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专题21.8判别式和根与系数的关系大题专练（重难点培优30题）-2021-2022学年九年级数学上册同步培优题典（解析版）【人教版】
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这是一份专题21.8判别式和根与系数的关系大题专练（重难点培优30题）-2021-2022学年九年级数学上册同步培优题典（解析版）【人教版】，共20页。
2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题21.8判别式和根与系数的关系大题专练（重难点培优30题）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷试题共30题，解答30道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共30小题）
1．（2020秋•武进区期中）已知关于x的一元二次方程nx2﹣2x+1＝0（n≠0）有实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）当n取最大值时，求方程nx2﹣2x+1＝0（n≠0）的根．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，且n≠0，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围；
（2）由（1）的结论可得出n的值，利用因式分解法解一元二次方程可得出答案．
【解析】：（1）b2﹣4ac＝22﹣4•n•1＝4﹣4n，
由“关于x的一元二次方程有实数根”得：
b2﹣4ac≥0，即：4﹣4n≥0，
解得：n≤1．
又∵n≠0，
∴n的取值范围是n≤1且n≠0．
（2）由n≤1且n≠0得：n的最大值为1，
把n＝1代入原方程得：
化简得：x2﹣2x+1＝0，
∴（x﹣1）2＝0，
解得：x1＝x2＝1．
2．（2020秋•曾都区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝2有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m＝1时，求方程x2﹣2x+m＝2的解．
【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+m＝2有两个不相等的实数根，可得△＞0，从而可以求得m的取值范围；
（2）利用配方法求解即可．
【解析】：（1）由题意可得，△＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝12﹣4m，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝12﹣4m＞0．
解得m＜3；
（2）当m＝1时，原方程为x2﹣2x﹣1＝0，
（x﹣1）2＝2，
解得x1＝1+2，x2＝1-2．
3．（2019秋•滦南县期中）已知关于x的方程mx2﹣2x+2﹣m＝0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）当m为何整数时，方程有两个不相等的整数根．
【分析】（1）分m＝0和m≠0两种情况求解，其中m≠0时求出判别式的值为4（m﹣1）2≥0，据此可得答案；
（2）先根据球根公式用m表示出x1、x2的值，再根据x1、x2均为整数即可得出m的值
【解析】：（1）当m＝0时，方程为﹣2x+2＝0，此时方程有解，解为x＝1；
当m≠0时，△＝（﹣2）2﹣4m×（2﹣m）
＝4﹣8m+4m2
＝4（m2﹣2m+1）
＝4（m﹣1）2≥0，此时方程有实数根；
综上，不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）∵（x﹣1）（mx﹣2+m）＝0，
∴x1=2-mm=2m-1，x2＝1．
要使x1，x2均为整数，2m必为整数．
∴当m取±1、±2时，x1，x2均为整数．
当m＝1时，△＝4（m﹣1）2＝0，此时方程有两个相等的实数根，不符合题意，舍去；
∴m的值为﹣1和﹣2，2．
4．（2020秋•安居区期末）已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根．
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出：△＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，由此即可证得结论；
（2）由等腰三角形的性质可知b＝c或b、c中有一个为5，①当b＝c时，根据根的判别式△＝0，解之求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系即可得出该种情况不合适；②当方程的一根为5时，将x＝5代入原方程求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系确定△ABC的三条边，结合三角形的周长即可得出结论．
【解答】（1）证明：△＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）∵△ABC为等腰三角形，
∴b＝c或b、c中有一个为5．
①当b＝c时，△＝（m﹣5）2＝0，
解得：m＝5，
∴原方程为x2﹣8x+16＝0，
解得：b＝c＝4，
∵b+c＝4+4＝8＞5，
∴4、4、5能构成三角形．
该三角形的周长为4+4+5＝13．
②当b或c中的一个为5时，将x＝5代入原方程，得：25﹣5m﹣15+4m﹣4＝0，
解得：m＝6，
∴原方程为x2﹣9x+20＝0，
解得：x1＝4，x2＝5．
∵4、5、5能组成三角形，
∴该三角形的周长为4+5+5＝14．
综上所述，该三角形的周长是13或14．
5．（2020秋•浦北县期末）已知一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0．
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值；
（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值．
【分析】（1）把x＝﹣1代入方程求出a即可．
（2）利用判别式根据不等式即可解决问题．
【解析】：（1）∵方程的一个根为x＝﹣1，
∴a﹣3+4+3＝0，
∴a＝4；
（2）由题意△≥0且a≠3
∴16﹣12（a﹣3）≥0，
解得a≤133，
∵a是正整数，
∴a＝1或2或4．
6．（2019秋•郾城区期中）已知▱ABCD边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+4＝0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？
（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？
【分析】（1）根据菱形的性质得出AB＝AD，根据根的判别式得出关于m的方程，求出m即可；
（2）根据根与系数的关系求出AD，再根据平行四边形的性质得出另外两边的长度，求出周长即可．
【解析】：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
即方程x2﹣mx+4＝0的两个相的等实数根，
△＝（﹣m）2﹣4×1×4＝0，
解得：m＝±4，
即方程为x2﹣4x+4＝0或x2+4x+4＝0，
解得：x＝2或﹣2，
∵边长不能为负数，
∴x＝2，
即AB＝AD＝2，
即m＝4；
（2）∵▱ABCD边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+4＝0的两个实数根，AB=2，
∴AD×2=4，
解得：AD＝22，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD=2，AD＝BC＝22，
∴▱ABCD的周长是2+2+22+22=62．
7．（2020秋•镇原县期末）已知关于x的方程x2+（m+2）x+（2m﹣1）＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是﹣1，请求出m的值和方程的另一个根．
【分析】（1）表示出方程根的判别式，判断出其值大于0，即可得证；
（2）把x＝﹣1代入方程求出m的值，利用根与系数关系求出另一根即可．
【解答】（1）证明：方程x2+（m+2）x+（2m﹣1）＝0，
∵a＝1，b＝m+2，c＝2m﹣1，
∴△＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝（m﹣2）2+4＞0，
则无论m取何实数值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：把x＝﹣1代入方程得：1﹣m﹣2+2m﹣1＝0，
解得：m＝2，
设另一根为a，则有﹣1+a＝﹣m﹣2＝﹣4，
解得：a＝﹣3，即方程的另一根为x＝﹣3．
