第六章复习提升-2022版数学选择性必修第一册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析）

本章复习提升

易混易错练

易错点1　对条件概率理解不清致误

1.(2020黑龙江哈尔滨南岗高二上期末,)甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军,比赛为三局两胜制,甲在每局比赛中获胜的概率均为,且各局比赛结果相互独立,则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了三局的概率为　　              (　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

易错点2　离散型随机变量取值不当或对应的概率求错致误

2.(2020辽宁沈阳高二期中,)某射手每次射击击中目标的概率均为,且各次射击的结果互不影响.

(1)假设这名射手射击3次,求至少2次击中目标的概率;

(2)假设这名射手射击3次,每次击中目标得10分,未击中目标得0分.在3次射击中,若有2次连续击中目标,而另外1次未击中目标,则额外加5分;若3次全部击中,则额外加10分.用随机变量ξ表示这名射手射击3次后的总得分,求ξ的分布列.

易错点3　不能正确区分超几何分布与二项分布致误

3.(多选题)(2020江苏徐州期末,)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=a1a2a3a4a5(例如10100),其中A的各数位上ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为,出现1的概率为,记X=a2+a3+a4+a5,则当程序运行一次时              (　　)

A.X服从二项分布　　　　　　　B.P(X=1)=

C.X的期望EX=　　　　　　　D.X的方差DX=

4.(2020河南开封中学高二模拟,)为了解今年某校高三毕业班报考飞行员学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右的前三组的频率之比为1∶2∶3,其中第二组的频数为12.

(1)求该校报考飞行员的总人数;

(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的学生中(人数很多)任选三人,设X表示体重超过60kg的学生人数,求X的分布列和数学期望.

易错点4　对正态曲线的性质理解不全面致误

5.(2020湖南长沙长郡中学高三下月考,)设随机变量X~N(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,若向正方形ABCD中随机投掷10000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值是              (　　)

(附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544)

A.7539　　　　B.7028　　　　C.6587　　　　D.6038

思想方法练

一、函数与方程思想在离散型随机变量中的应用

1.(2020四川棠湖中学高三开学考试,)设0<a<,随机变量X的分布列为

则当DX取得最大值时,a的值是 (　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

2.(2020广东清远高二期末,)已知随机变量X的分布列为

随机变量X的数学期望为EX,则满足EX<k的最大正整数k的值是　　　　. 

(参考数据:ln2≈0.6931,ln3≈1.0986,ln5≈1.6094)

二、分类讨论思想在概率中的应用

3.(2019河北唐山高二期中,)甲、乙两个人进行射击训练,甲射击一次中靶概率是,乙射击一次中靶概率是.

(1)两人各射击一次,中靶至少一次就算完成目标,则完成目标的概率是多少?

(2)两人各射击两次,中靶至少三次就算完成目标,则完成目标的概率是多少?

三、数形结合思想在正态分布中的应用

4.(2020广东广州大学附属中学高三下线上测试,)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(-2,4)的密度曲线)的点的个数的估计值为              (　　)

(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544)

A.906　　　　B.340　　　　C.2718　　　　D.3413

5.(2020吉林长春中学高二模拟,)“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗,2020年春节前夕,A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标,检测结果的频率分布直方图如图所示.

(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);

(2)①由频率分布直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标Z服从正态分布N(μ,σ2),利用该正态分布,求Z落在(38.45,50.4]内的概率;

②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中该项质量指标位于(10,30]内的包数为X,求X的分布列、数学期望及方差.

附:①计算得所抽查的这100包速冻水饺的该项质量指标的标准差为σ=≈11.95;

②若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<Z≤μ+2σ)≈0.9544.

答案全解全析

易混易错练

1.A　记事件A:甲获得冠军,事件B:比赛进行了三局,

事件AB:甲获得冠军,且比赛进行了三局,即第三局甲胜,前二局甲胜了一局,

则P(AB)=×××=,

对于事件A,甲获得冠军包含两种情况:前两局甲胜和事件AB,

∴P(A)=+=,

∴P(B|A)===,故选A.

易错警示

P(B|A)与P(A|B)是不同的.另外,在事件A发生的条件下,事件B发生的概率不一定是P(B),即P(B|A)与P(B)不一定相等.

2.解析　(1)设这名射手射击3次,击中目标的次数为X,则X~B.

故P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)

=+=,

所以所求概率为.

(2)由题意可知,ξ的所有可能取值为0,10,20,25,40.

用Ai(i=1,2,3)表示事件“第i次击中目标”,

则P(ξ=0)=P(X=0)==,

P(ξ=10)=P(X=1)=××=,

P(ξ=20)=P(A1A3)=××=,

P(ξ=25)=P(X=2)-P(ξ=20)=,

P(ξ=40)=P(X=3)==.

故ξ的分布列为

3.ABC　由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能是0,1,且每个数位上的数字互不影响,故A的各数位上后4位的所有结果有5类:

①后4位都是0,此时X=0,P(X=0)==;

②后4位只出现1个1,此时X=1,P(X=1)==;

③后4位出现2个1,此时X=2,P(X=2)==;

④后4位出现3个1,此时X=3,P(X=3)==;

⑤后4位都是1,此时X=4,P(X=4)==,

故X~B,故A正确;

P(X=1)=,故B正确;

∵X~B,∴EX=4×=,故C正确;

∵X~B,∴DX=4××=,故D错误.

