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专题24.4圆周角-2021-2022学年九年级数学上册同步培优题典（解析版）【人教版】
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这是一份专题24.4圆周角-2021-2022学年九年级数学上册同步培优题典（解析版）【人教版】，共23页。
2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题24.4圆周角
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021•杭州模拟）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠E的度数是（ ）
A．40° B．50° C．55° D．70°
【分析】连接FB，得到∠FOB＝140°，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解．
【解析】∵∠AOF＝40°，
∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠E=12∠FOB＝70°
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．（2021•南沙区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点．若∠BCE＝105°，则∠BOD的度数是（ ）
A．150° B．105° C．75° D．165°
【分析】首先利用邻补角求得∠BCD的度数，然后利用圆周角定理求得答案即可．
【解析】∵∠BCE＝105°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BCE＝180°﹣105°＝75°，
∴∠BOD＝2∠BCD＝150°，
故选：A．
【点评】考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，难度不大．
3．（2021•雁塔区校级模拟）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB为圆O的直径，若∠AOD＝40°，弦AC平分∠DAB，则∠ADC＝（ ）
A．140° B．125° C．110° D．105°
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ADO＝∠DAO，根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，求出∠CAB，求出∠B，根据圆内接四边形的性质得出∠B+∠ADC＝180°，再求出答案即可．
【解析】∵∠AOD＝40°，OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO=12（180°﹣∠AOD）＝70°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠CAB=12∠DAB＝35°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝55°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣55°＝125°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识点，注意：直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的对角互补．
4．（2021•前郭县三模）如图，四边形ABDE是⊙O的内接四边形，CE是⊙O的直径，连接BC，DC．若∠BDC＝20°，则∠A的度数为（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论．
【解析】∵CE是⊙O的直径，
∴∠CDE＝90°，
∵∠BDC＝20°，
∴∠BDE＝∠CDE﹣∠BDC＝70°，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠BDE＝110°，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
5．（2021•碑林区校级一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝CD，且∠ADC＝120°，若点E为弧BC的中点，连接DE，则∠CDE的大小是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】连接BD，根据圆内接四边形的性质求出∠ABC，根据弧、弦、圆心角之间的关系求出∠ABD＝∠CBD＝30°，求出∠BDC，再求出答案即可．
【解析】连接BD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵AD＝CD，
∴AD=CD，
∴∠DBC＝∠ABD=12×60°=30°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠BDC＝90°﹣∠CBD＝60°，
∵E为BC的中点，
∴∠CDE＝∠BDE=12∠BDC＝30°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，弧、弦、圆心角之间的关系等知识点，能熟记知识点是解此题的关键．
6．（2020秋•南京期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝130°，则∠A的度数为（ ）
A．50° B．65° C．115° D．130°
【分析】根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可解决问题．
【解析】∵BD=BD，
∴∠C=12∠DOB=12×130°＝65°，
∵∠A+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣65°＝115°，
故选：C．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．（2020秋•玄武区期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，若∠B＝50°，则∠D的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【分析】先根据垂径定理由OA⊥BC得到AC=AB，然后根据圆周角定理计算即可．
【解析】∵OA⊥BC，
∴AC=AB，
∵∠B＝50°，OA⊥BC，
∴∠AOB＝40°，
