2023届高考一轮复习讲义（文科）第四章　三角函数、解三角形 第3讲　第1课时　高效演练 分层突破学案

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A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(3),2)
解析：选A.－sin 133°cs 197°－cs 47°cs 73°
＝－sin 47°(－cs 17°)－cs 47°sin 17°
＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).
2．(2020·福建五校第二次联考)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(4,5)，则sin 2α＝( )
A.eq \f(1,5) B．－eq \f(1,5)
C.eq \f(7,25) D．－eq \f(7,25)
解析：选C.法一：因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(4,5)，所以sin 2α＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(2)－1＝eq \f(7,25).故选C.
法二：因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(4,5)，所以eq \f(\r(2),2)(cs α＋sin α)＝eq \f(4,5)，所以cs α＋sin α＝eq \f(4\r(2),5)，平方得1＋sin 2α＝eq \f(32,25)，得sin 2α＝eq \f(7,25).故选C.
3．(2020·陕西榆林模拟)已知eq \f(cs θ,sin θ)＝3cs(2π＋θ)，|θ|A.eq \f(8\r(2),9) B.eq \f(2\r(2),3)
C.eq \f(4\r(2),9) D．eq \f(2\r(2),9)
解析：选C.因为eq \f(cs θ,sin θ)＝3cs(2π＋θ)，
所以eq \f(cs θ,sin θ)＝3cs θ.
又|θ|所以sin 2θ＝2sin θcs θ＝2×eq \f(1,3)×eq \f(2\r(2),3)＝eq \f(4\r(2),9)，
故选C.
4．(2020·武汉模拟)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝eq \f(1,4)，则cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝( )
A.eq \f(\r(3),4) B．－eq \f(\r(3),4)
C.eq \f(1,4) D．±eq \f(\r(3),4)
解析：选A.因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝eq \f(1,4)，
所以cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝cs x＋eq \f(1,2)cs x＋eq \f(\r(3),2)sin x
＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs x＋\f(1,2)sin x))＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝eq \r(3)×eq \f(1,4)＝eq \f(\r(3),4).
故选A.
5．(2020·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝eq \f(1,2)，sin(α－β)＝eq \f(1,3)，则lgeq \r(5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(tan α,tan β)))eq \s\up12(2)等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C.因为sin(α＋β)＝eq \f(1,2)，sin(α－β)＝eq \f(1,3)，所以sin αcs β＋cs αsin β＝eq \f(1,2)，sin αcs β－cs αsin β＝eq \f(1,3)，所以sin αcs β＝eq \f(5,12)，cs αsin β＝eq \f(1,12)，所以eq \f(tan α,tan β)＝5，所以lgeq \r(5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(tan α,tan β)))eq \s\up12(2)＝lgeq \r(5)52＝4.故选C.
6．(2020·洛阳统考)已知sin α＋cs α＝eq \f(\r(5),2)，则cs 4α＝ ．
解析：由sin α＋cs α＝eq \f(\r(5),2)，得sin2α＋cs2α＋2sin αcs α＝1＋sin 2α＝eq \f(5,4)，所以sin 2α＝eq \f(1,4)，从而cs 4α＝1－2sin22α＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(7,8).
答案：eq \f(7,8)
7．(2020·安徽黄山模拟改编)已知角θ的终边经过点P(－x，－6)，且cs θ＝－eq \f(5,13)，则sin θ＝ ，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝ ．
解析：由题知角θ的终边经过点P(－x，－6)，所以cs θ＝eq \f(－x,\r(x2＋36))＝－eq \f(5,13)，解得x＝eq \f(5,2)，所以sin θ＝eq \f(－6,\f(13,2))＝－eq \f(12,13)，tan θ＝eq \f(－6,－\f(5,2))＝eq \f(12,5)，所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(tan θ＋tan\f(π,4),1－tan θtan\f(π,4))＝－eq \f(17,7).
答案：－eq \f(12,13) －eq \f(17,7)
8．已知sin(α－β)cs α－cs(β－α)sin α＝eq \f(3,5)，β是第三象限角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(5π,4)))＝ ．
解析：依题意可将已知条件变形为
sin[(α－β)－α]＝－sin β＝eq \f(3,5)，所以sin β＝－eq \f(3,5).
又β是第三象限角，因此有cs β＝－eq \f(4,5)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(5π,4)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))
＝－sin βcs eq \f(π,4)－cs βsin eq \f(π,4)＝eq \f(7\r(2),10).
