2022年高考数学一轮复习《等差数列》基础练习卷(2份教师版+学生版)

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一个等差数列的第5项a5=10，且a1＋a2＋a3=3，则有( )
A.a1=－2，d=3 B.a1=2，d=－3 C.a1=－3，d=2 D.a1=3，d=－2
【答案解析】答案为：A
解析：∵a1＋a2＋a3=3且2a2=a1＋a3，
∴a2=1.又∵a5=a2＋3d=1＋3d=10，d=3.∴a1=a2－d=1－3=－2.
设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a6=23，S5=35，则{an}的公差为( )
A.2 B.3 C.6 D.9
【答案解析】答案为：B；
解析：由题意，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a1＋7d＝23，,5a1＋\f(5×4,2)d＝35，))解得d=3，故选B.
设等差数列{an}的公差为d，且a1a2=35,2a4－a6=7，则d=( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案解析】答案为：C；
解析：∵{an}是等差数列，∴2a4－a6=a4－2d=a2=7，
∵a1a2=35，∴a1=5，∴d=a2－a1=2，故选C.
在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5=3，a8=8，则a12的值是( )
A.15 B.30 C.31 D.64
【答案解析】答案为：A.
解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a3＋a4＋a5=3，∴3a4=3，即a1＋3d=1，
又由a8=8得a1＋7d=8，联立解得a1=－eq \f(17,4)，d=eq \f(7,4)，则a12=－eq \f(17,4)＋eq \f(7,4)×11=15.故选A.
在等差数列{an}中，若a1+2a2+3a3=18，则2a1+a5=（ ）
A.9 B.8 C.6 D.3
【答案解析】A
已知数列－1，a1，a2，－4与数列1，b1，b2，b3，－5各自成等差数列，则等于( )
A. B. C.－ D.－
【答案解析】答案为：B；
解析：设数列－1，a1，a2，－4的公差是d，则a2－a1=d=－1，b2=－2，故知=.
已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是( )
A.64 B.31 C.30 D.15
【答案解析】D.
设等差数列{an}的公差为d，且a1a2=35,2a4－a6=7，则d=( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案解析】答案为：C；
设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a3=6，S10=100，则a5=( )
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案解析】答案为：B；
解析：设等差数列的公差为d，因为a1＋a3=6，S10=100，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a1＋2d＝6,10a1＋45d＝100))，解得a1=1，d=2；因此a5=a1＋4d=9.故选B.
等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11=22，则a3＋a7＋a8等于( )
A.18 B.12 C.9 D.6
【答案解析】答案为：D；
解析：由题意得S11=eq \f(11a1＋a11,2)=eq \f(112a1＋10d,2)=22，即a1＋5d=2，
所以a3＋a7＋a8=a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d=3(a1＋5d)=6，故选D.
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，a5=5，则S7的值是( )
A.30 B.29 C.28 D.27
【答案解析】答案为：C；
解析：由题意，设等差数列的公差为d，则d=eq \f(a5－a3,5－3)=1，故a4=a3＋d=4，
所以S7=eq \f(7a1＋a7,2)=eq \f(7×2a4,2)=7×4=28.故选C.
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a9=eq \f(1,2)a12＋6，a2=4，则数列{eq \f(1,Sn)}的前10项和为( )
A.eq \f(11,12) B.eq \f(10,11) C.eq \f(9,10) D.eq \f(8,9)
【答案解析】答案为：B；
解析：设等差数列{an}的公差为d，由a9=eq \f(1,2)a12＋6及等差数列的通项公式得a1＋5d=12，
又a2=4，∴a1=2，d=2，∴Sn=n2＋n，∴eq \f(1,Sn)=eq \f(1,nn＋1)=eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，
∴eq \f(1,S1)＋eq \f(1,S2)＋…＋eq \f(1,S10)=1－eq \f(1,11)=eq \f(10,11).选B.
二、填空题
设{an}是等差数列，且a1=3，a2＋a5=36，则{an}的通项公式为________.
【答案解析】答案为：an=6n－3.
解析：法一：设数列{an}的公差为d.∵a2＋a5=36，∴(a1＋d)＋(a1＋4d)=36，
∴2a1＋5d=36.∵a1=3，∴d=6，∴an=6n－3.
法二：设数列{an}的公差为d，∵a2＋a5=a1＋a6=36，a1=3，∴a6=33，
∴d=eq \f(a6－a1,5)=6.∵a1=3，∴an=6n－3.
已知{an}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，则a1=________.
【答案解析】答案为：－1
解析：因为a5是a3与a11的等比中项，所以aeq \\al(2,5)=a3·a11，即(a1＋4d)2=(a1＋2d)·(a1＋10d)，解得a1=－1.
设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a3=5，且S1，S5，S7成等差数列，则数列{an}的通项公式an=________.
【答案解析】答案为：2n－1.
