专题强化练2　和圆有关的最值(范围)问题-2022版数学选择性必修第一册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析）

专题强化练2　和圆有关的最值(范围)问题

一、选择题

1.(2021北京高三入学定位考试,)设P为圆x2+y2-2x-4y-4=0上一点,则点P到直线3x-4y=0的距离的取值范围是              (　　)

A.[2,4]　　　　　　　B.[0,4]

C.[1,2]　　　　　　　D.[0,9]

2.(2020吉林白城第一中学高一下期末,)若直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0与圆C:(x-1)2+(y-2)2=25交于A,B两点,则弦长|AB|的最小值为              (　　)

A.8　　　　B.4　　　　C.2　　　　D.

3.(2021浙江丽水五校共同体高二上阶段性考试,)由直线y=x+1上的点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为              (　　)

A.1　　　　B.　　　　C.2　　　　D.3

4.(2020湖北十堰高二上期末,)已知点A(-2,0),B(2,0),点P是圆C:(x-3)2+(y-)2=1上的动点,则|AP|2+|BP|2的最小值为              (　　)

A.9　　　　B.14　　　　C.16　　　　D.26

5.(2021广东深圳实验学校高三上月考,)已知圆x2+y2-4x+4y+a=0截直线x+y-4=0所得弦的长度小于6,则实数a的取值范围为              (　　)

A.(8-,8+)　　　　　　　B.(8-,8)

C.(-9,+∞)　　　　　　　D.(-9,8)

6.(2020湖北四校高二上期中,)在一个平面上,机器人在与点C(3,-3)的距离为8的地方绕C点顺时针而行,它在行进过程中到经过点A(-10,0)与B(0,10)的直线的最近距离为              (　　)

A.8-8　　　　　　　B.8+8　　　　

C.8　　　　　　　D.12

7.(2021黑龙江大庆中学高二月考,)设P为直线3x-4y+13=0上的动点,PA、PB为圆C:(x-2)2+(y-1)2=1的两条切线,A、B为切点,则四边形APBC面积的最小值为              (　　)

A.　　　　　　　B.2　　　　

C.　　　　　　　D.2

二、填空题

8.(2020江苏扬州中学高一下月考,)函数f(x)=|3x-4+12|的最小值为　　　　. 

9.(2020安徽铜陵第一中学高二上月考,)过点P(0,3)作直线l:(m+n)x+(2n-4m)y-6n=0的垂线,垂足为Q,则点Q到直线x-2y-8=0的距离的最小值为　　　　. 

三、解答题

10.(2020百校联考高考百日冲刺,)已知圆C过点(4,6),(-2,-2),(5,5),点M,N在圆C上,求△CMN面积的最大值.

11.(2020重庆广益中学高二上期末,)已知圆C经过M(1,1)和N(1,3)两点,且圆心在直线x-y=0上.

(1)求圆C的方程;

(2)设点Q(x,y)是圆C上任意一点,求的取值范围.

12.()已知圆C以C(t∈R,t≠0)为圆心且经过原点O.

(1)若t=2,写出圆C的方程;

(2)在(1)的条件下,已知点B的坐标为(0,2),设P、Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标.

答案全解全析

一、选择题

1.B　由题可得圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=32,圆心为(1,2),半径为3,圆心到直线3x-4y=0的距离d==1,所以点P到直线3x-4y=0的最短距离为0,最长距离为1+3=4,故选B.

2.B　直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0可化为(2x+y-7)m+(x+y-4)=0,

令解得

∴直线l过定点(3,1).

设M(3,1),圆心C(1,2)到直线l的距离为d,

则dmax=|CM|==,

又|AB|=2,其中r为圆C的半径,

∴|AB|min=2=2=4,

故弦长|AB|的最小值为4.

3.B　易知切线长的最小值在直线y=x+1上的点与圆心的距离最小时取得,圆心(3,0)到直线y=x+1的距离d==2,圆的半径为1,故切线长的最小值为==,故选B.