8．（2019秋•资阳区校级月考）已知关于x的方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出k的值：若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义计算即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解方程即可．
【解析】：（1）∵方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴4（k+1）2﹣4k（k﹣1）＞0，
即12k+4＞0，
解得，k＞-13，
又k≠0，
∴k＞-13且k≠0；
（2）不存在．
x1+x2=2k+2k，x1•x2=k-1k，
由题意得，1x1+1x2=1，
即x1+x2x1x2=2k+2k-1=1，
解得，k＝﹣3，
∵k＞-13且k≠0时方程有两个不相等的实数根，
∴不存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于1．
9．（2020秋•绥棱县期末）已知关于x 的一元二次方程x2﹣5x+m＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；
（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3x1﹣2x2＝5，求实数m 的值．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，计算即可；
（2）根据根与系数的关系求出x2＝2，代入原方程计算即可．
【解析】：（1）∵方程有实数根，
∴△＝25﹣4m≥0，
解得，m≤254；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可知，x1+x2＝5，x1•x2＝m，
∵3x1﹣2x2＝5，
∴3x1+3x2﹣5x2＝5，
∴﹣5x2＝﹣10，
解得，x2＝2，
把x＝2代入原方程得，m＝6．
10．（2019秋•溧阳市期中）定义：如果含x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，根据下列条件回答问题：
（1）当a＝c时，请判断该“凤凰”方程根的情况，并说明理由；
（2）若“凤凰”方程m（x2+1）﹣3x2+nx＝0的两根之比为1：2，请求出m、n的值．
【分析】（1）根据“凤凰方程”得：a+b+c＝0，根据a＝c，得出b＝﹣2a，故b2﹣4ac＝（﹣2a）2﹣4a2，即可证得结论；
（2）根据“凤凰方程”得m﹣3+n+m＝0，即n＝3﹣2m，根据根与系数的关系得到3x=-nm-3，2x2=mm-3即可得到2×[-3-2m3(m-3)]2=mm-3，解方程即可求得m，进而求得n的值．
【解析】：（1）该“凤凰”方程有两个相等的实数根；
理由：∵ax2+bx+c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，
∴a+b+c＝0，
∵a＝c，
∴b＝﹣2a，
∴b2﹣4ac＝（﹣2a）2﹣4a2
＝4a2﹣4a2
＝0，
故该“凤凰”方程有两个相等的实数根；
（2）方程m（x2+1）﹣3x2+nx＝0可化为（m﹣3）x2+nx+m＝0，
∵该方程为“凤凰”方程，
∴m﹣3+n+m＝0，
即n＝3﹣2m，
由“凤凰”方程m（x2+1）﹣3x2+nx＝0的两根之比为1：2，可设一根为x，则另一根为2x，
∴3x=-nm-3，2x2=mm-3
∴2×[-3-2m3(m-3)]2=mm-3，
解得m＝6或﹣3，
∴n＝﹣9或9，
故m、n的值分别为6、﹣9或﹣3、9．
11．（2020秋•青羊区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2+4x+k﹣1＝0．
（1）若方程有两个实数根，求k的取值范围；
（2）若x1，x2是方程两实数根，且满足13（x1+x2）＜2x1x2，求k的取值范围．
【分析】（1）由题意△≥0，构建不等式即可解决问题；
（2）根据根与系数的关系可求出k的取值范围，即可解决问题；
【解析】：（1）由题意△≥0，
∴16﹣4k+4≥0，
∴k≤5．
（2）由题意得，x1，x2是方程两实数根，
∴x1+x2＝﹣4，x1•x2＝k﹣1，
∵13（x1+x2）＜2x1x2，
∴13×（﹣4）＜2（k﹣1），
解得，k＞13，
∵k≤5，
∴k的取值范围是13＜k≤5．
12．（2020秋•余干县期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1，x2满足1x1+1x2=k-2，求k的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4（k+2）≥0，然后解不等式即可得到k的范围；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1x2＝k+2，由题意得出关于k的方程，则可求出答案．
【解析】：（1）根据题意得△＝（﹣2）2﹣4（k+2）≥0，
解得k≤﹣1；
∴k的取值范围是k≤﹣1．
（2）根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝k+2，
∵x1，x2满足1x1+1x2=k﹣2，
∴x2+x1x1x2=k﹣2，
∴2k+2=k﹣2，
∴k2＝6，
∴k＝±6，
∵k≤﹣1，
∴k=-6．
13．（2020秋•炎陵县期末）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值．
【分析】（1）由一元二次方程的根的情况与判别式的关系可得△＞0，由此可解得m的值．
（2）根与系数的关系及已知条件可得关于m的一元二次方程，解得m的值并根据（1）中的所得的m的取值范围作出取舍即可得出答案．
【解析】：（1）根据题意得：
△＝（2m）2﹣4（m2+m）＞0，
解得：m＜0．
∴m的取值范围是m＜0．
（2）根据题意得：x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，
∵x12+x22＝12，
∴(x1+x2)2-2x1x2＝12，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，
∴解得：m1＝﹣2，m2＝3（不合题意，舍去），
∴m的值是﹣2．
14．（2020秋•溆浦县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（1﹣m）x+m2＝0．
（1）若该方程有实数根，求m的取值范围．
（2）若m＝﹣1时，求x2x1+x1x2的值．
【分析】（1）先用m的式子表示根的差别式，再根据方程有实数根知△≥0，列出不等式求解即可得m的取值范围；
（2）把m＝﹣1代入方程，再根据根与系数的关系求得两根的和与积，再把x2x1+x1x2变形，代入求解即可．
【解析】：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（1﹣m）x+m2＝0有实数根，
则△＝b2﹣4ac≥0，
即[﹣2（1﹣m）]2﹣4×1×m2≥0，
∴m≤12；
（2）当m＝﹣1时，x2﹣4x+1＝0，
设x1，x2是方程x2﹣4x+1＝0的两根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝1，
∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=42-2×1=14，
∴x2x1+x1x2=x22+x12x1x2=141=14．
15．（2021春•下城区期中）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k-12）＝0．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
（3）若方程的两个实数根之差等于3，求k的值．
【分析】（1）先计算△，化简得到△＝（2k﹣3）2，易证△≥0，再根据△意义即可得到结论；
（2）利用求根公式计算出方程的两根，然后分类讨论，依据三角形三边关系，最后计算周长；
（3）方程的两个实数根之差等于3，所以=3，解方程即可得k值．
【解析】：（1）△＝（2k+1）2﹣4×1×4（k-12）
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵无论k取何值，（2k﹣3）2≥0，
故这个方程总有两个实数根；
（2）由求根公式得x=2k+1±(2k-3)2，
∴x1＝2k﹣1，x2＝2．
∵另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，
设b＝2k﹣1，c＝2，
当a，b为腰时，则a＝b＝4，即2k﹣1＝4，计算得出k=52，
此时三角形周长为4+4+2＝10；
当b，c为腰时，b＝c＝2，此时b+c＝a，构不成三角形，
故此种情况不存在．
综上所述，△ABC周长为10．
（3）∵方程的两个实数根之差等于3，
∴=3，
解得：k＝0或3．
16．（2021•昆山市模拟）关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1，x2是该方程的两根，且满足两根的平方和等于3，求m的值．
