2021学年3.1.3 函数的奇偶性多媒体教学课件ppt

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第1课时　函数的奇偶性
任意一个x，都有－x∈D　
f(－x)＝f(x)　
f(－x)＝－f(x)　
思考1：函数奇偶性的注意点是什么？提示：(1)从奇函数、偶函数的定义可知，当x是定义域中的一个数值时，则－x也必是定义域中的一个数值，因此函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数不具有奇偶性．例如，函数y＝x2在区间(－∞，＋∞)上是偶函数，但在区间[－3,5]上却不具有奇偶性．
(2)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则根据定义可得，f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.(3)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，这样的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的非空数集．
4．奇、偶函数的单调性根据奇、偶函数的图像特征，我们不难得出以下结论．(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“___________”．(2)________________________________________________，取最值时的自变量互为相反数；___________________________________________________，取最值时的自变量也互为相反数．
偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值　
奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数　
2．对于定义域是R的任意奇函数f(x)，都有(　　)A．f(x)－f(－x)>0　B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)·f(－x)≤0　D．f(x)·f(－x)>0解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)·f(－x)＝f(x)·[－f(x)]＝－[f(x)]2≤0.
3．若函数f(x)＝x2－ax＋1为偶函数，则a＝____.解析：解法一：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，x2＋ax＋1＝x2－ax＋1，即2ax＝0(x∈R)恒成立，∴a＝0.解法二：∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，即1＋a＋1＝1－a＋1，∴a＝0.
4．下列图像表示的函数是奇函数的是_______，是偶函数的是_______(填序号)．解析：①③关于y轴对称是偶函数，②④关于原点对称是奇函数．
5．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的解析式为_______________________.
　判断下列函数的奇偶性：
归纳提升：如何判断函数的奇偶性1．判断函数的奇偶性一般不用其定义，而是利用定义的等价形式，即考察f(－x)与f(x)的关系，具体步骤如下：(1)求f(x)的定义域．(2)若定义域不关于原点对称，则函数f(x)不具有奇偶性，若定义域关于原点对称，可再利用定义验证f(－x)与f(x)的关系．
2．关于一些较复杂的函数，也可以用如下性质判断函数的奇偶性：(1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数．(2)奇函数的和、差仍为奇函数．(3)奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数．(4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．
(1)如图1，给出了奇函数f(x)的局部图像，那么f(1)等于(　　)A．－4　B．－2　　C．2　D．4
(2)设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，且f(3)＝0，当x∈[0,5]时，f(x)的图像如图2所示，则不等式xf(x)＜0的解集是_____________________.思路探究：根据函数的奇偶性可作出函数在y轴另一侧的图像，再根据图像来解题．
[－5，－3)∪(0,3)　
归纳提升：巧用奇偶性作函数图像的步骤(1)确定函数的奇偶性．(2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图像．(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0]或[0，＋∞)上对应的函数图像．
2．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像，如图所示．(1)请补出完整函数y＝f(x)的图像；(2)根据图像写出函数y＝f(x)的增区间、值域．
解析：(1)由题意作出函数图像如图：(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)，值域为[－1，＋∞)．
归纳提升：1.判断分段函数的奇偶性，必须分段考虑．2．若分段函数是奇函数或偶函数，常用含绝对值符号的函数表达式来表示．
解析：函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x>0时，－x<0，f(－x)＝－(－x)2－2＝－x2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)，当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2＋2＝x2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)．当x＝0时，f(0)＝0，即x＝0时，f(－x)＝－f(x)．综上所述，x∈R，有f(－x)＝－f(x)，故该函数为奇函数．
　已知f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x|x－2|，求当x＜0时，f(x)的表达式．思路探究：已知函数f(x)是奇函数，可利用对称性求对称区间上的解析式．
解析：令x＜0，则－x＞0.∴f(－x)＝－x|－x－2|＝－x|x＋2|.∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝x|x＋2|.故当x＜0时，f(x)的表达式为f(x)＝x|x＋2|.
归纳提升：由函数奇偶性求函数解析式的解题策略1．函数具有奇偶性，若只给出了部分区间上的解析式，则可以利用函数的奇偶性求出对称区间上的解析式，其解题理论为函数奇偶性的定义．正用定义可以判断函数的奇偶性，逆用可以求出函数在对称区间上的解析式．
2．结论：(1)若f(x)是奇函数，且已知x＞0时的解析式，则x＜0时的解析式只需将原函数式y＝f(x)中的x，y分别替换为－x，－y，然后解出y即可．(2)若f(x)是偶函数，且已知x＞0时的解析式，则x＜0时的解析式只需将原函数式y＝f(x)中的x替换为－x，y不变，即得x＜0时的解析式．
4．若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(1－x)，求：当x≥0时，函数f(x)的解析式．解析：当x>0时，－x<0，∵当x<0时，f(x)＝x(1－x)，∴f(－x)＝－x(1＋x)，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x(1＋x)，∴f(x)＝x(1＋x)，又f(0)＝f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0，∴当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)．
　已知函数y＝f(x)(x∈R)，若对于任意实数a、b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证： f(x)为奇函数．思路探究：因为对于任意实数a、b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，可以先令a、b为某些特殊值，从而得出f(－x)＝－f(x)．
证明：令a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0，再令a＝－x，b＝x，则f(0)＝f(－x)＋f(x)，∴f(－x)＝－f(x)，且定义域x∈R关于原点对称，∴f(x)是奇函数．归纳提升：判断抽象函数的奇偶性，应利用函数奇偶性定义，找准方向，巧妙赋值，合理，灵活变形配凑，找出f(－x)与f(x)的关系，从而判断或证明抽象函数的奇偶性．
5．已知函数y＝f(x)(x∈R)，若对于任意实数x1、x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)，求证： f(x)为偶函数．证明：令x1＝0，x2＝x，得f(x)＋f(－x)＝2f(0)·f(x)，①令x1＝x，x2＝0，得f(x)＋f(x)＝2f(0)·f(x)，②由①②得， f(－x)＝f(x)，且定义域x∈R关于原点对称，∴函数f(x)为偶函数．