∴∠ADC=12∠AOB=12×40°＝20°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
8．（2021•姑苏区一模）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，若∠ADC＝125°，则∠BAC的度数是（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【分析】根据同弧所对圆周角和圆心角的关系即可求出∠AOC的度数，再根据△AOC为等腰三角形即可求出∠BAC的度数．
【解析】连接OC，如下图所示：
∵∠ADC＝125°对应优弧ABC，
∴∠AOC＝360°﹣2×125°＝110°，
而△AOC为等腰三角形，
∴∠BAC+∠OCA＝180°﹣110°＝70°，
∴∠BAC＝35°，
故A、C、D错误，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，运用圆周角定理求圆心角的度数是解题关键，本题注意找到∠ADC所对的弧为优弧即可．
9．（2021•金坛区模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠ABC＝40°，则∠BDC的度数是（ ）
A．60° B．55° C．50° D．48°
【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB＝90°，又由∠ABC＝70°，即可求得∠A的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BDC的度数．
【解析】连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝40°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝50°，
∴∠BDC＝∠BAC＝50°．
故选：C．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．
10．（2021•萧山区一模）如图，已知△ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC，OC交于点D，E．设∠A＝α，∠C＝β（ ）
A．若α+β＝70°，则DE=20° B．若α+β＝70°，则DE=40°
C．若α﹣β＝70°，则DE=20° D．若α﹣β＝70°，则DE=40°
【分析】连接BE，根据圆周角定理求出∠ABE＝90°，∠AEB＝90﹣α，再根据三角形外角性质得出90°﹣α＝β+12θ，得到DE的度数为180°﹣2（α+β），再逐个判断即可．
【解析】连接BE，设DE的度数为θ，
则∠EBD=12θ，
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
∵∠A＝α，
∴∠AEB＝90﹣α，
∵∠C＝β，∠AEB＝∠C+∠EBC＝β+12θ，
∴90°﹣α＝β+12θ，
解得：θ＝180°﹣2（α+β），
即DE的度数为180°﹣2（α+β），
A、当α+β＝70°时，DE的度数是180°﹣140°＝40°，故本选项错误；
B、当α+β＝70°时，DE的度数是180°﹣140°＝40°，故本选项正确；
C、当α﹣β＝70°时，即α＝70°+β，DE的度数是180°﹣2（70°+β+β）＝40°﹣4β，故本选项错误；
D、当α﹣β＝70°时，即α＝70°+β，DE的度数是40°﹣4β，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理和三角形的外角性质，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021•建邺区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝122°，则另一个外角∠DAF＝ 58° ．
【分析】直接利用圆内接四边形的性质对角互补即可得出答案．
【解析】∵∠DCE＝122°，
∴∠BCD＝180°﹣122°＝58°，
∴∠BAD＝180°﹣58°＝122°，
∴∠FAD＝180°﹣122°＝58°．
故答案为：58°．
【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质，正确掌握对角关系是解题关键．
12．（2021•雨花区模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点C是弧BD的中点，∠A＝50°，则∠CBD的度数为 25° ．
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝50°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，
∵点C是BD的中点，
∴CD=CB，
∴CD＝CB，
∴∠CDB＝∠CBD=12×（180°﹣130°）＝25°，
故答案为：25°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理的应用，掌握圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理是解题的关键．
13．（2021•安徽二模）如图，劣弧BC与AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB＝60°，求∠CAB的度数 35° ．
【分析】根据圆周角定理，可得：∠A﹣∠C＝10°；根据三角形外角的性质，可得∠CEB＝∠A+∠C＝60°；联立两式可求得∠A的度数．
【解析】由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°，
∴两弧所对圆心角相差20°，
∴2∠A﹣2∠C＝20°，
∴∠A﹣∠C＝10°…①；
∵∠CEB是△AEC的外角，
∴∠A+∠C＝∠CEB＝60°…②；
①+②，得：2∠A＝70°，即∠A＝35°．
故答案为：35°．
【点评】本题主要考查圆周角定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
14．（2021春•亭湖区校级月考）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠C＝40°，∠AED＝100°，则∠D＝ 60° ．
【分析】首先根据圆周角定理的推论，得∠C＝∠ABD，再根据三角形外角的性质即可求得∠D的度数．
【解析】∵∠C＝40°，
∴∠C＝∠B＝40°．
∵∠AED＝100°，
∴∠D＝∠AED﹣∠B＝100°﹣40°＝60°．
故答案是：60°．
【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟记圆周角定理是解题的关键．
