北京市各区初三期末考试数学试题分类——圆

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（A）30°（B）40°（C）50°（D）60°
（昌平）6. 如图，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则⊙O的半径为
（A）（B）（C）3（D）
（昌平）8.如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，点C（1，c），D（，d），E（e，1），P（m，n）均为上的点（点P不与点A，B重合），若m＜n＜m，则点P的位置为
（A） 在上 （B）在上 （C）在上 （D）在上
（昌平）10．⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离是4cm，则直线l与⊙O的位置关系是 .
（昌平）11.若扇形的圆心角为60°，半径为2，则该扇形的弧长是 (结果保留)．
（昌平）13.如图，AB为⊙的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB=10，CD=8，则OH的长为 .
（昌平）15．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P = 50°，则∠ACB ＝ °．
（昌平）21．已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC．
求作：一点P，使得∠APC＝∠BAC．
作法：①以点A为圆心， AB长为半径画圆；
②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点；
③连接DA并延长交⊙A于点P．
点P即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
（2）完成下面的证明
证明：连接PC，BD．
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上．
∵BC＝BD，
∴∠_________＝∠_________．
∴∠BAC＝∠CAD．
∵点D，P在⊙A上，
∴∠CPD＝∠CAD．（______________________） （填推理的依据）
∴∠APC＝∠BAC
（东城）7．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为
A．70°B．50°C．20°D．40°
（东城）15. 斛是中国古代的一种量器.据《汉书 .律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiā）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示，
问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为________尺．
（东城）16．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点 P，则∠APD的度数为______ ；连接CP，线段CP长的最小值为_______．
（东城）18．如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点M，交⊙O于点C．若⊙O的半径为10，OM：MC＝3:2，求AB的长．
（东城）19．下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程.
已知：⊙O.
求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC.
作法：如图，
= 1 \* GB3 ①作直径AB；
= 2 \* GB3 ②分别以点A, B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M 点；
= 3 \* GB3 ③作直线MO交⊙O于点C，D；
④连接AC，BC．
所以△ABC就是所求的等腰直角三角形.
根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：连接MA，MB．
∵MA=MB，OA=OB，
∴MO是AB的垂直平分线．
∴AC= ．
∵AB是直径,
∴∠ACB= ( ) (填写推理依据) ．
∴△ABC是等腰直角三角形．
（海淀）4．在△ABC中，，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C 与AB的位置关系是
(A) 相交(B) 相切
(C) 相离(D) 不确定
（海淀）7．如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300 m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是
(A) A，B，C都不在(B) 只有B (C) 只有A，C(D) A，B，C
500 m
400 m
300 m
D
（海淀）14．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，Q是优弧上一点，若∠P=40°，则∠Q的度数是________．
（海淀）15．小明烘焙了几款不同口味的饼干，分别装在同款的圆柱形盒子中．为区别口味，他打算制作“** 饼干”字样的矩形标签粘贴在盒子侧面．为了获得较好的视觉效果，粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为90°（如图）．已知该款圆柱形盒子底面半径为6 cm，则标签长度l应为_______ cm．
（π取3.1）
（海淀）21．“化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一，即：求作一个正方形，使其面积等于给定圆的面积．这个问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的．如果借用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下：
已知：⊙O（纸片），其半径为．
求作：一个正方形，使其面积等于⊙O的面积．
作法：①如图1，取⊙O的直径，作射线，过点作的垂线；
②如图2，以点为圆心，为半径画弧交直线于点；
③将纸片⊙O沿着直线向右无滑动地滚动半周，使点，分别落在对应的，处；
④取的中点，以点为圆心，为半径画半圆，交射线于点；
⑤以为边作正方形．
正方形即为所求．