4.D　设O为坐标原点,P(x,y),则|AP|2+|BP|2=(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=2(x2+y2)+8=2|PO|2+8,圆C的圆心为C(3,),半径r=1,|OC|=4,|PO=(|OC|-r)2=(4-1)2=9,所以(|AP|2+|BP|2)min=18+8=26.故选D.

5.D　圆的标准方程为(x-2)2+(y+2)2=8-a,其圆心为(2,-2),半径为,∴8-a>0,即a<8,圆心到直线x+y-4=0的距离为=2,因为弦的长度小于6,所以有2<6,解得a>-9.

综上,a∈(-9,8),故选D.

6.A　∵该机器人在与点C(3,-3)距离为8的地方绕C点顺时针而行,∴该机器人的运行轨迹方程为(x-3)2+(y+3)2=64,如图所示.

∵A(-10,0),B(0,10),∴直线AB的方程为+=1,即x-y+10=0,则圆心C到直线AB的距离d==8>8,∴最近距离为8-8.故选A.

7.B　如图所示:

易知圆心C(2,1),圆的半径为1,由圆的几何性质可得AC⊥PA,由勾股定理得|PA|=,当|PC|取最小值时,|PA|最小,|PC|的最小值为点C到直线3x-4y+13=0的距离,即|PC|min==3,

∴|PA|min==2,由切线长定理得PA=PB,又AC=BC,PC=PC,∴△PAC≌△PBC,所以四边形APBC的面积S=2S△PAC=2××|PA|×1≥2.故选B.

二、填空题

8.答案　3

解析　设y=,则(x-2)2+y2=9(y≥0),

该方程表示的曲线为以(2,0)为圆心,3为半径的圆在x轴上方(包含与x轴的交点)的部分,如图.

设点P(x,y)在该曲线上,则f(x)=|3x-4+12|=|3x-4y+12|=×5,所以f(x)即为点P(x,y)到直线3x-4y+12=0的距离的5倍,又圆心到直线3x-4y+12=0的距离d==,所以点P(x,y)到直线3x-4y+12=0的距离的最小值为-3=,所以f(x)min=×5=3.

9.答案　

解析　直线l:(m+n)x+(2n-4m)y-6n=0可化为m(x-4y)+n(x+2y-6)=0,

由解得

∴直线l经过定点(4,1),记M(4,1),线段PM的中点记为G,则G(2,2).∵PQ⊥l,∴点Q在以G为圆心,|PG|=为半径的圆上,

其标准方程为(x-2)2+(y-2)2=5.圆心G到直线x-2y-8=0的距离d==2,∴点Q到直线x-2y-8=0的距离的最小值为.

三、解答题

10.解析　设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将(4,6),(-2,-2),(5,5)代入可得,解得

故圆C的方程为x2+y2-2x-4y-20=0,即(x-1)2+(y-2)2=25,

故△CMN的面积S=|CM||CN|·sin∠MCN=×5×5×sin∠MCN≤×5×5×1=.

∴△CMN面积的最大值为.

11.解析　(1)线段MN的中点为(1,2),

∴线段MN的中垂线方程为y=2,

由解得

∴圆心坐标为(2,2),半径r==,

∴圆C的方程为(x-2)2+(y-2)2=2.

(2)设k=,∴kx-y=0,

当直线与圆相切时,有=⇒k2-4k+1=0,解得k=2±.

∵的值为直线kx-y=0的斜率k的值,且直线与圆必相切或相交,

∴的取值范围为[2-,2+].

12.解析　(1)由题知,圆C的方程为(x-t)2+=t2+,当t=2时,圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.

(2)易得点B(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为B'(-4,-2),则|PB|+|PQ|=|PB'|+|PQ|≥|B'Q|,又B'到圆上点Q的最短距离为|B'C|-r=-=3-=2,所以|PB|+|PQ|的最小值为2,易得B'C的方程为y=x,

由解得

所以点P的坐标为.