【分析】（1）计算判别式的值得到△＝4m2+1，利用非负数的性质得△＞0，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝2m+1，x1x2＝m，利用x12+x22＝3得到（2m+1）2﹣2×m＝3，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：△＝（2m+1）2﹣4m＝4m2+1，
∵4m2≥0，
∴△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x1，x2是该方程的两根，则x1+x2＝2m+1，x1x2＝m，
∵x12+x22＝3，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝3，
∴（2m+1）2﹣2×m＝3，
解得m=12或﹣1．
17．（2020秋•郧西县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0．
（1）求证：无论a取何值时，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程两根的平方和为21，求a的值．
【分析】（1）计算方程的判别式，判断其符号即可；
（2）利用根与系数的关系，用a分别表示出两根和与两根积，结合条件可得到关于a的方程，则可求得a的值．
【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（a﹣3）]2﹣4（﹣a）＝a2﹣2a+9＝（a﹣1）2+8＞0，
∴无论a取何值时，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的两根分别为m、n，
∴m+n＝a﹣3，mn＝﹣a，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝（a﹣3）2+2a，
由题意可得（a﹣3）2+2a＝21，
解得a＝6或a＝﹣2．
18．（2019秋•普宁市期中）阅读材料：一元二次方程ax2+bx+C＝0（a≠0），当△≥0时，设两根为x1，x2，则两根与系数的关系为：x1+x2=-ba；x1•x2=ca．
应用：
（1）方程x2﹣2x+1＝0的两实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝ 2 ，x1•x2＝ 1 ．
（2）若关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0的有两个实数根x1，x2，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若满足|x1|＝x2，求实数m的值．
【分析】（1）根据根与系数的关系即可得到结论；
（2）根据根的判别式列不等式，即可得到结论；
（3）根据已知条件得到x1＝x2或x1＝﹣x2，当x1＝x2，当x1＝﹣x2，列方程即可得到结论．
【解析】：（1）x1+x2＝2，x1•x2＝1；
故答案为：2，1；
（2）∵关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0有两个实数根x1、x2，
∴△＝4（m+1）2﹣4m2≥0，
解得m≥-12；
（3）∵|x1|＝x2，
∴x1＝x2或x1＝﹣x2，
当x1＝x2，则△＝0，所以m=-12，
当x1＝﹣x2，即x1+x2＝2（m+1）＝0，
解得m＝﹣1，
而m≥-12，∴m＝﹣1舍去．
∴m的值为-12．
19．（2020秋•广水市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0．
（1）求证：无论m取任何的实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1、x2，且：x12+x22﹣2x1x2＝13，求m的值．
【分析】（1）只要证明△＞0恒成立即可；
（2）由题意可得，x1+x2＝m﹣2，x1x2＝﹣m，进行变形后代入即可求解．
【解析】：（1）证明：∵x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0，
∴△＝[﹣（m﹣2）]2﹣4×1×（﹣m）＝m2+4＞0，
∴无论m为任何的实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0，方程的两实根为x1、x2，
∴x1+x2＝m﹣2，x1x2＝﹣m，
又x12+x22-2x1x2=13，
∴(x1+x2)2-4x1x2=13，
∴（m﹣2）2﹣4×（﹣m）＝13，
解得，m1＝3，m2＝﹣3，
即m的值是3或﹣3．
20．（2020秋•雁江区期末）关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）设该方程两个同号的实数根为x1，x2，试问是否存在m使x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由：△＝m2﹣4×1×（m﹣2）＝（m﹣2）2+4＞0，可得答案；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣m，x1•x2＝m﹣2＞0，把x12+x22+m（x1+x2）进行变形，再代入求出，即可判断．
【解答】（1）证明：∵△＝m2﹣4×1×（m﹣2）
＝m2﹣4m+8
＝（m﹣2）2+4＞0，
∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：不存在，
理由是：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0的两个同号的实数根，
∴x1+x2＝﹣m，x1•x2＝m﹣2＞0，
∴x12+x22+m（x1+x2）＝（x1+x2）2﹣2x1•x2+m（x1+x2）＝m2﹣2（m﹣2）﹣m2＝﹣2（m﹣2）＜0，
∵m2+1＞0，
∴不存在m使x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1成立．
21．（2019春•西湖区校级月考）已知：△ABC的三边分别是a，b，c，方程4x2+4ax+2b-c=0有两个相等的实数根，且a，b，c满足3a﹣2c＝b，
（1）判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）若a，b为方程x2﹣2kx+（﹣2k+3）＝0的两根，求k的值．
【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根得出△＝（4a）2﹣4×4×（2b﹣c）＝0，即a＝2b﹣c，代入3a﹣2c＝b可得b＝c，代入a＝2b﹣c得a＝b；
（2）根据题意知方程x2﹣2kx﹣（2k﹣3）＝0有两个相等的实数根，据此得△＝（﹣2k）2﹣4×1×[﹣（2k﹣3）]＝0，即k2+2k﹣3＝0，解之可得k＝﹣3或k＝1，代回方程求得x的值，判断是否符合题意即可．
【解析】：（1）∵方程4x2+4ax+2b-c=0有两个相等的实数根，
∴△＝（4a）2﹣4×4×（2b﹣c）＝0，即a＝2b﹣c，
∵3a﹣2c＝b，
∴3（2b﹣c）﹣2c＝b，即b＝c，
将b＝c代入a＝2b﹣c得：a＝b，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形；
（2）∵a、b为方程x2﹣2kx﹣（2k﹣3）＝0两根，且a＝b，
∴△＝（﹣2k）2﹣4×1×[﹣（2k﹣3）]＝0，即k2+2k﹣3＝0，
解得：k＝1或k＝﹣3，
当k＝﹣3时，方程为x2+6x+9＝0，解得：x1＝x2＝﹣3＜0（舍）；
当k＝1时，方程为x2﹣2x+1＝0，解得：x1＝x2＝1，（符合题意）；
故k＝1．
22．（2021春•茅箭区月考）已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+3x＝2m﹣3有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根满足x1•x2-x12﹣x22+7＝0，求m的值．
【分析】将原方程变形为一般式．
（1）由方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出△＝﹣4m﹣3≥0，解之即可得出结论；
（2）由根与系数的关系可用m表示出x1+x2和x1x2，利用已知条件可得到关于m的方程，则可求得m的值．
【解析】：原方程可变形为x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣2m+3＝0．
（1）∵原方程有两个实数根，
∴△＝[﹣（2m﹣3）]2﹣4（m2﹣2m+3）＝﹣4m﹣3≥0，
解得：m≤-34．
（2）∵方程的两实根分别为x1与x2，
∴x1+x2＝2m﹣3，x1•x2＝m2﹣2m+3，
∵x1•x2-x12﹣x22+7＝0，
∴3（m2﹣2m+3）﹣（2m﹣3）2+7＝0，即﹣（m﹣3）2+16＝0．
解得m1＝﹣1，m2＝7，
∵m≤-34，
∴m＝﹣1．
23．（2021•硚口区模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若1是方程的一个根，求k的值及方程的另一个根．
