【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：幂函数及其性质

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一、选择题（共28小题；共140分）
1. 如图的曲线是幂函数 y=xa 在第一象限的图象．已知 a 取 ±2，±12 四个值，则相应的曲线 C1，C2，C3，C4 的 a 依次为
A. −2，−12，12，2B. 2，12，−12，−2
C. −12，−2，2，12D. 2，12，−2，−12

2. 下列所给出的函数中，是幂函数的是
A. y=−x3B. y=x−3C. y=2x3D. y=x3−1

3. 下列所给出的函数中，是幂函数的是
A. y=−x3B. y=x−3C. y=2x3D. y=x3−1

4. 函数 fx=a−bxa3+b−3 是幂函数，则下列结论正确的是
A. fa>fbB. faC. fa=fbD. 以上都不对

5. 已知函数 fx=x12，若 0A. faB. f1aC. faD. f1a
6. 幂函数的图象过点 2,14，则它的单调递增区间是
A. 0,+∞B. 0,+∞C. −∞,0D. −∞,+∞

7. 下列四类函数中，具有性质“对任意的 x>0 ， y>0 ，函数 fx 满足 fx+y=fxfy ”的是
A. 幂函数B. 对数函数C. 指数函数D. 余弦函数

8. 三个变量 y1，y2，y3 随着变量 x 的变化情况如下表：
则关于 x 分别呈对数型函数，指数型函数，幂函数型函数变化的变量依次为
A. y1，y2，y3B. y2，y1，y3C. y3，y2，y1D. y1，y3，y2

9. 若函数 y=lgax−1+8 的图象恒过定点 A，且 A 在幂函数 fx 的图象上，则 f12=
A. 1B. 12C. 14D. 18

10. 如图所示，曲线是幂函数 y=xk 在第一象限内的图象，已知 k 分别取 −1，1，2，12 四个值，则相应图象依次为
A. C1，C2，C3，C4B. C3，C2，C1，C4C. C4，C2，C1，C3D. C2，C1，C3，C4

11. 已知 a∈−1,2,12,3,13，若 fx=xa 为奇函数，且在 0,+∞ 上单调递增，则实数 a 的值为
A. −1，3B. 13，3C. −1，13，3D. 13，12，3

12. 已知 a=0.93.1，b=lg3π，c=lg20.7，则 a，b，c 的大小关系是
A. b
13. 已知 a=0.80.7，b=0.80.9，c=1.20.8 则 a，b，c 的大小关系是
A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b

14. 已知 α∈−1,2,12,3,13，若 fx=xα 为奇函数，且在 0,+∞ 上单调递增，则实数 α 的值可能是
A. −1，3B. 13，3C. −1，13，3D. 13，12，3

15. 下列结论中，正确的是
A. 幂函数的图象都不经过第四象限
B. 幂函数 y=xa，当 a>0 时为严格增函数，当 a<0 时为严格减函数
C. 两个不同的幂函数的图象最多有三个交点，最少有 0 个交点
D. 若幂函数 y=xaa≠0 的图象关于 y 轴对称，则幂函数 y=x1a 的图象也关于 y 轴对称

16. 函数 y=x12−1 的图象关于 x 轴对称的图象大致是
A. B.
C. D.

17. 函数 fx=1−x−12+2x−10 的定义域是
A. −∞,1B. −∞,12∪12,1
C. −∞,1D. 12,1

18. 下列幂函数中过点 0,0，1,1 的偶函数是
A. y=x12B. y=x4C. y=x−2D. y=x13

19. 若幂函数 y=xm 是偶函数，且 x∈0,+∞ 时单调递减，则实数 m 的值可能为
A. −2B. 12C. −12D. 2

20. 已知幂函数 fx=xα（α 为常数）的图象过点 P2,12，则 fx 的单调递减区间是
A. −∞,0B. −∞,+∞
C. −∞,0∪0,+∞D. −∞,0,0,+∞

21. 已知幂函数 fx=xm2−2m−3m∈Z 的图象关于原点对称，且在 0,+∞ 上单调递减，则 m=
A. 0B. 0 或 2C. 1D. 2

22. 如果幂函数 y=m2−3m+3xm2−m−2 的图象不过原点，则 m 的取值范围为
A. −1≤m≤2B. m=−1 或 m=2
C. m=1D. m=1 或 m=2

23. a=1.212，b=0.9−12，c=1.112 的大小关系是
A. c
24. 函数 y=x13 的图象是
A. B.
C. D.

