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2023届高考一轮复习讲义（文科）选修4－5 不等式选讲 第1讲 高效演练 分层突破学案
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1．已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.
(1)证明：－3≤f(x)≤3；
(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．
解：(1)证明：f(x)＝|x－2|－|x－5|
＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3，x≤2，,2x－7，2
(2)由(1)可知，
当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集；
当2
综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－eq \r(3)≤x≤6}．
2．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|·(x－a)．
(1)当a＝1时，求不等式f(x)＜0的解集；
(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)＜0，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．
当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0；
当x≥1时，f(x)≥0.
所以，不等式f(x)<0的解集为(－∞，1)．
(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.
当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0.
所以，a的取值范围是[1，＋∞)．
3．(2020·陕西宝鸡中学二模)设函数f(x)＝x2－x－1.
(1)解不等式：|f(x)|<1；
(2)若|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．
解：(1)由|f(x)|<1得－1
(2)证明：因为|x－a|<1，所以|f(x)－f(a)|＝|x2－a2＋a－x|
＝|(x－a)(x＋a－1)|
＝|x－a||x＋a－1|<|x＋a－1|＝|(x－a)＋2a－1|
≤|x－a|＋|2a|＋1<|2a|＋2＝2(|a|＋1)．
4．(2020·新疆第一次毕业诊断及模拟测试)已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|.
(1)若f(x)>a成立有解，求a的取值范围；
(2)解不等式f(x)
所以若使f(x)>a成立有解，应有a
(2)当x≤－1时，x2－2x>3，
所以x<－1；
当－1
所以1
综上所述，不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
5．(2020·陕西汉中重点中学3月联考)已知函数f(x)＝|4x－1|－|x＋2|.
(1)解不等式f(x)<8；
(2)若关于x的不等式f(x)＋5|x＋2|
当－2
即－eq \f(9,5)
得x
则由题可得a2－8a>9.
解得a<－1或a>9.
6．(2020·原创冲刺卷三)已知函数f(x)＝|x－2a|，a∈R，若∀x∈R，f(x)都满足f(x)＝f(4－x)．
(1)求a的值；
(2)若∃x∈R，使得不等式f(2x－1)－f(x)≤4－2m成立，求实数m的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝f(4－x)，x∈R，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)＝|x－2a|的图象关于直线x＝2a对称，所以2a＝2，a＝1.
(2)令h(x)＝f(2x－1)－f(x)＝|2x－3|－|x－2|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x＋1，x≤\f(3,2)，,3x－5，\f(3,2)
1．(2020·河北省九校第二次联考)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.
(1)解不等式f(x)>2；
(2)记函数g(x)＝f(x)＋f(－x)，若对任意的x∈R，不等式|k－1|
(2)g(x)＝f(x)＋f(－x)＝|x－1|＋|x＋1|＋(|2x＋1|＋|2x－1|)≥|(x－1)－(x＋1)|＋|(2x＋1)－(2x－1)|＝4，
当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－1）（x＋1）≤0,（2x－1）（2x＋1）≤0))，即x∈[－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)]时取等号，
若对任意的x∈R，不等式|k－1|
(1)当a＝2时，解不等式|x－eq \f(1,3)|＋f(x)≥1；
(2)设不等式|x－eq \f(1,3)|＋f(x)≤x的解集为M，若[eq \f(1,3)，eq \f(1,2)]⊆M，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，原不等式可化为|3x－1|＋|x－2|≥3，
①当x≤eq \f(1,3)时，1－3x＋2－x≥3，解得x≤0，所以x≤0；
②当eq \f(1,3)
综上所述，当a＝2时，不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}．
(2)不等式|x－eq \f(1,3)|＋f(x)≤x可化为|3x－1|＋|x－a|≤3x，
依题意不等式|3x－1|＋|x－a|≤3x在x∈[eq \f(1,3)，eq \f(1,2)]上恒成立，
所以3x－1＋|x－a|≤3x，即|x－a|≤1，
即a－1≤x≤a＋1，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－1≤\f(1,3),a＋1≥\f(1,2)))，解得－eq \f(1,2)≤a≤eq \f(4,3)，
故实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(4,3))).
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