【分析】（1）由方程根的情况可得到关于k的不等式，可求得k的取值范围；
（2）把x＝1代入方程可求得k的值，再解方程可求得另一根．
【解析】：（1）根据题意得△＝22+4k＞0，
解得k＞﹣1；
（2）把x＝1代入方程可得1+2﹣k＝0，解得k＝3，
∴方程为x2+2x﹣3＝0，解得x＝1或x＝﹣3，
即方程的另一根为﹣3．
24．（2020秋•常州期末）已知关于x的一元二次方程x2+2mx﹣n2+5＝0．
（1）当m＝1时，该一元二次方程的一个根是1，求n的值；
（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根．
①求m、n满足的关系式；
②在x轴上取点H，使得OH＝|m|，过点H作x轴的垂线l，在垂线l上取点P，使得PH＝|n|，则点P到点（3，4）的距离最小值是 5-5 ．
【分析】（1）把m＝1，x＝1代入方程得1+2﹣n2+5＝0，然后解关于n的方程即可；
（2）①利用判别式的意义得到△＝4m2﹣4（﹣n2+5）＝0，从而得到m与n的关系；
②利用勾股定理得到OP=m2+n2=5，则点P在以O点为圆心，5为半径的圆上，然后根据点与圆的位置关系判断点P到点（3，4）的距离最小值．
【解析】：（1）把m＝1，x＝1代入方程得1+2﹣n2+5＝0，
解得n＝±22，
即n的值为±22；
（2）①根据题意得△＝4m2﹣4（﹣n2+5）＝0，
整理得m2+n2＝5；
②∵OH＝|m|，PH＝|n|，
∴OP=m2+n2=5，
即点P在以O点为圆心，5为半径的圆上，
∴原点与点（3，4）的连线与⊙O的交点P使点P到点（3，4）的距离最小，
∵原点到点（3，4）的距离为32+42=5，
∴点P到点（3，4）的距离最小值是5-5．
故答案为5-5．
25．（2020秋•盐城期末）已知关于x的方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．
（1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根．
（2）如果这个方程的根的判别式的值等于1，求m的值．
【分析】（1）先计算判别式的值得到△＝m2﹣2m+1，配方得△＝（m﹣1）2，再根据非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论．
（2）利用判别式的定义得到△＝（3m﹣1）2﹣4m（2m﹣1）＝1，解m的方程，再利用一元二次方程的定义确定m＝2．
【解析】：（1）①当m＝0时，该方程是关于x的一元一次方程，符合题意；
②关于x的一元二次方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．
∵△＝（5m﹣1）2﹣8m（3m﹣1）＝（m﹣1）2≥0，
∴无论m为任何实数，方程总有实根．
（2）由题意得，△＝（m﹣1）2＝1，
解得m1＝0，m2＝2，
而m≠0，
∴m＝2．
26．（2020秋•江都区月考）已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+m2-14=0的两个实数根．
（1）当m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为1，那么平行四边形ABCD的周长是多少？
【分析】（1）根据菱形的性质可得出AB＝AD，结合根的判别式，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长；
（2）将x＝1代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程结合根与系数的关系可求出方程的另一根AD的长，再根据平行四边形的周长公式即可求出▱ABCD的周长．
【解析】：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD．
又∵AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+m2-14=0的两个实数根，
∴△＝（﹣m）2﹣4×（m2-14）＝（m﹣1）2＝0，
∴m＝1，
∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．
当m＝1时，原方程为x2﹣x+14=0，即（x-12）2＝0，
解得：x1＝x2=12，
∴菱形ABCD的边长是12．
（2）把x＝1代入原方程，得：1﹣m+m2-14=0，
解得：m=32．
将m=32代入原方程，得：x2-32x+12=0，
解得x＝1或12，
∴方程的另一根AD=12，
∴▱ABCD的周长是2×（1+12）＝3．
27．（2021•江西模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设两个实数根是x1和x2，且x1+x2﹣2x1x2＝2，则k的值为 ﹣1 ．
【分析】（1）根据一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，可得△＞0，从而可以求得k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系和x1+x2﹣2x1x2＝2，可以求得k的值．
【解析】：（1）∵一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4（k﹣1）＞0，
解得k＜2，
即k的取值范围是k＜2；
（2）∵一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根是x1和x2，
∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，
∵x1+x2﹣2x1x2＝2，
∴﹣2﹣2（k﹣1）＝2，
∴k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
28．（2020秋•来宾期末）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．
【分析】（1）根据根的判别式判断可得；
（2）将x＝1代入原方程求出a的值，将a代入原方程可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】：（1）∵△＝a2﹣4×1×（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝（a﹣2）2+4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）将x＝1代入方程，得：1+a+a﹣2＝0，
解得a=12，
将a=12代入方程，整理可得：2x2+x﹣3＝0，
即（x﹣1）（2x+3）＝0，
解得x＝1或x=-32，
∴该方程的另一个根-32．
29．（2021春•蜀山区校级期中）已知关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0．
（1）当该方程的一个根为0时，求m的值及方程的另一根；
（2）若该方程有两个不相等的实数根，求符合条件的正整数m的值．
【分析】（1）求出m＝2，解方程可得出答案；
（2）两个不相等实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范围，则可得出答案．
【解析】：（1）当x＝0时，0+0+m﹣2＝0
∴m＝2，
∴x2+2x＝0，
∴x＝0或x＝﹣2，
即方程的另一根是﹣2；
（2））∵关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝22﹣4（m﹣2）＝﹣4m+12＞0，
∴m＜3，
∵m为正整数，
∴m＝1，2．
30．（2021春•拱墅区校级期中）已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）．
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x=1r是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求msnt的值．
【分析】（1）根据根与系数的关系即可求得a、b的值，即可得到方程②，然后利用因式分解法解方程②即可；
（2）根据方程根的定义得到r2+br+a＝0，两边同除r2得ar2+br+1＝0，即可证得x=1r是方程②的根；
（3）根据题意b＝0，根据根与系数的关系得到m+n＝0，s+t＝0，从而得到m＝﹣n，s＝﹣t，即可得到ms＝nt，进而求得msnt=1．
【解析】：（1）∵方程x2+bx+a＝0的根为x1＝2，x2＝3，
∴﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，
∴方程②为6x2﹣5x+1＝0，
（3x﹣1）（2x﹣1）＝0，
∴方程②的根为x1=13，x2=12；
（2）∵方程①有一根为x＝r，
∴r2+br+a＝0，
两边同除r2得ar2+br+1＝0，
∴1r是方程ax2+bx+1＝0的根，
∴x=1r是方程②的根；
（3）∵a2b+b＝0，
∴b＝0，
∵方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，