15．（2020秋•南京期末）如图，⊙O的半径长为4，弦AB的长为2，点C在⊙O上，若∠BAC＝135°，则AC的长为 31-1 ．
【分析】作BC所对的圆周角∠BDC，作BH⊥AC于H，连接OB、OC，如图，△BAH为等腰直角三角形，则AH＝BH=22AB＝1，再利用圆周角定理得到∠D＝45°，∠BOC＝90°，所以BC＝42，利用勾股定理计算出
CH=31，从而得到AC=31-1．
【解析】作BC所对的圆周角∠BDC，作BH⊥AC于H，连接OB、OC，如图，
∵∠BAC＝135°，
∴∠BAH＝45°，
∴△BAH为等腰直角三角形，
∴AH＝BH=22AB=22×2=1，
∵∠BAC+∠D＝180°，
∴∠D＝45°，
∴∠BOC＝2∠D＝90°，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∴BC=2OB＝42，
在Rt△BCH中，CH=BC2-BH2=(42)2-12=31，
∴AC＝CH﹣AH=31-1．
故答案为31-1．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．圆内接四边形的对角互补．也考查了垂径定理．
16．（2021•盐城模拟）如图，△ABC中，∠A＝50°，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，且BD＝CD，连接BE，DE，则∠BED的大小为 25° ．
【分析】连接AD，证明AB＝AC，利用三线合一的性质求出∠BAD即可解决问题．
【解析】连接AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵BD＝DC，
∴AB＝AC，
∴∠BAD=12∠BAC＝25°，
∴∠BED＝∠BAD＝25°，
故答案为：25°．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．（2021•黄埔区二模）如图，⊙O的直径CD为6cm，OA，OB都是⊙O的半径，∠AOD＝2∠AOB＝60°，点P在直径CD上移动，则AP+BP的最小值为 32cm ．
【分析】作点A关于CD的对称点A′，连接A′B就是最小值（P此时为A′B与CD的交点），根据垂径定理及圆周角定理可得∠DOA′＝∠AOD＝60°，最后由勾股定理可得答案．
【解析】作点A关于CD的对称点A′，连接A′B就是最小值（P此时为A′B与CD的交点），
∵|OA|＝|OB|＝|OA′|=12|CD|＝3cm且∠AOD＝2∠AOB＝60°，
∴∠AOB＝∠BOD＝30°，
∵A关于CD的对称点A′，
∴∠DOA′＝∠AOD＝60°，
∴∠BOA′＝∠BOD+∠DOA′＝90°，
∴△BOA′为等腰直角三角形，
∴AP+BP的最小值为：|A′B|=|OA'|2+|OB|2=32cm．
故答案为：32cm．
【点评】此题考查的是圆的性质，掌握圆满周角定理、垂径定理是解决此题关键．
18．（2020秋•涵江区期末）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣m，0），B（m，0）（其中m＞0），点P在以点C（3，4）为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P满足∠APB＝90°，则m的最小值为 3 ．
【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得出OP=12AB＝OB＝m；根据勾股定理求出OC，当P为OC与⊙C的交点时，OP最小，可得出结果．
【解析】∵∠APB＝90°，A（﹣m，0），B（m，0），
∴OP为Rt△ABP斜边上的中线，
∴OP=12AB＝OB＝m，
当P为OC与⊙C的交点时，OP最小，
∵C（3，4），
∴OC=32+42=5，
∴OP的最小值为：5﹣2＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查圆周角定理，坐标与图形性质，点与圆的位置关系等知识，明确当P为OC与⊙C的交点时，OP最小，是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋•奉化区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，点D是AC的中点．
（1）求证：OD∥BC；
（2）连接AC，若AB＝10，CD＝4，求AC的长．
【分析】（1）连接AC，运用圆周角定理和垂径定理可以判定AC⊥BC，OD⊥AC，证得结论；
（2）连接OC，构造直角三角形：Rt△CDE和Rt△OCE，设DE＝x，则OE＝5﹣x．利用勾股定理列出方程，通过解方程求得相关线段的长度即可．
【解析】（1）如图，连接AC，交OD于E，
∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
∵点D是AC的中点，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BC；
（2）如图，连接OC，
由（1）可得，OD⊥AC．
∵AB＝10，
∴OC＝OD＝5，
∴设DE＝x，则OE＝5﹣x．
在Rt△CDE中，CE2＝CD2﹣DE2．
在Rt△OCE中，CE2＝OC2﹣OE2，
∴16﹣x2＝25﹣（5﹣x）2．
解得x=85．
∴CE=CD2-DE2=16-(85)2=4215．
∴AC=2CE=8215．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理以及圆心角、弧、弦的关系．解答（2）题时，采用了方程思想．
20．（2021•长清区一模）如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠C＝45°．
（1）求∠ABD的度数；
（2）若∠CDB＝30°，BC＝5，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据圆周角定理∠BAD＝∠BCD，∠ADB＝90°，求出∠BAD＝45°，再根据直角三角形的性质求出答案即可；
（2）连接AC，根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CDB，再解直角三角形求出AB即可．
【解析】（1）∵∠BCD＝45°，
∴∠BAD＝∠BCD＝45°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝45°；
（2）连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝∠CDB＝30°，BC＝5，
∴AB＝2BC＝10，
∴⊙O的半径为5．
