初中数学人教版九年级上册21.1 一元二次方程单元测试一课一练

这是一份初中数学人教版九年级上册21.1 一元二次方程单元测试一课一练，共99页。试卷主要包含了14一元二次方程单元测试等内容，欢迎下载使用。

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021春•亳州期末）把方程x2+2（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣x﹣2＝0B．x2+5x﹣2＝0C．x2﹣x﹣1＝0D．x2﹣2x﹣1＝0
【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），可得出答案．
【解析】将一元二次方程x2+2（x﹣1）＝3x化成一般形式有：x2﹣x﹣2＝0，
故选：A．
2．（2021春•大连期末）用配方法解方程x2+4x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x﹣2）2＝1B．（x﹣4）2＝11C．（x+2）2＝9D．（x+4）2＝21
【分析】移项后配方，再根据完全平方公式变形，最后得出选项即可．
【解析】x2+4x﹣5＝0，
移项，得x2+4x＝5，
配方，得x2+4x+4＝5+4，
即（x+2）2＝9，
故选：C．
3．（2021•南充一模）方程（9x﹣1）2＝1的解是（ ）
A．x1＝x2=13B．x1＝x2=29
C．x1＝0，x2=29D．x1＝0，x2=−29
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【解析】∵（9x﹣1）2＝1，
∴9x﹣1＝1或9x﹣1＝﹣1，
解得x1＝0，x2=29，
故选：C．
4．（2021春•百色期末）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0有一个根为1，则m的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
【分析】把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0得1+m﹣3＝0，然后解关于m的方程．
【解析】把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0得1+m﹣3＝0，解得m＝2．
故选：D．
5．（2021•河池）关于x的一元二次方程x2+mx﹣m﹣2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数由m的值确定
【分析】先计算判别式的值，再配方得到Δ＝（m+2）2+4＞0，从而可判断方程根的情况．
【解析】∵Δ＝m2﹣4（﹣m﹣2）
＝m2+4m+8
＝（m+2）2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
6．（2021春•大连期末）关于x的一元二次方程﹣kx2﹣6x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣3B．k＜3C．k＜3且k≠0D．k＞﹣3且k≠0
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到﹣k≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4×（﹣k）×3＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解析】根据题意得﹣k≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4×（﹣k）×3＞0，
解得k＞﹣3且k≠0．
故选：D．
7．（2021•西藏）已知一元二次方程x2﹣10x+24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（ ）
A．6B．10C．12D．24
【分析】利用因式分解法求出已知方程的解确定出菱形两条对角线长，进而求出菱形面积即可．
【解析】方程x2﹣10x+24＝0，
分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，
解得：x＝4或x＝6，
∴菱形两对角线长为4和6，
则这个菱形的面积为12×4×6＝12．
故选：C．
8．（2021春•沙坪坝区期末）若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2021﹣6a2+2a的值是（ ）
A．2023B．2022C．2020D．2019
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到3a2﹣a＝1，再把2021﹣6a2+2a变形为2021﹣2（3a2﹣a），然后利用整体代入的方法计算．
【解析】∵a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴3a2﹣a﹣1＝0，
∴3a2﹣a＝1，
∴2021﹣6a2+2a＝2021﹣2（3a2﹣a）
＝2021﹣2×1
＝2019．
故选：D．
9．（2020秋•大石桥市期末）不论x，y为何实数，代数式x2+y2+2y﹣4x+6的值（ ）
A．总不小于1B．总不大于1
C．总不小于6D．可为任何实数
【分析】通过配方可把代数式x2+y2+2y﹣4x+6变形为（x﹣2）2+（y+1）2+1，由非负数的知识可知该代数式的值总不小于1．
【解析】∵x2+y2+2y﹣4x+6＝（x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）+1＝（x﹣2）2+（y+1）2+1，
又∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，
∴x2+y2+2y﹣4x+6≥1，
即代数式x2+y2+2y﹣4x+6的值总不小于1．
故选：A．
10．（2021•河南一模）2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮转发后，共有931人参与了转发活动，则方程列为（ ）
A．（1+n）2＝931B．n（n﹣1）＝931C．1+n+n2＝931D．n+n2＝931
【分析】设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮转发了n个人，第二轮转发了n2个人，根据两轮转发后，共有931人参与列出方程即可．
【解析】由题意，得
n2+n+1＝931，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021春•门头沟区期末）一元二次方程3x2﹣6x﹣7＝0的二次项系数是 3 ，常数项是 ﹣7 ．
【分析】先找出二次项和常数项，再找出二次项系数即可．
【解析】一元二次方程3x2﹣6x﹣7＝0的二次项系数是3，常数项是﹣7，
故答案为：3，﹣7．
12．（2021春•天心区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2n＝0的一个根为﹣2，则m+n＝ ﹣2 ．
【分析】根据一元二次方程根的定义得到4+2m+2n＝0，然后计算m+n的值．
【解析】把x＝﹣2代入方程x2﹣mx+2n＝0得4+2m+2n＝0，
所以m+n＝﹣2．
故答案为﹣2．
13．（2021春•道外区期末）一元二次方程x2﹣x﹣k＝0一个根是2，则k＝ 2 ．