∴m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st=1a，
∴a=1st=mn，m＝﹣n，s＝﹣t，
∴ms＝nt，
∴msnt=1．
2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题21.8判别式和根与系数的关系大题专练（重难点培优30题）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷试题共30题，解答30道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共30小题）
1．（2020秋•武进区期中）已知关于x的一元二次方程nx2﹣2x+1＝0（n≠0）有实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）当n取最大值时，求方程nx2﹣2x+1＝0（n≠0）的根．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，且n≠0，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围；
（2）由（1）的结论可得出n的值，利用因式分解法解一元二次方程可得出答案．
【解析】：（1）b2﹣4ac＝22﹣4•n•1＝4﹣4n，
由“关于x的一元二次方程有实数根”得：
b2﹣4ac≥0，即：4﹣4n≥0，
解得：n≤1．
又∵n≠0，
∴n的取值范围是n≤1且n≠0．
（2）由n≤1且n≠0得：n的最大值为1，
把n＝1代入原方程得：
化简得：x2﹣2x+1＝0，
∴（x﹣1）2＝0，
解得：x1＝x2＝1．
2．（2020秋•曾都区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝2有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m＝1时，求方程x2﹣2x+m＝2的解．
【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+m＝2有两个不相等的实数根，可得△＞0，从而可以求得m的取值范围；
（2）利用配方法求解即可．
【解析】：（1）由题意可得，△＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝12﹣4m，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝12﹣4m＞0．
解得m＜3；
（2）当m＝1时，原方程为x2﹣2x﹣1＝0，
（x﹣1）2＝2，
解得x1＝1+2，x2＝1-2．
3．（2019秋•滦南县期中）已知关于x的方程mx2﹣2x+2﹣m＝0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）当m为何整数时，方程有两个不相等的整数根．
【分析】（1）分m＝0和m≠0两种情况求解，其中m≠0时求出判别式的值为4（m﹣1）2≥0，据此可得答案；
（2）先根据球根公式用m表示出x1、x2的值，再根据x1、x2均为整数即可得出m的值
【解析】：（1）当m＝0时，方程为﹣2x+2＝0，此时方程有解，解为x＝1；
当m≠0时，△＝（﹣2）2﹣4m×（2﹣m）
＝4﹣8m+4m2
＝4（m2﹣2m+1）
＝4（m﹣1）2≥0，此时方程有实数根；
综上，不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）∵（x﹣1）（mx﹣2+m）＝0，
∴x1=2-mm=2m-1，x2＝1．
要使x1，x2均为整数，2m必为整数．
∴当m取±1、±2时，x1，x2均为整数．
当m＝1时，△＝4（m﹣1）2＝0，此时方程有两个相等的实数根，不符合题意，舍去；
∴m的值为﹣1和﹣2，2．
4．（2020秋•安居区期末）已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根．
（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出：△＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，由此即可证得结论；
（2）由等腰三角形的性质可知b＝c或b、c中有一个为5，①当b＝c时，根据根的判别式△＝0，解之求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系即可得出该种情况不合适；②当方程的一根为5时，将x＝5代入原方程求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系确定△ABC的三条边，结合三角形的周长即可得出结论．
【解答】（1）证明：△＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）∵△ABC为等腰三角形，
∴b＝c或b、c中有一个为5．
①当b＝c时，△＝（m﹣5）2＝0，
解得：m＝5，
∴原方程为x2﹣8x+16＝0，
解得：b＝c＝4，
∵b+c＝4+4＝8＞5，
∴4、4、5能构成三角形．
该三角形的周长为4+4+5＝13．
②当b或c中的一个为5时，将x＝5代入原方程，得：25﹣5m﹣15+4m﹣4＝0，
解得：m＝6，
∴原方程为x2﹣9x+20＝0，
解得：x1＝4，x2＝5．
∵4、5、5能组成三角形，
∴该三角形的周长为4+5+5＝14．
综上所述，该三角形的周长是13或14．
5．（2020秋•浦北县期末）已知一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0．
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值；
（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值．
【分析】（1）把x＝﹣1代入方程求出a即可．
（2）利用判别式根据不等式即可解决问题．
【解析】：（1）∵方程的一个根为x＝﹣1，
∴a﹣3+4+3＝0，
∴a＝4；
（2）由题意△≥0且a≠3
∴16﹣12（a﹣3）≥0，
解得a≤133，
∵a是正整数，
∴a＝1或2或4．
6．（2019秋•郾城区期中）已知▱ABCD边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+4＝0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？
（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？
【分析】（1）根据菱形的性质得出AB＝AD，根据根的判别式得出关于m的方程，求出m即可；
（2）根据根与系数的关系求出AD，再根据平行四边形的性质得出另外两边的长度，求出周长即可．
【解析】：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
即方程x2﹣mx+4＝0的两个相的等实数根，
△＝（﹣m）2﹣4×1×4＝0，
解得：m＝±4，
即方程为x2﹣4x+4＝0或x2+4x+4＝0，
解得：x＝2或﹣2，
∵边长不能为负数，
∴x＝2，
即AB＝AD＝2，
即m＝4；
（2）∵▱ABCD边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+4＝0的两个实数根，AB=2，
∴AD×2=4，
解得：AD＝22，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD=2，AD＝BC＝22，
∴▱ABCD的周长是2+2+22+22=62．
7．（2020秋•镇原县期末）已知关于x的方程x2+（m+2）x+（2m﹣1）＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是﹣1，请求出m的值和方程的另一个根．
【分析】（1）表示出方程根的判别式，判断出其值大于0，即可得证；
（2）把x＝﹣1代入方程求出m的值，利用根与系数关系求出另一根即可．
【解答】（1）证明：方程x2+（m+2）x+（2m﹣1）＝0，
∵a＝1，b＝m+2，c＝2m﹣1，
∴△＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝（m﹣2）2+4＞0，
则无论m取何实数值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：把x＝﹣1代入方程得：1﹣m﹣2+2m﹣1＝0，
解得：m＝2，
设另一根为a，则有﹣1+a＝﹣m﹣2＝﹣4，
解得：a＝﹣3，即方程的另一根为x＝﹣3．
8．（2019秋•资阳区校级月考）已知关于x的方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出k的值：若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义计算即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解方程即可．