图1 图2
根据上述作图步骤，完成下列填空：
（1）由①可知，直线为⊙O的切线，其依据是________________________________．
（2）由②③可知，，，则_____________，____________（用含的代数式表示）．
（3）连接，在Rt中，根据，可计算得_________（用含的代数式表示）．
由此可得．
（海淀）23．如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．
（1）求证：；
（2）若，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．
（通州）3．在半径为 6 cm 的圆中，的圆心角所对弧的弧长是
（A） cm （B） cm （C） cm （D）cm
（通州）4．如图，点A，B，C均在⊙O上，连接OA，OB，AC，BC，如果OA⊥OB，那么∠C的度数为

（A）22.5° （B）45° （C）90° （D）67.5°
（通州）6．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，如果∠D＝30°，CD＝，那么弦AC的长是

（A）6 （B）4 （C） （D）3
（通州）10. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB=10 ，在同一平面内，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数）. 那么常数a的值等于__________.
（通州） 15. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5 m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8 m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 m．

（通州）21．已知：A，B是直线l上的两点．
求作：△ABC，使得点C在直线l上方，且AC=BC，．
作法：
分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，在直线l上方交于点O，在直线l下方交于点E；
以点O为圆心，OA长为半径画圆；
作直线OE与直线l上方的⊙O交于点C；
连接AC，BC．
△ABC就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OA，OB．
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形．
∴．
∵A，B，C在⊙O上，
∴∠ACB＝∠AOB（____________________________________________________）（填推理的依据）．
∴．
由作图可知直线OE是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC（____________________________________________________）（填推理的依据）．
∴△ABC就是所求作的三角形．
（通州）22．如图，在⊙O中，点E是弦CD的中点，过点O，E作直径AB（AE＞BE），连接BD，过点C作CF∥BD交AB
于点G，交⊙O于点F，连接AF. 求证：AG＝AF．

（石景山）6．如图，四边形ABCD内接于⊙O．若四边形ABCO是菱形，则∠D的度数为
（A）45° （B）60° （C）90° （D）120°
（石景山）10．在半径为3的圆中，60°的圆心角所对的弧长为 ．
（石景山）13．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B．若∠OBA=30°，PA=3，
则AB的长为 ．
（石景山）16．如图，在平面直角坐标系xOy中，P为轴正半轴上一点．已知点,
，⊙M为△ABP的外接圆．
（1）点M的纵坐标为 ；
（2）当∠APB最大时，点P的坐标为 ．
（石景山）20．下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，．
图1
求作：直线BD,使得BD∥AC．
图2
作法：如图2，
= 1 \* GB3 ①分别作线段AC，BC的垂直平分线，，
两直线交于点O；
= 2 \* GB3 ②以点O为圆心，OA长为半径作圆；
③以点A为圆心，BC长为半径作弧，
交于点D；
④作直线BD.
所以直线BD就是所求作的直线．
根据小石设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接，
∵点，，，在⊙O上，，
∴ ．
∴（ ）（填推理的依据）.
∴．
（大兴）4.如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=74°，点O是△ABC的内心.则∠BOC等于
A.124° B. 118° C. 112° D. 62°
（大兴）7．如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．
若∠AOB=90°，OP=4，则OC的长为
A．8 B． C． D．
（大兴）10. 如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOB＝70°，则∠C等于____________.
（大兴）13.圆心角是270°的扇形的半径为4 cm，则这个扇形的面积是 cm².
（大兴）15．若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是6π cm，则此扇形的圆心角等于_____________．
（大兴）20. 下面是“作一个角的平分线”的尺规作图过程.
已知：如图，钝角∠AOB.