【点评】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质等知识点，注意：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角．
21．（2021•河南模拟）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E．连接OE，OD，DE，且ED＝EC．
（1）求证：点E为BC的中点．
（2）填空：①若AB＝6，BC＝4，则CD＝ 43 ；
②当∠A＝ 60 °时，四边形ODCE是菱形．
【分析】（1）连接AE，如图，先证明∠B＝∠C得到△ABC为等腰三角形，再根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，即AE⊥BE，然后根据等腰三角形的性质得到结论；
（2）①证明△CDE∽△CBA，利用相似比可求出CD的长；
②当∠A＝60°，证明△AOD和△ABC、△CDE、△OBE都为等边三角形，则OD＝DC＝CE＝OE，然后判定四边形ODCE是菱形．
【解答】（1）证明：连接AE，如图，
∵ED＝EC，
∴∠C＝∠EDC，
∵∠EDC＝∠B，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC为等腰三角形，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BE，
∴BE＝CE，
即点E为BC的中点；
（2）①∵∠DCE＝∠BCA，∠EDC＝∠B，
∴△CDE∽△CBA，
∴CD：BC＝DE：AB，即CD：4＝2：6，
∴CD=43；
②当∠A＝60°，
∵OA＝OD，AB＝AC，
∴△AOD和△ABC都为等边三角形，
∴OD＝OA，
同理可得△CDE、△OBE都为等边三角形，
∴CD＝CE＝DE＝BE＝OB，
∴OD＝DC＝CE＝OE，
∴四边形ODCE是菱形．
故答案为43；60．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的性质和菱形的判定．
22．（2021•杨浦区二模）已知：如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点（不与点A、B重合），过点A作AD∥OC交半圆于点D，E是直径AB上一点，且AE＝AD，联结CE、CD．
（1）求证：CE＝CD；
（2）如果AD=3CD，延长EC与弦AD的延长线交于点F，联结OD，求证：四边形OCFD是菱形．
【分析】（1）由“SAS”可证△DAC≌△EAC，可得CE＝CD；
（2）先求出∠AOD＝∠AEC＝108°，可证OD∥CE，由菱形的判定可得结论．
【解答】证明：（1）如图，连接AC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AD∥OC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
在△DAC和△EAC中，
AD=AE∠DAC=∠EACAC=AC，
∴△DAC≌△EAC（SAS），
∴CE＝CD；
（2）如图2，连接CA，
∵AD=3CD，
∴∠AOD＝3∠COD，
∵AD∥OC，
∴∠ADO＝∠DOC，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠AOD+∠OAD+∠ADO＝180°，
∴5∠ADO＝180°，
∴∠ADO＝36°，
∴∠AOD＝108°，∠DOC＝36°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝72°，
∴∠ADC＝108°，
∵△DAC≌△EAC，
∴∠ADC＝∠AEC＝108°，
∴∠AOD＝∠AEC，
∴OD∥CE，
又∵OC∥AD，
∴四边形OCFD是平行四边形，
又∵OD＝OC，
∴平行四边形OCFD是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
23．（2021•上城区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，连接AD，GD，AG．
（1）找出图中和∠ADC相等的角，并给出证明；
（2）已知BE＝2，AE＝8，求CD的长．
【分析】（1）由垂径定理可得DE＝CE，AC=AD，可得结论；
（2）通过证明△ACE∽△CBE，由相似三角形的性质可求CE＝4，即可求解．
【解析】（1）∠AGD＝∠ADC，
理由如下：∵弦CD⊥AB，
∴DE＝CE，AC=AD，
∴∠AGD＝∠ADC；
（2）如图，连接AC，BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCE＝90°＝∠ACE+∠CAE，
∴∠BCE＝∠CAE，
又∵∠AEC＝∠BEC＝90°，
∴△ACE∽△CBE，
∴CEAE=BECE，
∴CE•CE＝2×8＝16，
∴CE＝4，
∴CD＝8．
方法二、连接OC，
∵BE＝2，AE＝8，
∴BA＝10，
∴OC＝OB＝5，
∴OE＝3，
∴CE=OC2-OE2=25-9=4，
∴CD＝8．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
24．（2021•和平区一模）已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD．
（Ⅰ）如图①，连接OC，AD．若∠ADC＝56°，求∠CDB及∠COB的大小；
（Ⅱ）如图②，过点C作DB的垂线，交DB的延长线于点E，连接OD．若∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°，求∠DCE的大小．
【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可得∠CDB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系可得答案；
（2）由半径的关系可得∠ODB＝∠OBD，再利用∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°可得∠CDB＝20°，最后根据直角三角形锐角互余可得答案．
【解析】（Ⅰ）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝56°，
∴∠CDB＝90°﹣∠ADC＝90°﹣56°＝34°，
在⊙O中，∠COB＝2∠CDB＝2×34°＝68°．
（II ）∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
即∠ODC+∠CDB＝∠OBD，
∵∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°，
∴20°+∠CDB＝2∠CDB，
∴∠CDB＝20°，
∵CE⊥DE，
∴∠CED＝90°，