【解析】：（1）∵方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴4（k+1）2﹣4k（k﹣1）＞0，
即12k+4＞0，
解得，k＞-13，
又k≠0，
∴k＞-13且k≠0；
（2）不存在．
x1+x2=2k+2k，x1•x2=k-1k，
由题意得，1x1+1x2=1，
即x1+x2x1x2=2k+2k-1=1，
解得，k＝﹣3，
∵k＞-13且k≠0时方程有两个不相等的实数根，
∴不存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于1．
9．（2020秋•绥棱县期末）已知关于x 的一元二次方程x2﹣5x+m＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；
（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3x1﹣2x2＝5，求实数m 的值．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，计算即可；
（2）根据根与系数的关系求出x2＝2，代入原方程计算即可．
【解析】：（1）∵方程有实数根，
∴△＝25﹣4m≥0，
解得，m≤254；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可知，x1+x2＝5，x1•x2＝m，
∵3x1﹣2x2＝5，
∴3x1+3x2﹣5x2＝5，
∴﹣5x2＝﹣10，
解得，x2＝2，
把x＝2代入原方程得，m＝6．
10．（2019秋•溧阳市期中）定义：如果含x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，根据下列条件回答问题：
（1）当a＝c时，请判断该“凤凰”方程根的情况，并说明理由；
（2）若“凤凰”方程m（x2+1）﹣3x2+nx＝0的两根之比为1：2，请求出m、n的值．
【分析】（1）根据“凤凰方程”得：a+b+c＝0，根据a＝c，得出b＝﹣2a，故b2﹣4ac＝（﹣2a）2﹣4a2，即可证得结论；
（2）根据“凤凰方程”得m﹣3+n+m＝0，即n＝3﹣2m，根据根与系数的关系得到3x=-nm-3，2x2=mm-3即可得到2×[-3-2m3(m-3)]2=mm-3，解方程即可求得m，进而求得n的值．
【解析】：（1）该“凤凰”方程有两个相等的实数根；
理由：∵ax2+bx+c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，
∴a+b+c＝0，
∵a＝c，
∴b＝﹣2a，
∴b2﹣4ac＝（﹣2a）2﹣4a2
＝4a2﹣4a2
＝0，
故该“凤凰”方程有两个相等的实数根；
（2）方程m（x2+1）﹣3x2+nx＝0可化为（m﹣3）x2+nx+m＝0，
∵该方程为“凤凰”方程，
∴m﹣3+n+m＝0，
即n＝3﹣2m，
由“凤凰”方程m（x2+1）﹣3x2+nx＝0的两根之比为1：2，可设一根为x，则另一根为2x，
∴3x=-nm-3，2x2=mm-3
∴2×[-3-2m3(m-3)]2=mm-3，
解得m＝6或﹣3，
∴n＝﹣9或9，
故m、n的值分别为6、﹣9或﹣3、9．
11．（2020秋•青羊区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2+4x+k﹣1＝0．
（1）若方程有两个实数根，求k的取值范围；
（2）若x1，x2是方程两实数根，且满足13（x1+x2）＜2x1x2，求k的取值范围．
【分析】（1）由题意△≥0，构建不等式即可解决问题；
（2）根据根与系数的关系可求出k的取值范围，即可解决问题；
【解析】：（1）由题意△≥0，
∴16﹣4k+4≥0，
∴k≤5．
（2）由题意得，x1，x2是方程两实数根，
∴x1+x2＝﹣4，x1•x2＝k﹣1，
∵13（x1+x2）＜2x1x2，
∴13×（﹣4）＜2（k﹣1），
解得，k＞13，
∵k≤5，
∴k的取值范围是13＜k≤5．
12．（2020秋•余干县期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1，x2满足1x1+1x2=k-2，求k的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4（k+2）≥0，然后解不等式即可得到k的范围；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1x2＝k+2，由题意得出关于k的方程，则可求出答案．
【解析】：（1）根据题意得△＝（﹣2）2﹣4（k+2）≥0，
解得k≤﹣1；
∴k的取值范围是k≤﹣1．
（2）根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝k+2，
∵x1，x2满足1x1+1x2=k﹣2，
∴x2+x1x1x2=k﹣2，
∴2k+2=k﹣2，
∴k2＝6，
∴k＝±6，
∵k≤﹣1，
∴k=-6．
13．（2020秋•炎陵县期末）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值．
【分析】（1）由一元二次方程的根的情况与判别式的关系可得△＞0，由此可解得m的值．
（2）根与系数的关系及已知条件可得关于m的一元二次方程，解得m的值并根据（1）中的所得的m的取值范围作出取舍即可得出答案．
【解析】：（1）根据题意得：
△＝（2m）2﹣4（m2+m）＞0，
解得：m＜0．
∴m的取值范围是m＜0．
（2）根据题意得：x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，
∵x12+x22＝12，
∴(x1+x2)2-2x1x2＝12，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，
∴解得：m1＝﹣2，m2＝3（不合题意，舍去），
∴m的值是﹣2．
14．（2020秋•溆浦县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（1﹣m）x+m2＝0．
（1）若该方程有实数根，求m的取值范围．
（2）若m＝﹣1时，求x2x1+x1x2的值．
【分析】（1）先用m的式子表示根的差别式，再根据方程有实数根知△≥0，列出不等式求解即可得m的取值范围；
（2）把m＝﹣1代入方程，再根据根与系数的关系求得两根的和与积，再把x2x1+x1x2变形，代入求解即可．
【解析】：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（1﹣m）x+m2＝0有实数根，
则△＝b2﹣4ac≥0，
即[﹣2（1﹣m）]2﹣4×1×m2≥0，
∴m≤12；
（2）当m＝﹣1时，x2﹣4x+1＝0，
设x1，x2是方程x2﹣4x+1＝0的两根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝1，
∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=42-2×1=14，
∴x2x1+x1x2=x22+x12x1x2=141=14．
15．（2021春•下城区期中）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k-12）＝0．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
（3）若方程的两个实数根之差等于3，求k的值．
【分析】（1）先计算△，化简得到△＝（2k﹣3）2，易证△≥0，再根据△意义即可得到结论；
（2）利用求根公式计算出方程的两根，然后分类讨论，依据三角形三边关系，最后计算周长；
（3）方程的两个实数根之差等于3，所以=3，解方程即可得k值．
【解析】：（1）△＝（2k+1）2﹣4×1×4（k-12）
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵无论k取何值，（2k﹣3）2≥0，
故这个方程总有两个实数根；
（2）由求根公式得x=2k+1±(2k-3)2，
∴x1＝2k﹣1，x2＝2．
∵另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，
设b＝2k﹣1，c＝2，
当a，b为腰时，则a＝b＝4，即2k﹣1＝4，计算得出k=52，
此时三角形周长为4+4+2＝10；
当b，c为腰时，b＝c＝2，此时b+c＝a，构不成三角形，
故此种情况不存在．
综上所述，△ABC周长为10．
（3）∵方程的两个实数根之差等于3，
∴=3，
解得：k＝0或3．
16．（2021•昆山市模拟）关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1，x2是该方程的两根，且满足两根的平方和等于3，求m的值．
【分析】（1）计算判别式的值得到△＝4m2+1，利用非负数的性质得△＞0，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝2m+1，x1x2＝m，利用x12+x22＝3得到（2m+1）2﹣2×m＝3，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：△＝（2m+1）2﹣4m＝4m2+1，
