2023届高考一轮复习讲义（文科）第六章　数列 第5讲　数列的综合应用学案

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等差数列与等比数列的综合问题(师生共研)
(2018·高考北京卷)设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求ea1＋ea2＋…＋ean.
【解】 (1)设{an}的公差为d.
因为a2＋a3＝5ln 2，
所以2a1＋3d＝5ln 2.
又a1＝ln 2，所以d＝ln 2.
所以an＝a1＋(n－1)d＝nln 2.
(2)因为ea1＝eln 2＝2，eq \f(ean,ean－1)＝ean－an－1＝eln 2＝2，
所以{ean}是首项为2，公比为2的等比数列．
所以ea1＋e a2＋…＋ean＝2×eq \f(1－2n,1－2)＝2(2n－1)＝2n＋1－2.
eq \a\vs4\al()
等差数列、等比数列综合问题的解题策略
(1)分析已知条件和求解目标，确定最终解决问题需要首先求解的中间问题，如求和需要先求出通项、求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．
(2)注意细节．在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．
[提醒] 在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论，分类解决问题后要注意结论的整合．
(2020·吉林第一次调研测试)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝3，an＋1＝2an＋1.
(1)证明：{an＋1}为等比数列；
(2)求{an}的通项公式，并判断n，an，Sn是否成等差数列？说明理由．
解：(1)证明：因为a2＝3，a2＝2a1＋1，所以a1＝1，
因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，
所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知，an＋1＝2n，所以an＝2n－1，
所以Sn＝eq \f(2－2n＋1,1－2)－n＝2n＋1－n－2，
所以n＋Sn－2an＝n＋2n＋1－n－2－2(2n－1)＝0，
所以n＋Sn＝2an，即n，an，Sn成等差数列．
数列的实际应用与数学文化(师生共研)
(2020·重庆八中4月模拟)某地区2018年人口总数为45万．实施“二孩”政策后，专家估计人口总数将发生如下变化：从2019年开始到2028年，每年人口总数比上一年增加0.5万人，从2029年开始到2038年，每年人口总数为上一年的99%.
(1)求实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位：万人)的表达式(注：2019年为第一年)；
(2)若“二孩”政策实施后的2019年到2038年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施，问到2038年结束后是否需要调整政策？(参考数据：0.9910≈0.9)
【解】 (1)由题意知，当1≤n≤10时，数列{an}是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，可得an＝45.5＋0.5×(n－1)＝0.5n＋45，则a10＝50；
当11≤n≤20时，数列{an}是公比为0.99的等比数列，则an＝50×0.99n－10.
故实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位：万人)的表达式为
an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0.5n＋45，1≤n≤10，,50×0.99n－10，11≤n≤20.))
(2)设Sn为数列{an}的前n项和．从2019年到2038年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得S20＝S10＋(a11＋a12＋…＋a20)＝477.5＋4 950×(1－0.9910)≈972.5.
所以“二孩”政策实施后的2019年到2038年人口平均值为eq \f(S20,20)≈48.63，则eq \f(S20,20)＜49，
故到2038年结束后不需要调整政策．
eq \a\vs4\al()
数列实际应用中的常见模型
(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差．
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑考查的是第n项an与第n＋1项an＋1的递推关系还是前n项和Sn与前n＋1项和Sn＋1之间的递推关系．
1．(2020·广东潮州二模)我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：现有一根金箠，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤．若该金箠从头到尾，每一尺的质量构成等差数列，则该金箠共重为( )
A．6斤 B．7斤
C．9斤 D．15斤
解析：选D.设从头到尾每一尺的质量构成等差数列{an}，
则有a1＝4，a5＝2，
所以a1＋a5＝6，
数列{an}的前5项和为S5＝5×eq \f(a1＋a5,2)＝5×3＝15，即该金箠共重15斤．故选D.
2．1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：5只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉，准备第二天再分，夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉一个桃子，然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，将剩余的桃子吃掉一个后，也将桃子分成5等份；藏起自己的一份睡觉去了；以后的3只猴子都先后照此办理，问：最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？
解：假如我们设最初有a1个桃子，猴子每次分剩下的桃子依次为a2，a3，a4，a5，a6，得到一个数列{an}，依题意，可知数列的递推公式：an＋1＝an－eq \f(1,5)(an－1)－1，
即an＋1＝eq \f(4,5)(an－1)，
整理变形，得an＋1＋4＝eq \f(4,5)(an＋4)．
故{an＋4}是以eq \f(4,5)为公比的等比数列，
所以a6＋4＝(a1＋4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(5)，
欲使(a6＋4)∈N*，应有a1＋4＝55m(m∈N*)，
故最初至少有桃子a1＝55－4＝3 121个，从而最后至少剩下a6＝45－4＝1 020个．
数列与函数、不等式的综合问题(师生共研)
设函数f(x)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,x)，正项数列{an}满足a1＝1，an＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,an－1)))，n∈N*，且n≥2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对n∈N*，求证：eq \f(1,a1a2)＋eq \f(1,a2a3)＋eq \f(1,a3a4)＋…＋eq \f(1,anan＋1)