在Rt△CDE中，∠DCE＝90°﹣∠CDE＝90°﹣20°＝70°．
【点评】本题考查圆的有关概念和性质，熟练掌握圆周角定理和推论是解题关键．
2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题24.4圆周角
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021•杭州模拟）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠E的度数是（ ）
A．40° B．50° C．55° D．70°
【分析】连接FB，得到∠FOB＝140°，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解．
【解析】∵∠AOF＝40°，
∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠E=12∠FOB＝70°
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．（2021•南沙区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点．若∠BCE＝105°，则∠BOD的度数是（ ）
A．150° B．105° C．75° D．165°
【分析】首先利用邻补角求得∠BCD的度数，然后利用圆周角定理求得答案即可．
【解析】∵∠BCE＝105°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BCE＝180°﹣105°＝75°，
∴∠BOD＝2∠BCD＝150°，
故选：A．
【点评】考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，难度不大．
3．（2021•雁塔区校级模拟）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB为圆O的直径，若∠AOD＝40°，弦AC平分∠DAB，则∠ADC＝（ ）
A．140° B．125° C．110° D．105°
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ADO＝∠DAO，根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，求出∠CAB，求出∠B，根据圆内接四边形的性质得出∠B+∠ADC＝180°，再求出答案即可．
【解析】∵∠AOD＝40°，OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO=12（180°﹣∠AOD）＝70°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠CAB=12∠DAB＝35°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝55°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣55°＝125°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识点，注意：直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的对角互补．
4．（2021•前郭县三模）如图，四边形ABDE是⊙O的内接四边形，CE是⊙O的直径，连接BC，DC．若∠BDC＝20°，则∠A的度数为（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论．
【解析】∵CE是⊙O的直径，
∴∠CDE＝90°，
∵∠BDC＝20°，
∴∠BDE＝∠CDE﹣∠BDC＝70°，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠BDE＝110°，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
5．（2021•碑林区校级一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝CD，且∠ADC＝120°，若点E为弧BC的中点，连接DE，则∠CDE的大小是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】连接BD，根据圆内接四边形的性质求出∠ABC，根据弧、弦、圆心角之间的关系求出∠ABD＝∠CBD＝30°，求出∠BDC，再求出答案即可．
【解析】连接BD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵AD＝CD，
∴AD=CD，
∴∠DBC＝∠ABD=12×60°=30°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠BDC＝90°﹣∠CBD＝60°，
∵E为BC的中点，
∴∠CDE＝∠BDE=12∠BDC＝30°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，弧、弦、圆心角之间的关系等知识点，能熟记知识点是解此题的关键．
6．（2020秋•南京期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝130°，则∠A的度数为（ ）
A．50° B．65° C．115° D．130°
【分析】根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可解决问题．
【解析】∵BD=BD，
∴∠C=12∠DOB=12×130°＝65°，
∵∠A+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣65°＝115°，
故选：C．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．（2020秋•玄武区期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，若∠B＝50°，则∠D的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【分析】先根据垂径定理由OA⊥BC得到AC=AB，然后根据圆周角定理计算即可．
【解析】∵OA⊥BC，
∴AC=AB，
∵∠B＝50°，OA⊥BC，
∴∠AOB＝40°，
∴∠ADC=12∠AOB=12×40°＝20°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