∵4m2≥0，
∴△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x1，x2是该方程的两根，则x1+x2＝2m+1，x1x2＝m，
∵x12+x22＝3，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝3，
∴（2m+1）2﹣2×m＝3，
解得m=12或﹣1．
17．（2020秋•郧西县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0．
（1）求证：无论a取何值时，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程两根的平方和为21，求a的值．
【分析】（1）计算方程的判别式，判断其符号即可；
（2）利用根与系数的关系，用a分别表示出两根和与两根积，结合条件可得到关于a的方程，则可求得a的值．
【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（a﹣3）]2﹣4（﹣a）＝a2﹣2a+9＝（a﹣1）2+8＞0，
∴无论a取何值时，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的两根分别为m、n，
∴m+n＝a﹣3，mn＝﹣a，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝（a﹣3）2+2a，
由题意可得（a﹣3）2+2a＝21，
解得a＝6或a＝﹣2．
18．（2019秋•普宁市期中）阅读材料：一元二次方程ax2+bx+C＝0（a≠0），当△≥0时，设两根为x1，x2，则两根与系数的关系为：x1+x2=-ba；x1•x2=ca．
应用：
（1）方程x2﹣2x+1＝0的两实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝ 2 ，x1•x2＝ 1 ．
（2）若关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0的有两个实数根x1，x2，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若满足|x1|＝x2，求实数m的值．
【分析】（1）根据根与系数的关系即可得到结论；
（2）根据根的判别式列不等式，即可得到结论；
（3）根据已知条件得到x1＝x2或x1＝﹣x2，当x1＝x2，当x1＝﹣x2，列方程即可得到结论．
【解析】：（1）x1+x2＝2，x1•x2＝1；
故答案为：2，1；
（2）∵关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0有两个实数根x1、x2，
∴△＝4（m+1）2﹣4m2≥0，
解得m≥-12；
（3）∵|x1|＝x2，
∴x1＝x2或x1＝﹣x2，
当x1＝x2，则△＝0，所以m=-12，
当x1＝﹣x2，即x1+x2＝2（m+1）＝0，
解得m＝﹣1，
而m≥-12，∴m＝﹣1舍去．
∴m的值为-12．
19．（2020秋•广水市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0．
（1）求证：无论m取任何的实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1、x2，且：x12+x22﹣2x1x2＝13，求m的值．
【分析】（1）只要证明△＞0恒成立即可；
（2）由题意可得，x1+x2＝m﹣2，x1x2＝﹣m，进行变形后代入即可求解．
【解析】：（1）证明：∵x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0，
∴△＝[﹣（m﹣2）]2﹣4×1×（﹣m）＝m2+4＞0，
∴无论m为任何的实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0，方程的两实根为x1、x2，
∴x1+x2＝m﹣2，x1x2＝﹣m，
又x12+x22-2x1x2=13，
∴(x1+x2)2-4x1x2=13，
∴（m﹣2）2﹣4×（﹣m）＝13，
解得，m1＝3，m2＝﹣3，
即m的值是3或﹣3．
20．（2020秋•雁江区期末）关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）设该方程两个同号的实数根为x1，x2，试问是否存在m使x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由：△＝m2﹣4×1×（m﹣2）＝（m﹣2）2+4＞0，可得答案；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣m，x1•x2＝m﹣2＞0，把x12+x22+m（x1+x2）进行变形，再代入求出，即可判断．
【解答】（1）证明：∵△＝m2﹣4×1×（m﹣2）
＝m2﹣4m+8
＝（m﹣2）2+4＞0，
∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：不存在，
理由是：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0的两个同号的实数根，
∴x1+x2＝﹣m，x1•x2＝m﹣2＞0，
∴x12+x22+m（x1+x2）＝（x1+x2）2﹣2x1•x2+m（x1+x2）＝m2﹣2（m﹣2）﹣m2＝﹣2（m﹣2）＜0，
∵m2+1＞0，
∴不存在m使x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1成立．
21．（2019春•西湖区校级月考）已知：△ABC的三边分别是a，b，c，方程4x2+4ax+2b-c=0有两个相等的实数根，且a，b，c满足3a﹣2c＝b，
（1）判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）若a，b为方程x2﹣2kx+（﹣2k+3）＝0的两根，求k的值．
【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根得出△＝（4a）2﹣4×4×（2b﹣c）＝0，即a＝2b﹣c，代入3a﹣2c＝b可得b＝c，代入a＝2b﹣c得a＝b；
（2）根据题意知方程x2﹣2kx﹣（2k﹣3）＝0有两个相等的实数根，据此得△＝（﹣2k）2﹣4×1×[﹣（2k﹣3）]＝0，即k2+2k﹣3＝0，解之可得k＝﹣3或k＝1，代回方程求得x的值，判断是否符合题意即可．
【解析】：（1）∵方程4x2+4ax+2b-c=0有两个相等的实数根，
∴△＝（4a）2﹣4×4×（2b﹣c）＝0，即a＝2b﹣c，
∵3a﹣2c＝b，
∴3（2b﹣c）﹣2c＝b，即b＝c，
将b＝c代入a＝2b﹣c得：a＝b，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形；
（2）∵a、b为方程x2﹣2kx﹣（2k﹣3）＝0两根，且a＝b，
∴△＝（﹣2k）2﹣4×1×[﹣（2k﹣3）]＝0，即k2+2k﹣3＝0，
解得：k＝1或k＝﹣3，
当k＝﹣3时，方程为x2+6x+9＝0，解得：x1＝x2＝﹣3＜0（舍）；
当k＝1时，方程为x2﹣2x+1＝0，解得：x1＝x2＝1，（符合题意）；
故k＝1．
22．（2021春•茅箭区月考）已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+3x＝2m﹣3有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根满足x1•x2-x12﹣x22+7＝0，求m的值．
【分析】将原方程变形为一般式．
（1）由方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出△＝﹣4m﹣3≥0，解之即可得出结论；
（2）由根与系数的关系可用m表示出x1+x2和x1x2，利用已知条件可得到关于m的方程，则可求得m的值．
【解析】：原方程可变形为x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣2m+3＝0．
（1）∵原方程有两个实数根，
∴△＝[﹣（2m﹣3）]2﹣4（m2﹣2m+3）＝﹣4m﹣3≥0，
解得：m≤-34．
（2）∵方程的两实根分别为x1与x2，
∴x1+x2＝2m﹣3，x1•x2＝m2﹣2m+3，
∵x1•x2-x12﹣x22+7＝0，
∴3（m2﹣2m+3）﹣（2m﹣3）2+7＝0，即﹣（m﹣3）2+16＝0．
解得m1＝﹣1，m2＝7，
∵m≤-34，
∴m＝﹣1．
23．（2021•硚口区模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若1是方程的一个根，求k的值及方程的另一个根．
【分析】（1）由方程根的情况可得到关于k的不等式，可求得k的取值范围；
（2）把x＝1代入方程可求得k的值，再解方程可求得另一根．
【解析】：（1）根据题意得△＝22+4k＞0，
解得k＞﹣1；
（2）把x＝1代入方程可得1+2﹣k＝0，解得k＝3，
∴方程为x2+2x﹣3＝0，解得x＝1或x＝﹣3，
