3n−r1xr=3n−rCnrx3n−72r，展开式中含有常数项，
则 3n−72r=0 有正整数解，满足题意的最小的正整数为 r=6，n=7，
故选D．
18. C
19. B【解析】因为 Cn0+Cn1+⋯+Cnn=2n=64，
所以 n=6，
所以该式为 x+1x6，其展开式的通项为 Tr+1=C6rx6−2r，
令 6−2r=0，得 r=3，
所以常数项为 T4=C63=20．
20. A
21. A【解析】1+ax4 的通项为 Tr+1=C4rarxr，
由题意得 1×C42×a2+−2×C41×a=78，即 3a2−4a−39=0，
解得 a=−3 或 a=133，
因为 a 为整数，
所以 a=−3，
故选A．
22. D【解析】因为
1+1x−2x4=1+1x−2x4=1+41x−2x+61x−2x2+41x−2x3+1x−2x4,
因为 1x−2x 和 1x−2x3 的展开式中没有常数项，
1x−2x2 的展开式中常数项是 −4，
1x−2x4 的展开式中常数项是 C42−22=24，
所以二项式 1+1x−2x4 展开式的常数项为 1+6×−4+24=1．
23. B【解析】由二项式 2x+16 的展开式的通项为 Tr+1=C6r2x6−r=26−rC6rx6−r2，令 6−r2=1，解得 r=4，则 2x+16 的展开式中 x 的系数是 22C64=60．
24. C【解析】因为 x+y2xx+y5=x2+y2x+y5x；
要求展开式中 x3y3 的系数即为求 x2+y2x+y5 展开式中 x4y3 的系数；
展开式含 x4y3 的项为：x2⋅C52x2⋅y3+y2⋅C54x4⋅y=15x4y3；
故 x+y2xx+y5 的展开式中 x3y3 的系数为 15；
故选：C．
25. D
【解析】a=C200+C201⋅2+C202⋅22+⋯+C2020⋅220=1+220=320=80+15,
它被 10 除所得余数为 1，又 a≡bmd10，所以 b 的值可以是 2021．
26. D【解析】2x−y6 的展开式的通项为 Tk+1=C6k2x6−k−yk，
当 k=2 时，T3=240x4y2；
当 k=3 时，T4=−160x3y3，
故 x4y3 的系数为 240−160=80．
27. B【解析】由二项式定理知 xcsθ+15 的展开式中 x2 的系数为 C53cs2θ，
x+544 的展开式中 x3 的系数为 C41×54，
所以 C53cs2θ=C41×54，解得 cs2θ=12，解得 csθ=±22，
又 θ∈0,π，
所以 θ=π4或3π4，故选B．
28. C【解析】令 x=1，得 1−12n=1256，
所以 n=8，
所以 1−x28 的展开式的通项公式为 Tr+1=C8r−x2rr=0,1,2,⋯,8，要使展开式中项的系数最大，则 r 必为偶数，
又 T1=C80−x20=1，T3=C82−x22=7x2，T5=C84−x24=358x4，T7=C86⋅−x26=716x6，T9=C88−x28=1256x8，
所以 T3 的系数最大．
第二部分
29. B， D
【解析】1x2+x5n 的展开式的通项为 Tr+1=Cnr⋅1x2n−r⋅x5r=Cnr⋅x7r−2n0≤r≤n,r∈N，
令 7r−2n=0，得 r=2n7，即当 n 是 7 的整数倍时，有常数项，故A错误，B正确；
令 7r−2n=1，取 r=1，n=3，此时展开式中含 x 项，故C错误，D正确．
30. B， C， D
【解析】由展开式中第 5 项与第 7 项的二项式系数相等可知 n=10，又展开式的各项系数之和为 1024，即当 x=1 时，a+110=1024，所以 a=1（负值舍去），所以 ax2+1xn=x2+1x10=x2+x−1210，则二项式系数的和为 210=1024，奇数项的二项式系数的和为 12×1024=512，故A错误；
由 n=10 可知展开式共有 11 项，中间项的二项式系数最大，即第 6 项的二项式系数最大，因为 x2 与 x−12 的系数均为 1，所以该展开式的二项式系数与系数相同，所以第 6 项的系数最大，故B正确；
若展开式中存在常数项，由展开式的通项 Tr+1=C10rx210−rx−12r 可得 210−r−12r=0，解得 r=8，故C正确；
令 210−r−12r=15，解得 r=2，所以含 x15 项的系数为 C102=45，故D正确．