8．（2021•姑苏区一模）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，若∠ADC＝125°，则∠BAC的度数是（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【分析】根据同弧所对圆周角和圆心角的关系即可求出∠AOC的度数，再根据△AOC为等腰三角形即可求出∠BAC的度数．
【解析】连接OC，如下图所示：
∵∠ADC＝125°对应优弧ABC，
∴∠AOC＝360°﹣2×125°＝110°，
而△AOC为等腰三角形，
∴∠BAC+∠OCA＝180°﹣110°＝70°，
∴∠BAC＝35°，
故A、C、D错误，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，运用圆周角定理求圆心角的度数是解题关键，本题注意找到∠ADC所对的弧为优弧即可．
9．（2021•金坛区模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠ABC＝40°，则∠BDC的度数是（ ）
A．60° B．55° C．50° D．48°
【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB＝90°，又由∠ABC＝70°，即可求得∠A的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BDC的度数．
【解析】连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝40°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝50°，
∴∠BDC＝∠BAC＝50°．
故选：C．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．
10．（2021•萧山区一模）如图，已知△ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC，OC交于点D，E．设∠A＝α，∠C＝β（ ）
A．若α+β＝70°，则DE=20° B．若α+β＝70°，则DE=40°
C．若α﹣β＝70°，则DE=20° D．若α﹣β＝70°，则DE=40°
【分析】连接BE，根据圆周角定理求出∠ABE＝90°，∠AEB＝90﹣α，再根据三角形外角性质得出90°﹣α＝β+12θ，得到DE的度数为180°﹣2（α+β），再逐个判断即可．
【解析】连接BE，设DE的度数为θ，
则∠EBD=12θ，
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
∵∠A＝α，
∴∠AEB＝90﹣α，
∵∠C＝β，∠AEB＝∠C+∠EBC＝β+12θ，
∴90°﹣α＝β+12θ，
解得：θ＝180°﹣2（α+β），
即DE的度数为180°﹣2（α+β），
A、当α+β＝70°时，DE的度数是180°﹣140°＝40°，故本选项错误；
B、当α+β＝70°时，DE的度数是180°﹣140°＝40°，故本选项正确；
C、当α﹣β＝70°时，即α＝70°+β，DE的度数是180°﹣2（70°+β+β）＝40°﹣4β，故本选项错误；
D、当α﹣β＝70°时，即α＝70°+β，DE的度数是40°﹣4β，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理和三角形的外角性质，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021•建邺区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝122°，则另一个外角∠DAF＝ 58° ．
【分析】直接利用圆内接四边形的性质对角互补即可得出答案．
【解析】∵∠DCE＝122°，
∴∠BCD＝180°﹣122°＝58°，
∴∠BAD＝180°﹣58°＝122°，
∴∠FAD＝180°﹣122°＝58°．
故答案为：58°．
【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质，正确掌握对角关系是解题关键．
12．（2021•雨花区模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点C是弧BD的中点，∠A＝50°，则∠CBD的度数为 25° ．
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝50°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，
∵点C是BD的中点，
∴CD=CB，
∴CD＝CB，
∴∠CDB＝∠CBD=12×（180°﹣130°）＝25°，
故答案为：25°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理的应用，掌握圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理是解题的关键．
13．（2021•安徽二模）如图，劣弧BC与AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB＝60°，求∠CAB的度数 35° ．
【分析】根据圆周角定理，可得：∠A﹣∠C＝10°；根据三角形外角的性质，可得∠CEB＝∠A+∠C＝60°；联立两式可求得∠A的度数．
【解析】由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°，
∴两弧所对圆心角相差20°，
∴2∠A﹣2∠C＝20°，
∴∠A﹣∠C＝10°…①；
∵∠CEB是△AEC的外角，
∴∠A+∠C＝∠CEB＝60°…②；
①+②，得：2∠A＝70°，即∠A＝35°．
故答案为：35°．
【点评】本题主要考查圆周角定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
14．（2021春•亭湖区校级月考）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠C＝40°，∠AED＝100°，则∠D＝ 60° ．
【分析】首先根据圆周角定理的推论，得∠C＝∠ABD，再根据三角形外角的性质即可求得∠D的度数．
【解析】∵∠C＝40°，
∴∠C＝∠B＝40°．
∵∠AED＝100°，
∴∠D＝∠AED﹣∠B＝100°﹣40°＝60°．
故答案是：60°．
【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟记圆周角定理是解题的关键．
15．（2020秋•南京期末）如图，⊙O的半径长为4，弦AB的长为2，点C在⊙O上，若∠BAC＝135°，则AC的长为 31-1 ．