求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC.
作法：如图，
= 1 \* GB3 ①在射线OA上任取一点D；
②以点O为圆心，OD长为半径作弧，交OB于点E；
③分别以点D, E为圆心，大于长为半径作弧，在
∠AOB内，两弧相交于点C；
= 4 \* GB3 ④作射线OC.
则OC为所求作的射线.
完成下面的证明.
证明：连接CD，CE
由作图步骤②可知OD＝ .
由作图步骤③可知CD＝ .
∵OC=OC，
∴△OCD≌△OCE .
∴∠AOC＝∠BOC( ) (填推理的依据).
（大兴）21．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO=∠D；
（2）若CD=，OE=1，求⊙O的半径．
（门头沟）3. 已知⊙O的半径为5，如果点P到圆心O的距离为8，那么点P与⊙O的位置关系是
A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定
（门头沟）3. 已知⊙O的半径为5，如果点P到圆心O的距离为8，那么点P与⊙O的位置关系是
A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定
（门头沟）5．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB于E，如果∠CAB = 20°，那么∠AOD等于
A．120°B．140° C．150°D．160°
（门头沟）8．如图，如果抛物线与x轴交于A、B两点，点P是以为圆心，2为半径的圆上的一个动点，点Q是线段PA的中点，连接OQ，那么线段OQ的最大值是
A．3B． C．4D．
（门头沟）12．如图，扇形的圆心角∠AOB = 60°，半径为3cm．如果点C、D是的三等分点，图中所有阴影部分的面积之和是 cm2．
（门头沟）15．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样的一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”．
其意思是：“如图，现有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，
股（长直角边）长为15步，问该直角三角形所能容纳的最大圆
的直径是多少？”．
答：该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是 步．
（门头沟）19．已知：如图1，在△ABC中，AB = AC ．
求作：⊙O，使得⊙O是△ABC的外接圆．
图1 图2
作法： = 1 \* GB3 ① 如图2，作∠BAC的平分线交BC于D；
= 2 \* GB3 ② 作线段AB的垂直平分线EF；
= 3 \* GB3 ③ EF与AD交于点O；
= 4 \* GB3 ④ 以点O为圆心，以OB为半径作圆．
∴ ⊙O就是所求作的△ABC的外接圆．
根据上述尺规作图的过程，回答以下问题：
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵ AB = AC，∠BAD =∠DAC，
∴ ．
∵ AB的垂直平分线EF与AD交于点O，
∴ OA = OB，OB = OC．（ ）（填推理的依据）
∴ OA = OB = OC．
∴ ⊙O就是△ABC的外接圆．
（平谷）5．如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，若 ⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为
（A）3； （B）2； （C）1； （D）．
（平谷）10.如图：在⊙O中，A，B，C是⊙O上三点，如果∠AOB=70º，那么∠C的度数为_________________.
（平谷）15.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点.若∠P=50°，则∠AOB=____________°.
（平谷）如图，A是⊙O上一点，过点A作⊙O的切线.
（1） = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①连接OA并延长，使AB=OA;
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②作线段OB的垂直平分线；
使用直尺和圆规，在图中作OB的垂直平分线l(保留作图痕迹)；
(2)直线l即为所求作的切线，完成如下证明.
证明：在⊙O中，∵直线l垂直平分OB
∴直线l经过半径OA的外端，且__________，
∴直线l是⊙O的切线(____________)(填推理的依据).
（西城）3．如图，点A，B，C在⊙O上，△OAB是等边三角形，则∠ACB的大小为
（A）60°（B）40°（C）30°（D）20°
（西城）5．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4， 则正方形ABCD的边长为
（A）4 （B）8 （C） （D）
（西城）11．如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料800π mm，则此圆弧所在圆的半径为________mm．
图1 图2
（西城）13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为________．
（西城）18．问题：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O内，请仅用无刻度的直尺，作出△ABC中AB边上的高．
小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．
作法：如图，
= 1 \* GB3 ①延长AC交⊙O于点D，延长BC交⊙O于点E；