故选ABC.

4.解析　(1)设该校报考飞行员的总人数为n,前三组的频率分别为p1,p2,p3,

则由条件可得

解得

又因为p2=0.25=,所以n=48.

所以该校报考飞行员的总人数为48.

(2)由(1)可得,一个报考飞行员的学生体重超过60kg的概率p=p3+(0.037+0.013)×5=,

故X服从二项分布B,其分布列为P(X=k)=(k=0,1,2,3).

如表所示:

EX=3×=.

5.C　由题意知,正方形的边长为1,所以正方形的面积S=1.

又随机变量X~N(1,1),

所以正态分布密度曲线关于直线x=1对称,且σ=1,

由P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6826,得P(0<X≤2)≈0.6826,

所以阴影部分的面积S1=1-=0.6587,

点落入阴影部分的概率P==0.6587,

所以落入阴影部分的点的个数的估计值是10000×0.6587=6587,故选C.

思想方法练

1.D　由已知得EX=-1×+1×+2×=,

所以DX=×+×+×=1+a-=-+,

构造二次函数模型,通过讨论函数的单调性得出最值,充分体现了函数与方程思想.

因为0<a<,所以当DX取得最大值时,a的值为.故选D.

2.答案　4

解析　由已知得EX=+(k+1)(1-)=-k+k+1,

所以EX<k可化为-k+1<0,即k>,显然k>0,

两边同时取以e为底的对数,得lnk>,

令f(k)=lnk-,k>0,则f'(k)=-=,

当k∈(0,3)时,f'(k)=>0,即函数f(k)=lnk-单调递增;

当k∈(3,+∞)时,f'(k)=<0,即函数f(k)=lnk-单调递减.

根据期望的定义,先得到EX=-k+k+1,

将不等式EX<k化为lnk>,构造函数

f(k)=lnk-,k>0,利用导数的方法判断其

单调性求出函数最值,分析k的取值,充分

体现了函数与方程的思想.

因此f(k)max=f(3)=ln3-=ln3-1>0,

又f(4)=ln4-=2ln2-≈1.3862-1.3333>0,

f(5)=ln5-≈1.6094-1.6666<0,

因此满足lnk>的最大正整数k的值是4,

即满足EX<k的最大正整数k的值是4.

思想方法

函数与方程思想就是从分析问题的数量关系入手,把变量之间的关系用函数或方程表示出来,然后应用函数性质或对方程的根进行讨论,使问题得以解决.有些概率问题常与函数结合,如P(X=k)=pk·(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n,可看成关于k的函数,有时也可将其看成关于概率p的函数.

3.解析　(1)完成目标共分三种情况:乙中甲不中,概率为×=;甲中乙不中,概率为×=;甲、乙全中,概率为×=.

因此,所求概率是++=.

(2)分以下两类情况:

共击中3次,概率为×××+×××=;

共击中4次,概率为×=.

按照两人各射击两次共击中的次数分类,应

用独立重复试验的概率公式求出概率.

因此,所求概率为+=.

思想方法

在概率问题中,当一个事件有多种情况时,需要分类讨论,计算出在各种情况下的概率,再根据两种基本计数原理求出所要求的事件的概率.

4.B　根据图形可得出阴影部分的面积,充分

体现了由“形”到“数”的过程,体现了数形

结合的思想方法.

由题意知阴影部分的面积

S=P(0<x≤2)=[P(-6<x≤2)-P(-4<x≤0)]≈×(0.9544-0.6826)=0.1359,

则在正方形中随机投掷一点,该点落在阴影部分的概率P=,

∴在正方形中随机投掷10000个点,落入阴影部分的点的个数的估计值为10000×=339.75≈340.故选B.

5.解析　(1)根据频率分布直方图可直接读

出的值,进而求出各部分的频率,体现

了由“形”到“数”的过程.

根据频率分布直方图可得:

(0,10]的频率为0.010×10=0.1,

(10,20]的频率为0.020×10=0.2,

(20,30]的频率为0.030×10=0.3,

(30,40]的频率为0.025×10=0.25,

(40,50]的频率为0.015×10=0.15,

∴所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数=5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5.

(2)①∵Z服从正态分布N(μ,σ2),且μ=26.5,σ≈11.95,

∴P(38.45<Z≤50.4)

=P(26.5-2×11.95<Z≤26.5+2×11.95)-P(26.5-11.95<Z≤26.5+11.95)

≈×0.9544-×0.6826=0.1359.

∴Z落在(38.45,50.4]内的概率是0.1359.

②根据题意得每包速冻水饺的该项质量指标位于(10,30]内的概率为0.2+0.3=0.5,

∴X~B,X的可能取值为0,1,2,3,4.

P(X=0)==,

P(X=1)==,

P(X=2)==,

P(X=3)==,

P(X=4)==,

∴X的分布列为

EX=4×=2,DX=4××=1.

误区警示

数形结合思想在概率和正态分布中主要是以“形”助“数”,通过图形,明确条件或目标在图形中的体现,用已学过的知识将图形表达的内容用代数式表达出来,再根据条件和结论的联系解题.