即方程的另一根为﹣3．
24．（2020秋•常州期末）已知关于x的一元二次方程x2+2mx﹣n2+5＝0．
（1）当m＝1时，该一元二次方程的一个根是1，求n的值；
（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根．
①求m、n满足的关系式；
②在x轴上取点H，使得OH＝|m|，过点H作x轴的垂线l，在垂线l上取点P，使得PH＝|n|，则点P到点（3，4）的距离最小值是 5-5 ．
【分析】（1）把m＝1，x＝1代入方程得1+2﹣n2+5＝0，然后解关于n的方程即可；
（2）①利用判别式的意义得到△＝4m2﹣4（﹣n2+5）＝0，从而得到m与n的关系；
②利用勾股定理得到OP=m2+n2=5，则点P在以O点为圆心，5为半径的圆上，然后根据点与圆的位置关系判断点P到点（3，4）的距离最小值．
【解析】：（1）把m＝1，x＝1代入方程得1+2﹣n2+5＝0，
解得n＝±22，
即n的值为±22；
（2）①根据题意得△＝4m2﹣4（﹣n2+5）＝0，
整理得m2+n2＝5；
②∵OH＝|m|，PH＝|n|，
∴OP=m2+n2=5，
即点P在以O点为圆心，5为半径的圆上，
∴原点与点（3，4）的连线与⊙O的交点P使点P到点（3，4）的距离最小，
∵原点到点（3，4）的距离为32+42=5，
∴点P到点（3，4）的距离最小值是5-5．
故答案为5-5．
25．（2020秋•盐城期末）已知关于x的方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．
（1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根．
（2）如果这个方程的根的判别式的值等于1，求m的值．
【分析】（1）先计算判别式的值得到△＝m2﹣2m+1，配方得△＝（m﹣1）2，再根据非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论．
（2）利用判别式的定义得到△＝（3m﹣1）2﹣4m（2m﹣1）＝1，解m的方程，再利用一元二次方程的定义确定m＝2．
【解析】：（1）①当m＝0时，该方程是关于x的一元一次方程，符合题意；
②关于x的一元二次方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．
∵△＝（5m﹣1）2﹣8m（3m﹣1）＝（m﹣1）2≥0，
∴无论m为任何实数，方程总有实根．
（2）由题意得，△＝（m﹣1）2＝1，
解得m1＝0，m2＝2，
而m≠0，
∴m＝2．
26．（2020秋•江都区月考）已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+m2-14=0的两个实数根．
（1）当m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为1，那么平行四边形ABCD的周长是多少？
【分析】（1）根据菱形的性质可得出AB＝AD，结合根的判别式，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长；
（2）将x＝1代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程结合根与系数的关系可求出方程的另一根AD的长，再根据平行四边形的周长公式即可求出▱ABCD的周长．
【解析】：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD．
又∵AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+m2-14=0的两个实数根，
∴△＝（﹣m）2﹣4×（m2-14）＝（m﹣1）2＝0，
∴m＝1，
∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．
当m＝1时，原方程为x2﹣x+14=0，即（x-12）2＝0，
解得：x1＝x2=12，
∴菱形ABCD的边长是12．
（2）把x＝1代入原方程，得：1﹣m+m2-14=0，
解得：m=32．
将m=32代入原方程，得：x2-32x+12=0，
解得x＝1或12，
∴方程的另一根AD=12，
∴▱ABCD的周长是2×（1+12）＝3．
27．（2021•江西模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设两个实数根是x1和x2，且x1+x2﹣2x1x2＝2，则k的值为 ﹣1 ．
【分析】（1）根据一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，可得△＞0，从而可以求得k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系和x1+x2﹣2x1x2＝2，可以求得k的值．
【解析】：（1）∵一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4（k﹣1）＞0，
解得k＜2，
即k的取值范围是k＜2；
（2）∵一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根是x1和x2，
∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，
∵x1+x2﹣2x1x2＝2，
∴﹣2﹣2（k﹣1）＝2，
∴k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
28．（2020秋•来宾期末）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．
【分析】（1）根据根的判别式判断可得；
（2）将x＝1代入原方程求出a的值，将a代入原方程可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】：（1）∵△＝a2﹣4×1×（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝（a﹣2）2+4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）将x＝1代入方程，得：1+a+a﹣2＝0，
解得a=12，
将a=12代入方程，整理可得：2x2+x﹣3＝0，
即（x﹣1）（2x+3）＝0，
解得x＝1或x=-32，
∴该方程的另一个根-32．
29．（2021春•蜀山区校级期中）已知关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0．
（1）当该方程的一个根为0时，求m的值及方程的另一根；
（2）若该方程有两个不相等的实数根，求符合条件的正整数m的值．
【分析】（1）求出m＝2，解方程可得出答案；
（2）两个不相等实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范围，则可得出答案．
【解析】：（1）当x＝0时，0+0+m﹣2＝0
∴m＝2，
∴x2+2x＝0，
∴x＝0或x＝﹣2，
即方程的另一根是﹣2；
（2））∵关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝22﹣4（m﹣2）＝﹣4m+12＞0，
∴m＜3，
∵m为正整数，
∴m＝1，2．
30．（2021春•拱墅区校级期中）已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）．
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x=1r是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求msnt的值．
【分析】（1）根据根与系数的关系即可求得a、b的值，即可得到方程②，然后利用因式分解法解方程②即可；
（2）根据方程根的定义得到r2+br+a＝0，两边同除r2得ar2+br+1＝0，即可证得x=1r是方程②的根；
（3）根据题意b＝0，根据根与系数的关系得到m+n＝0，s+t＝0，从而得到m＝﹣n，s＝﹣t，即可得到ms＝nt，进而求得msnt=1．
【解析】：（1）∵方程x2+bx+a＝0的根为x1＝2，x2＝3，
∴﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，
∴方程②为6x2﹣5x+1＝0，
（3x﹣1）（2x﹣1）＝0，
∴方程②的根为x1=13，x2=12；
（2）∵方程①有一根为x＝r，
∴r2+br+a＝0，
两边同除r2得ar2+br+1＝0，
∴1r是方程ax2+bx+1＝0的根，
∴x=1r是方程②的根；
（3）∵a2b+b＝0，
∴b＝0，
∵方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，
∴m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st=1a，
∴a=1st=mn，m＝﹣n，s＝﹣t，
∴ms＝nt，
∴msnt=1．
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