【分析】知道方程的一根，把该根代入方程中，求出未知量k．
【解析】由题意知，关于x的一元二次方程x2﹣x﹣k＝0的一个根是2，
故22﹣2﹣k＝0，
解得k＝2，
故答案为：2．
14．（2021春•江干区期末）若t是方程ax2+2x＝0（a≠0）的一个根，则Q＝（at+1）2的值为 1 ．
【分析】根据一元二次方程解的定义得到：at2+2t＝t（at+2）＝0，显然t＝0或at＝﹣2，然后代入求值即可．
【解析】∵t是方程ax2+2x＝0（a≠0）的一个根，
∴at2+2t＝t（at+2）＝0，
∴t＝0或at＝﹣2．
当t＝0时，Q＝（at+1）2＝（0+1）2＝1；
当at＝﹣2时，Q＝（at+1）2＝（﹣2+1）2＝1；
综上所述，Q＝（at+1）2的值为1．
故答案是：1．
15．（2021•龙岗区校级三模）已知a是一元二次方程2x2﹣3x﹣5＝0的根，则代数式2a−5a的值为 3 ．
【分析】根据一元二次方程根的定义得到2a2﹣3a﹣5＝0，然后两边除以a可得到代数式2a−5a的值．
【解析】∵a是一元二次方程2x2﹣3x﹣5＝0的根，
∴2a2﹣3a﹣5＝0，
∵a≠0，
∴2a﹣3−5a=0，
∴2a−5a=3．
故答案为3．
16．（2020秋•泰兴市期末）某小区2019年的绿化面积为3000m2，计划2021年的绿化面积为4320m2，如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 20% ．
【分析】设每年绿化面积的增长率为x，根据该小区2019年及2021年的绿化面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】设每年绿化面积的增长率为x，
依题意，得：3000（1+x）2＝4320，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
故答案为：20%．
17．（2020•黔南州）对于实数a，b，定义运算“a*b=a2−ab(a＞b)ab−b2(a≤b)”例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+16＝0的两个根，则x1*x2＝ 0 ．
【分析】求出x2﹣8x+16＝0的解，代入新定义对应的表达式即可求解．
【解析】x2﹣8x+16＝0，解得：x＝4，
即x1＝x2＝4，
则x1*x2＝x1•x2﹣x22＝16﹣16＝0，
故答案为0．
18．（2021春•台江区校级月考）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝3，x2＝﹣1，那么方程a（x+m﹣2）2+b＝0的解是 x＝5或x＝1 ．
【分析】把后面一个方程中的x﹣2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
【解析】∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝3，x2＝﹣1，
∴方程a（x+m﹣2）2+b＝0变形为a[（x﹣2）+m]2+b＝0，即此方程中x﹣2＝3或x﹣2＝﹣1，
解得x＝5或x＝1．
故答案为：x＝5或x＝1．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021春•平阴县期末）解一元二次方程：
（1）2x2+5x﹣3＝0；
（2）（x+2）2＝3x+6．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解析】（1）∵2x2+5x﹣3＝0，
∴（x+3）（2x﹣1）＝0，
则x+3＝0或2x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝0.5；
（2）∵（x+2）2＝3x+6，
∴（x+2）2＝3（x+2），
∴（x+2）2﹣3（x+2）＝0，
则（x+2）（x﹣1）＝0，
∴x+2＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝1．
20．（2021春•百色期末）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k是符合条件的最大整数，求此时一元二次方程的解．
【分析】（1）利用判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0，然后解不等式即可；
（2）在k的范围内找出最大整数值，然后利用因式分解法解方程．
【解析】（1）根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0，
解得k≤94；
（2）∵k≤94，
∴k的最大整数值为2，
此时方程为x2﹣3x+2＝0，
（x﹣1）（x﹣2）＝0，
x﹣1＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝1，x2＝2．
21．（2020秋•大东区期末）新华商场销售某种商品，每件进货价为40元，市场调研表明：当销售价为80元时，平均每天能售出20件；在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件．
（1）若降价2元，则平均每天销售数量为 24 件；
（2）当每件商品定价多少元时，该商场平均每天销售某种商品利润达到1200元？
【分析】（1）根据平均每天销售量＝20+2×降低的价格，即可求出结论；
（2）设每件商品降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件，根据总利润＝每件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解析】（1）20+2×2＝24（件）．
故答案为：24．
（2）设每件商品降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件，
依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
当x＝20时，40﹣x＝20＜25，
∴x＝20舍去．
答：当每件商品定价70元时，该商店每天销售利润为1200元．
22．（2021春•安徽期末）电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据我市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌电动自行车销售量的月增长率；
（2）该经销商决定开拓市场，此电动自行车的进价为2000元/辆，经测算在新市场中，当售价为2750元/辆时，月销售量为200辆，若在原售价的基础上每辆降价50元，则月销售量可多售出10辆．为使月销售利润达到75000元，则该品牌电动自行车的实际售价应定为多少元？
【分析】（1）设该品牌电动自行车销售量的月增长率为x，根据该品牌电动自行车1月份及3月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该品牌电动自行车应降价50y元销售，则月销售量为（200+10y）辆，根据月销售利润＝每辆电动自行车的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值，再将其代入（2750﹣50y）中即可求出结论．
【解析】（1）设该品牌电动自行车销售量的月增长率为x，
依题意，得：150（1+x）2＝216，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌电动自行车销售量的月增长率为20%．