= 2 \* GB3 ②分别连接AE，BD并延长相交于点F；
= 3 \* GB3 ③连接FC并延长交AB于点H．
所以线段CH即为△ABC中AB边上的高．
（1）根据小芸的作法，补全图形；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，
∴∠ADB=∠AEB=________°．（ ）（填推理的依据）
∴AE⊥BE，BD⊥AD．
∴AE，________是△ABC的两条高线．
∵AE，BD所在直线交于点F，
∴直线FC也是△ABC的高所在直线．
∴CH是△ABC中AB边上的高．
（西城）23．如图，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，连接CO并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，EF⊥AC于点F．
（1）求证：四边形CDEF是矩形；
（2）若CD=，DE=2，求AC的长．
（密云）2．已知⊙O的半径为4，点P 在⊙O外部，则OP需要满足的条件是（ ）
A．OP>4 B．0≤OP2 D．0≤OP2AC （D） AB < 2AC
（顺义）13．在矩形ABCD中，BC=6 , CD=8 , 以点A为圆心画圆，且点D在⊙A的内部，点B在⊙A的外部，则⊙A的半径r的取值范围是 .
（顺义）14．如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的圆O，则劣弧AB的长度为 ．
（顺义）9. 已知：如图，锐角∠AOB．
求作：射线OP，使OP平分∠AOB．
作法：①在射线OB上任取一点M；
②以点M为圆心，MO的长为半径画圆，分别交射线OA ，OB于C ，D两点；
③分别以点C ，D为圆心，大于的长为半径画弧，在∠AOB内部两弧交于点H；
④作射线MH，交⊙M于点P；
⑤作射线OP．
射线OP即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接CD．
由作法可知MH垂直平分弦CD．
∴（ ）（填推理依据）．
∴∠COP = ．
即射线OP平分∠AOB．
（燕山）4．利用定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”，可以直接推导出的命题是
A．直径所对圆周角为B．如果点在圆上，那么点到圆心的距离等于半径
C．直径是最长的弦D．垂直于弦的直径平分这条弦
（燕山）5．计算半径为1，圆心角为的扇形面积为
A．B．C．D．
（燕山）8．在中，，，．把绕点顺时针旋转后，得到，如图所示，则点所走过的路径长为
A．B．C．D．
（燕山）10．已知点、、、在圆上，且切圆于点，于点，对于下列说法：①圆上是优弧；②圆上是优弧；③线段是弦；④和都是圆周角；（5）是圆心角，其中正确的说法是________．
（燕山）11．在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是________．（写一个条件即可）
（燕山）12．下面给出了用三角尺画一个圆的切线的步骤示意图，但顺序需要进行调整，正确的画图步骤是________．
（燕山）20．如图，是的弦，是上的一点，且，于点，交于点．若的半径为6，求弦的长．
（燕山）21．已知：如图，射线．
求作：，使得点在射线上，，．
作法：①在射线上任取一点;
②以点为圆心，的长为半径画圆,交射线于另一点；
③以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上方交于点；
④连接、．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明。
证明：为的直径，点在上，
（___________________________）（填推理依据）．
连接．
，
为等边三角形（___________________________）（填推理依据）．
所以为所求作的三角形．
（朝阳）2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝130°，则∠BOD的度数为
（A）50°（B）100°（C）130°（D）150°
（朝阳）5．如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是
（A）优弧
（B）劣弧
（C）半圆
（D）无法判断
（朝阳）11．若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正 边形．
（朝阳）12．用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ．
（朝阳）16．为了落实“双减”政策，朝阳区一些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课．如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为60 cm和180 cm，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径MN的长度为 cm．
（朝阳）18．已知：如图，A为⊙O上的一点．
求作：过点A且与⊙O相切的一条直线．
作法： = 1 \* GB3 ①连接OA；
= 2 \* GB3 ②以点A为圆心，OA长为半径画弧，与⊙O的一个交点为B，作射线OB；
= 3 \* GB3 ③以点B为圆心，OA长为半径画弧，交射线OB于点P（不与点O重合）；
= 4 \* GB3 ④作直线PA．
直线PA即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接BA．
由作法可知BO=BA=BP．
∴点A在以OP为直径的圆上．
∴∠OAP=90°（ ）（填推理的依据）．
∵OA是⊙O的半径，
∴直线PA与⊙O相切（ ）（填推理的依据）．