【分析】作BC所对的圆周角∠BDC，作BH⊥AC于H，连接OB、OC，如图，△BAH为等腰直角三角形，则AH＝BH=22AB＝1，再利用圆周角定理得到∠D＝45°，∠BOC＝90°，所以BC＝42，利用勾股定理计算出
CH=31，从而得到AC=31-1．
【解析】作BC所对的圆周角∠BDC，作BH⊥AC于H，连接OB、OC，如图，
∵∠BAC＝135°，
∴∠BAH＝45°，
∴△BAH为等腰直角三角形，
∴AH＝BH=22AB=22×2=1，
∵∠BAC+∠D＝180°，
∴∠D＝45°，
∴∠BOC＝2∠D＝90°，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∴BC=2OB＝42，
在Rt△BCH中，CH=BC2-BH2=(42)2-12=31，
∴AC＝CH﹣AH=31-1．
故答案为31-1．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．圆内接四边形的对角互补．也考查了垂径定理．
16．（2021•盐城模拟）如图，△ABC中，∠A＝50°，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，且BD＝CD，连接BE，DE，则∠BED的大小为 25° ．
【分析】连接AD，证明AB＝AC，利用三线合一的性质求出∠BAD即可解决问题．
【解析】连接AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵BD＝DC，
∴AB＝AC，
∴∠BAD=12∠BAC＝25°，
∴∠BED＝∠BAD＝25°，
故答案为：25°．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．（2021•黄埔区二模）如图，⊙O的直径CD为6cm，OA，OB都是⊙O的半径，∠AOD＝2∠AOB＝60°，点P在直径CD上移动，则AP+BP的最小值为 32cm ．
【分析】作点A关于CD的对称点A′，连接A′B就是最小值（P此时为A′B与CD的交点），根据垂径定理及圆周角定理可得∠DOA′＝∠AOD＝60°，最后由勾股定理可得答案．
【解析】作点A关于CD的对称点A′，连接A′B就是最小值（P此时为A′B与CD的交点），
∵|OA|＝|OB|＝|OA′|=12|CD|＝3cm且∠AOD＝2∠AOB＝60°，
∴∠AOB＝∠BOD＝30°，
∵A关于CD的对称点A′，
∴∠DOA′＝∠AOD＝60°，
∴∠BOA′＝∠BOD+∠DOA′＝90°，
∴△BOA′为等腰直角三角形，
∴AP+BP的最小值为：|A′B|=|OA'|2+|OB|2=32cm．
故答案为：32cm．
【点评】此题考查的是圆的性质，掌握圆满周角定理、垂径定理是解决此题关键．
18．（2020秋•涵江区期末）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣m，0），B（m，0）（其中m＞0），点P在以点C（3，4）为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P满足∠APB＝90°，则m的最小值为 3 ．
【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得出OP=12AB＝OB＝m；根据勾股定理求出OC，当P为OC与⊙C的交点时，OP最小，可得出结果．
【解析】∵∠APB＝90°，A（﹣m，0），B（m，0），
∴OP为Rt△ABP斜边上的中线，
∴OP=12AB＝OB＝m，
当P为OC与⊙C的交点时，OP最小，
∵C（3，4），
∴OC=32+42=5，
∴OP的最小值为：5﹣2＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查圆周角定理，坐标与图形性质，点与圆的位置关系等知识，明确当P为OC与⊙C的交点时，OP最小，是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋•奉化区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，点D是AC的中点．
（1）求证：OD∥BC；
（2）连接AC，若AB＝10，CD＝4，求AC的长．
【分析】（1）连接AC，运用圆周角定理和垂径定理可以判定AC⊥BC，OD⊥AC，证得结论；
（2）连接OC，构造直角三角形：Rt△CDE和Rt△OCE，设DE＝x，则OE＝5﹣x．利用勾股定理列出方程，通过解方程求得相关线段的长度即可．
【解析】（1）如图，连接AC，交OD于E，
∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
∵点D是AC的中点，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BC；
（2）如图，连接OC，
由（1）可得，OD⊥AC．
∵AB＝10，
∴OC＝OD＝5，
∴设DE＝x，则OE＝5﹣x．
在Rt△CDE中，CE2＝CD2﹣DE2．
在Rt△OCE中，CE2＝OC2﹣OE2，
∴16﹣x2＝25﹣（5﹣x）2．
解得x=85．
∴CE=CD2-DE2=16-(85)2=4215．
∴AC=2CE=8215．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理以及圆心角、弧、弦的关系．解答（2）题时，采用了方程思想．
20．（2021•长清区一模）如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠C＝45°．
（1）求∠ABD的度数；
（2）若∠CDB＝30°，BC＝5，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据圆周角定理∠BAD＝∠BCD，∠ADB＝90°，求出∠BAD＝45°，再根据直角三角形的性质求出答案即可；
（2）连接AC，根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CDB，再解直角三角形求出AB即可．
【解析】（1）∵∠BCD＝45°，
∴∠BAD＝∠BCD＝45°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝45°；
（2）连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝∠CDB＝30°，BC＝5，
∴AB＝2BC＝10，
∴⊙O的半径为5．
【点评】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质等知识点，注意：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角．
21．（2021•河南模拟）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E．连接OE，OD，DE，且ED＝EC．