（2）设该品牌电动自行车应降价50y元销售，则月销售量为（200+10y）辆，
依题意，得：（2750﹣2000﹣50y）（200+10y）＝75000，
整理，得：y2+5y﹣150＝0，
解得：y1＝﹣15（不合题意，舍去），y2＝10，
∴2750﹣50y＝2250．
答：该品牌电动自行车的实际售价应定为2250元．
23．（2020秋•鹤城区期末）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于210cm？
（3）△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．
【分析】（1）经过x秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解；
（2）利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）令S△PQB＝7，根据三角形的面积公式列出方程，再根据b2﹣4ac得出原方程没有实数根，从而得出△PQB的面积不能等于7cm2．
【解析】（1）设经过x秒以后，△PBQ面积为4cm2（0＜x≤3.5）此时AP＝xcm，BP＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm，
由12BP⋅BQ=4，得12(5−x)×2x=4，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
解得：x＝1或x＝4（舍）；
答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；

（2）设经过t秒后，PQ的长度等于210cm，由PQ2＝BP2+BQ2，
即40＝（5﹣t）2+（2t）2，
解得：t＝﹣1（舍去）或3．
则3秒后，PQ的长度为210cm；

（3）假设经过t秒后，△PBQ的面积等于7cm2，即BP×BQ2=7，(5−t)×2t2=7，
整理得：t2﹣5t+7＝0，
由于b2﹣4ac＝25﹣28＝﹣3＜0，
则原方程没有实数根，所以△PQB的面积不能等于7cm2．
24．（2020秋•沙依巴克区期末）如图，某校准备一面利用墙，其余三面用篱笆围成一个矩形花圃ABCD．已知旧墙可利用的最大长度为13m，篱笆长为24m，设垂直于墙的AB边长为xm．
（1）若围成的花圃面积为70m2时，求BC的长；
（2）如图，若计划将花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为78m2，请你判断能否围成这样的花圃？如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）根据题意列方程，列方程即可得到结论；
（2）根据题意列方程，列方程即可得到结论．
【解析】（1）解：根据题意得：BC＝（24﹣2x）m，
则（24﹣2x）x＝70，
解得：x1＝5，x2＝7，
当x1＝5时，BC＝14x2＝7时，BC＝10，
墙可利用的最大长度为13m，BC＝14舍去．
答：BC的长为10m．
（2）解：不能围成这样的花圃．理由如下：
依题意可知：（24﹣3x）x＝78，
即x2﹣8x+26＝0，Δ＝82﹣4×1×26＝﹣40＜0，
所以方程无实数根，
答：不能围成这样的花圃．
25．（2020秋•台儿庄区期中）阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x，y，z构成“和谐三数组”．
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 65，2，3（答案不唯一） ；
（2）若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均不为0）的两根，x3是关于x的方程bx+c＝0（b，c均不为0）的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
【分析】（1）根据“和谐三数组”写成一组即可得出结论；
（2）先根据材料2，得出1x1+1x2=−bc，再求出一元一次方程的解，进而得出1x3=−bc，即可得出结论．
【解析】（1）∵12+13=56，
∴65，2，3是“和谐三数组”；
故答案为：65，2，3（答案不唯一）；
（2）证明：∵x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0 （a，b，c均不为0）的两根，
∴x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca，
∴1x1+1x2=x1+x2x1⋅x2=−baca=−bc，
∵x3是关于x的方程bx+c＝0（b，c均不为0）的解，
∴x3=−cb，
∴1x3=−bc，
∴1x1+1x2=1x3，
∴x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”．
26．（2019秋•渝北区校级月考）阅读下列材料：
（1）将一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形，叫做这个多项式的因式分解：例如a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法；
配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式
x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
再例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值．2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣4m﹣5；
（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值；
（3）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断此三角形的形状．
【分析】（1）根据完全平方公式把原式变形，根据平方差公式进行因式分解；
（2）根据完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可；
（3）先根据单项式乘多项式把原式化简，根据完全平方公式变形，根据偶次方的非负性得到a＝b，b＝c，根据等边三角形的概念解答即可．
【解析】（1）m2﹣4m﹣5
＝m2﹣4m+4﹣9
＝（m﹣2）2﹣32
＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）
＝（m+1）（m﹣5）；
（2）a2+b2﹣4a+6b+18
＝a2﹣4a+4+b2+6b+9+5
＝（a﹣2）2+（b+3）2+5，
当a＝2，b＝﹣3时，a2+b2﹣4a+6b+18有最小值5；
（3）∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，
∴a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0，
∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴a＝b，b＝c，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形．