答案：eq \f(7\r(2),10)
9．已知tan α＝2.
(1)求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值；
(2)求eq \f(sin 2α,sin2α＋sin αcs α－cs 2α－1)的值．
解：(1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋tan \f(π,4),1－tan αtan \f(π,4))＝eq \f(2＋1,1－2×1)＝－3.
(2)eq \f(sin 2α,sin2α＋sin αcs α－cs 2α－1)＝
eq \f(2sin αcs α,sin2α＋sin αcs α－2cs2α)＝eq \f(2tan α,tan2α＋tan α－2)＝eq \f(2×2,4＋2－2)＝1.
10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(4,5))).
(1)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋π))的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝eq \f(5,13)，求cs β的值．
解：(1)由角α的终边过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))，得sin α＝－eq \f(4,5)，所以sin(α＋π)＝－sin α＝eq \f(4,5).
(2)由角α的终边过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))，得cs α＝－eq \f(3,5)，
由sin(α＋β)＝eq \f(5,13)，得cs(α＋β)＝±eq \f(12,13).
由β＝(α＋β)－α得
cs β＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α，
所以cs β＝－eq \f(56,65)或cs β＝eq \f(16,65).
[综合题组练]
1．若α，β都是锐角，且cs α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝eq \f(\r(10),10)，
则cs β＝( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(2),10)
C.eq \f(\r(2),2)或－eq \f(\r(2),10) D．eq \f(\r(2),2)或eq \f(\r(2),10)
解析：选A.因为α，β都是锐角，且cs α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝eq \f(\r(10),10)，所以sin α＝eq \f(2\r(5),5)，cs(α－β)＝eq \f(3\r(10),10)，从而cs β＝cs[α－(α－β)]＝cs αcs(α－β)＋sin αsin(α－β)＝eq \f(\r(2),2)，故选A.
2．(2020·河南百校联盟联考)已知α为第二象限角，且tan α＋tan eq \f(π,12)＝2tan αtan eq \f(π,12)－2，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(5π,6)))等于( )
A．－eq \f(\r(10),10) B.eq \f(\r(10),10)
C．－eq \f(3\r(10),10) D．eq \f(3\r(10),10)
解析：选C.tan α＋tan eq \f(π,12)＝2tan αtan eq \f(π,12)－2⇒eq \f(tan α＋tan \f(π,12),1－tan αtan \f(π,12))＝－2⇒taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝－2，因为α为第二象限角，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝eq \f(2\r(5),5)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝－eq \f(\r(5),5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(5π,6)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝－sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))－\f(π,4)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))sin eq \f(π,4)－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))cs eq \f(π,4)＝－eq \f(3\r(10),10).
3．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))，x∈R.
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))的值；
(2)若cs θ＝eq \f(4,5)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,3)))的值．
解：(1)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＋\f(π,12)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝－eq \f(1,2).
(2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,3)＋\f(π,12)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)(sin 2θ－cs 2θ)．
因为cs θ＝eq \f(4,5)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以sin θ＝eq \f(3,5)，
所以sin 2θ＝2sin θcs θ＝eq \f(24,25)，
cs 2θ＝cs2θ－sin2θ＝eq \f(7,25)，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,3)))＝eq \f(\r(2),2)(sin 2θ－cs 2θ)
＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(24,25)－\f(7,25)))＝eq \f(17\r(2),50).
4．已知sin α＋cs α＝eq \f(3\r(5),5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))).
(1)求sin 2α和tan 2α的值；
(2)求cs(α＋2β)的值．
解：(1)由题意得(sin α＋cs α)2＝eq \f(9,5)，
即1＋sin 2α＝eq \f(9,5)，所以sin 2α＝eq \f(4,5).
又2α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以cs 2α＝eq \r(1－sin22α)＝eq \f(3,5)，
所以tan 2α＝eq \f(sin 2α,cs 2α)＝eq \f(4,3).
(2)因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以β－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，
又sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(4,5)，
于是sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(24,25).
又sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝－cs 2β，所以cs 2β＝－eq \f(24,25)，
又2β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以sin 2β＝eq \f(7,25)，
又cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)＝eq \f(4,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，
所以cs α＝eq \f(2\r(5),5)，sin α＝eq \f(\r(5),5).
所以cs(α＋2β)＝cs αcs 2β－sin αsin 2β
＝eq \f(2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(24,25)))－eq \f(\r(5),5)×eq \f(7,25)
＝－eq \f(11\r(5),25).