解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a3=5，且S1，S5，S7成等差数列，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝5，,a1＋7a1＋21d＝10a1＋20d，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝2，))∴an=2n－1.
《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾.初日织五尺，今一月日织九匹三丈.则月末日织几何？”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布.若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织________尺布.
【答案解析】答案为：21
解析：由题意得，该女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，
设为{an}，其中a1=5，前30项和为390，于是有eq \f(305＋a30,2)=390，解得a30=21，
即该女最后一天织21尺布.
三、解答题
已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7=15，a2a4a6=45，求此数列的通项公式.
【答案解析】解:∵a1＋a7=2a4，a1＋a4＋a7=3a4=15，∴a4=5.
又∵a2a4a6=45，∴a2a6=9，
即(a4－2d)(a4＋2d)=9，(5－2d)(5＋2d)=9，解得d=±2.
若d=2，an=a4＋(n－4)d=2n－3；
若d=－2，an=a4＋(n－4)d=13－2n.
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan＋1=4Sn-1(n∈N*)．
(1)证明：an＋2-an=4；
(2)求数列{an}的通项公式．
【答案解析】解：
(1)证明：∵anan＋1=4Sn-1，
∴an＋1an＋2=4Sn＋1-1，
∴an＋1(an＋2-an)=4an＋1．
又an≠0，∴an＋2-an=4．
(2)由anan＋1=4Sn-1，a1=1，得a2=3．
由an＋2-an=4知数列{a2n}和{a2n-1}都是公差为4的等差数列，
∴a2n=3＋4(n-1)=2(2n)-1，
a2n-1=1＋4(n-1)=2(2n-1)-1，
∴an=2n-1．
若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4=0的两根，求数列{an}的通项公式．
【答案解析】解：由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋a2＝a3，,a1a2＝a4，))
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a1＋d＝a1＋2d，,a1（a1＋d）＝a1＋3d.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝2，,d＝2，))
所以an=2＋(n－1)×2=2n.
故数列{an}的通项公式为an=2n.
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=45，S6=60.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＋1－bn=an(n∈N*)，且b1=3，求{eq \f(1,bn)}的前n项和Tn.
【答案解析】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则a6=S6－S5=15，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a6＝a1＋5d＝15，,S5＝5a1＋10d＝45，))
解得a1=5，d=2，所以an=2n＋3.
(2)bn=(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1
=an－1＋an－2＋…＋a1＋3=n2＋2n，
所以eq \f(1,bn)= SKIPIF 1 < 0 =eq \f(1,2)( SKIPIF 1 < 0 )，
所以Tn=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))=eq \f(3n2＋5n,4n2＋12n＋8).
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a5=25，S5=55.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设anbn=eq \f(1,3n－1)，求数列{bn}的前n项和Tn.
【答案解析】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋a5＝2a1＋5d＝25，,S5＝5a3＝5a1＋\f(5×4,2)d＝55，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝5，,d＝3，))∴数列{an}的通项公式为an=3n＋2.
(2)由anbn=eq \f(1,3n－1)，得bn=eq \f(1,an3n－1)
=eq \f(1,3n－13n＋2)=eq \f(1,3)(eq \f(1,3n－1)－eq \f(1,3n＋2))，
Tn=b1＋b2＋…＋bn=eq \f(1,3)(eq \f(1,2)－eq \f(1,5)＋eq \f(1,5)－eq \f(1,8)＋…＋eq \f(1,3n－1)－eq \f(1,3n＋2))=eq \f(1,3)(eq \f(1,2)－eq \f(1,3n＋2))
=eq \f(1,6)－eq \f(1,9n＋6)=eq \f(n,23n＋2).
设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列{}的前n项和，求Tn.
【答案解析】解:设等差数列{an}的公差为d，则Sn=na1＋n(n－1)d，
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=45，S6=60.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＋1－bn=an(n∈N*)，且b1=3，求eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,bn)))的前n项和Tn.
【答案解析】解：
(1)设等差数列{an}的公差为d，
则a6=S6－S5=15，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a6＝a1＋5d＝15，,S5＝5a1＋10d＝45，))
解得a1=5，d=2，所以an=2n＋3.
(2)bn=(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1
=an－1＋an－2＋…＋a1＋3=n2＋2n，
所以eq \f(1,bn)=eq \f(1,nn＋2)=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))，
所以Tn=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))=eq \f(3n2＋5n,4n2＋12n＋8).
设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=a5＋a6=25.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若不等式2Sn＋8n＋27>(－1)nk(an＋4)对所有的正整数n都成立，求实数k的取值范围.
【答案解析】解：(1)设公差为d，则5a1＋eq \f(5×4,2)d=a1＋4d＋a1＋5d=25，∴a1=－1，d=3.
∴{an}的通项公式为an=3n－4.
(2)Sn=－n＋eq \f(3nn－1,2)，2Sn＋8n＋27=3n2＋3n＋27，an＋4=3n，
则原不等式等价于(－1)nk－(