（1）求证：点E为BC的中点．
（2）填空：①若AB＝6，BC＝4，则CD＝ 43 ；
②当∠A＝ 60 °时，四边形ODCE是菱形．
【分析】（1）连接AE，如图，先证明∠B＝∠C得到△ABC为等腰三角形，再根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，即AE⊥BE，然后根据等腰三角形的性质得到结论；
（2）①证明△CDE∽△CBA，利用相似比可求出CD的长；
②当∠A＝60°，证明△AOD和△ABC、△CDE、△OBE都为等边三角形，则OD＝DC＝CE＝OE，然后判定四边形ODCE是菱形．
【解答】（1）证明：连接AE，如图，
∵ED＝EC，
∴∠C＝∠EDC，
∵∠EDC＝∠B，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC为等腰三角形，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BE，
∴BE＝CE，
即点E为BC的中点；
（2）①∵∠DCE＝∠BCA，∠EDC＝∠B，
∴△CDE∽△CBA，
∴CD：BC＝DE：AB，即CD：4＝2：6，
∴CD=43；
②当∠A＝60°，
∵OA＝OD，AB＝AC，
∴△AOD和△ABC都为等边三角形，
∴OD＝OA，
同理可得△CDE、△OBE都为等边三角形，
∴CD＝CE＝DE＝BE＝OB，
∴OD＝DC＝CE＝OE，
∴四边形ODCE是菱形．
故答案为43；60．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的性质和菱形的判定．
22．（2021•杨浦区二模）已知：如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点（不与点A、B重合），过点A作AD∥OC交半圆于点D，E是直径AB上一点，且AE＝AD，联结CE、CD．
（1）求证：CE＝CD；
（2）如果AD=3CD，延长EC与弦AD的延长线交于点F，联结OD，求证：四边形OCFD是菱形．
【分析】（1）由“SAS”可证△DAC≌△EAC，可得CE＝CD；
（2）先求出∠AOD＝∠AEC＝108°，可证OD∥CE，由菱形的判定可得结论．
【解答】证明：（1）如图，连接AC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AD∥OC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
在△DAC和△EAC中，
AD=AE∠DAC=∠EACAC=AC，
∴△DAC≌△EAC（SAS），
∴CE＝CD；
（2）如图2，连接CA，
∵AD=3CD，
∴∠AOD＝3∠COD，
∵AD∥OC，
∴∠ADO＝∠DOC，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠AOD+∠OAD+∠ADO＝180°，
∴5∠ADO＝180°，
∴∠ADO＝36°，
∴∠AOD＝108°，∠DOC＝36°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝72°，
∴∠ADC＝108°，
∵△DAC≌△EAC，
∴∠ADC＝∠AEC＝108°，
∴∠AOD＝∠AEC，
∴OD∥CE，
又∵OC∥AD，
∴四边形OCFD是平行四边形，
又∵OD＝OC，
∴平行四边形OCFD是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
23．（2021•上城区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，连接AD，GD，AG．
（1）找出图中和∠ADC相等的角，并给出证明；
（2）已知BE＝2，AE＝8，求CD的长．
【分析】（1）由垂径定理可得DE＝CE，AC=AD，可得结论；
（2）通过证明△ACE∽△CBE，由相似三角形的性质可求CE＝4，即可求解．
【解析】（1）∠AGD＝∠ADC，
理由如下：∵弦CD⊥AB，
∴DE＝CE，AC=AD，
∴∠AGD＝∠ADC；
（2）如图，连接AC，BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCE＝90°＝∠ACE+∠CAE，
∴∠BCE＝∠CAE，
又∵∠AEC＝∠BEC＝90°，
∴△ACE∽△CBE，
∴CEAE=BECE，
∴CE•CE＝2×8＝16，
∴CE＝4，
∴CD＝8．
方法二、连接OC，
∵BE＝2，AE＝8，
∴BA＝10，
∴OC＝OB＝5，
∴OE＝3，
∴CE=OC2-OE2=25-9=4，
∴CD＝8．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
24．（2021•和平区一模）已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD．
（Ⅰ）如图①，连接OC，AD．若∠ADC＝56°，求∠CDB及∠COB的大小；
（Ⅱ）如图②，过点C作DB的垂线，交DB的延长线于点E，连接OD．若∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°，求∠DCE的大小．
【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可得∠CDB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系可得答案；
（2）由半径的关系可得∠ODB＝∠OBD，再利用∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°可得∠CDB＝20°，最后根据直角三角形锐角互余可得答案．
【解析】（Ⅰ）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝56°，
∴∠CDB＝90°﹣∠ADC＝90°﹣56°＝34°，
在⊙O中，∠COB＝2∠CDB＝2×34°＝68°．
（II ）∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
即∠ODC+∠CDB＝∠OBD，
∵∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°，
∴20°+∠CDB＝2∠CDB，
∴∠CDB＝20°，
∵CE⊥DE，
∴∠CED＝90°，
在Rt△CDE中，∠DCE＝90°﹣∠CDE＝90°﹣20°＝70°．
【点评】本题考查圆的有关概念和性质，熟练掌握圆周角定理和推论是解题关键．
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