25. 下列函数是偶函数，且在 −∞,0 上单调递增的是
A. y=x12B. y=x2
C. y=x3D. y=−x,x≥0,x,x<0

26. 对于幂函数 fx=x45，若 0A. fx1+x22>fx1+fx22B. fx1+x22C. fx1+x22=fx1+fx22D. 无法确定

27. 已知幂函数 fx=m2−m−5xmm∈Z 在 0,+∞ 上单调递减，若 a=22−m6，b=22−1m，c=12−m，则下列不等关系正确的是
A. b
28. 若幂函数 y=fx 的图象过点 8,22，则函数 fx−1−f2x 的最大值为
A. 12B. −12C. −34D. −1

二、选择题（共2小题；共10分）
29. 已知幂函数 fx 的图象经过点 27,13，则幂函数 fx 具有的性质是
A. 在其定义域上为增函数B. 在 0,+∞ 上单调递减
C. 奇函数D. 定义域为 R

30. 若函数 fx 同时满足：①对于定义域上的任意 x，恒有 fx+f−x=0；②对于定义域上的任意 x1，x2，当 x1≠x2 时，恒有 fx1−fx2x1−x2<0，则称函数 fx 为“理想函数”．
下列函数中的“理想函数”有
A. fx=1xB. fx=x2
C. fx=−x2,x≥0,x2,x<0D. fx=−x13
答案
第一部分
1. C【解析】根据幂函数在第一象限内的图象可知，在点 1,1 右边，图象越高，指数 a 越大．故选C．
2. B【解析】根据定义可知，y=x−3 是幂函数，
故选B．
3. B【解析】幂函数的定义规定：y=xα（α 为常数）为幂函数．
所以A，C，D均不正确，B正确．
故选B．
4. A
5. C
6. C【解析】本题主要考查幂函数的解析式、单调性等知识，利用待定系数法求出幂函数的解析式，再由奇偶性判断单调递增区间．
设幂函数的解析式为 y=xa（a 为常数），
则 14=2a，解得 a=−2，
即函数的解析式为 y=x−2，并且是偶函数．
由于指数小于 0，则在 0,+∞ 上是减函数，在 −∞,0 上是增函数（偶函数在 y 轴两侧对称区间内的单调性相反），
故选C．
7. C
8. C
9. D【解析】令 x−1=1，解得 x=2，此时 y=8，故定点为 A2,8．
设幂函数的解析式是 fx=xα，则 8=2α，解得 α=3，
故 fx=x3，f12=18，
故选D．
10. C
11. B【解析】因为 fx 在 0,+∞ 上单调递增，所以 a>0，排除选项A，C；
当 a=12 时，fx=x12=x 为非奇非偶函数，不满足条件，排除D，故选B．
12. D【解析】a=0.93.1∈0,1，b=lg3π>lg33=1，c=lg20.7<0，
所以 c故选D．
13. D
14. B【解析】因为 fx=xα 为奇函数，
所以 α∈−1,3,13．
因为 fx 在 0,+∞ 上单调递增，
所以 α∈3,13．
15. A
16. B【解析】y=x12 的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数 y=x12−1 的图象可看作是由 y=x12 的图象向下平移一个单位得到的（如选项A中的图所示），则 y=x12−1 的图象关于 x 轴对称的图象即为选项B．
17. B
18. B
19. A【解析】结合选项，若 y=xm 是偶函数，则 m 的值可能为 −2 或 2，
因为当 x∈0,+∞ 时，y=xm 单调递减，
所以 m=−2 符合题意．
20. D
【解析】由题意得 2α=12，则 α=−1，则 fx=x−1，所以函数 fx 的单调递减区间是 −∞,0,0,+∞．故选D．
21. B【解析】幂函数 fx=xm2−2m−3m∈Z 在 0,+∞ 上单调递减，
所以 m2−2m−3<0，
解得 −1又 m∈Z，
所以 m=0,1,2．
当 m=1 时，y=x−4 不是奇函数，
所以 m=0或2．
故选B．
22. D【解析】依据幂函数为 y=xα 形式，知 m2−3m+3=1．又其图象不过原点，则指数 m2−m−2≤0．由 m2−3m+3=1,m2−m−2≤0,
得 m−1m−2=0,m+1m−2≤0, 解得 m=1或m=2,−1≤m≤2.
故 m=1 或 m=2．
23. D【解析】因为 y=x12 是增函数，
所以 1.212>10.912>1.112，
即 a>b>c．
24. B【解析】由于幂函数图象恒过点 1,1，排除A，D．
当 0x；
当 x>1 时，x1325. D
【解析】A，C不是偶函数，B在 −∞,0 上单调递减．
26. A【解析】幂函数 fx=x45 在 0,+∞ 是增函数，大致图象如图所示．
设 Ax1,0，Cx2,0，其中 0 ∣AB∣=fx1，∣CD∣=fx2，∣EF∣=fx1+x22，
因为 ∣EF∣>12∣AB∣+∣CD∣，
所以 fx1+x22>fx1+fx22．
故选A．
27. B【解析】由函数 fx=m2−m−5xmm∈Z 为幂函数，且在 0,+∞ 上单调递减，
得 m2−m−5=1,m<0,m∈Z, 解得 m=−2，
所以 a=22−m6=2−1213=2−16，b=22−1m=2−1212=2−14，c=12−m=2−12=2−2．
由于指数函数 y=2x 在 R 上为增函数，−2<−14<−16，
因此 c28. C【解析】设幂函数 y=fx=xα，图象过点 8,22，
故 8α=23α=22，
所以 α=12，故 fx=x，
fx−1−f2x=x−1−x，令 x−1=t，
则 y=t−1+t2，t≥0，
所以 t=12 时，ymax=−34．
第二部分
29. B， C
30. C， D