2023届高考一轮复习讲义（文科）选修4－5　不等式选讲第1讲　绝对值不等式学案

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这是一份2023届高考一轮复习讲义（文科）选修4－5　不等式选讲第1讲　绝对值不等式学案，共10页。学案主要包含了知识梳理，习题改编等内容，欢迎下载使用。

一、知识梳理
1．绝对值三角不等式
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．
常用结论
1．|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|，|a|＋|b|之间的关系：
(1)|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当ab≤0且|a|≥|b|时，等号成立．
(2)|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立．
2．解绝对值不等式的两个要点
(1)解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号．
(2)解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀“找零点，分区间，逐个解，并起来”．
二、习题改编
1．(选修45P20T7改编)求不等式3≤|5－2x|<9的解集．
解：由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|2x－5|<9，,|2x－5|≥3，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－9<2x－5<9，,2x－5≥3或2x－5≤－3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－22．(必修45P20T8改编)求不等式|x＋1|＋|x－2|≤5的解集．
解：不等式|x＋1|＋|x－2|≤5，等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x<－1，,－x－1－x＋2≤5))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1≤x≤2，,x＋1－x＋2≤5))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>2，,x＋1＋x－2≤5，))解得－2≤x≤3，所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤3}．
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若|x|>c的解集为R，则c≤0.( )
(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.( )
(3)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)(1)解集中等号是否成立不注意；
(2)含参数的绝对值不等式讨论不清．
1．不等式|x－4|＋|x－1|－3≤2的解集．
解：不等式等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≤1，,2－2x≤2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(12．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，求实数k的值．
解：因为|kx－4|≤2，所以－2≤kx－4≤2，所以2≤kx≤6.因为不等式的解集为{x|1≤x≤3}，所以k＝2.
含绝对值不等式的解法(师生共研)
(2020·沈阳质量检测(一))已知函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a∈R.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋|2x＋1|的解集；
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．
【解】 (1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋3x，
由f(x)≥3x＋|2x＋1|，得|x－1|－|2x＋1|≥0，
当x>1时，x－1－(2x＋1)≥0，得x≤－2，无解；
当－eq \f(1,2)≤x≤1时，1－x－(2x＋1)≥0，得－eq \f(1,2)≤x≤0；
当x<－eq \f(1,2)时，1－x－(－2x－1)≥0，得－2≤x<－eq \f(1,2).
所以不等式的解集为{x|－2≤x≤0}．
(2)由|x－a|＋3x≤0，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥a，,4x－a≤0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥a，,x≤\f(a,4)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x当a>0时，不等式的解集为{x|x≤－eq \f(a,2)}．
由－eq \f(a,2)＝－1，得a＝2.
当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤0}，不合题意．
当a<0时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≤\f(a,4))))).
由eq \f(a,4)＝－1，得a＝－4.
综上，a＝2或a＝－4.
eq \a\vs4\al()
含绝对值不等式解法的常用方法

设函数f(x)＝|x＋4|.求不等式f(x)>1－eq \f(1,2)x的解集．
解：f(x)＝|x＋4|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋4，x>－4，,0，x＝－4，,－4－x，x<－4，))所以不等式f(x)>1－eq \f(1,2)x等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋4>1－\f(1,2)x（x>－4），,0>1－\f(1,2)x（x＝－4），,－4－x>1－\f(1,2)x（x<－4），))
解得x>－2或x<－10，
故不等式f(x)>1－eq \f(1,2)x的解集为{x|x>－2或x<－10}．
绝对值不等式性质的应用(师生共研)
(2020·昆明市质量检测)已知函数f(x)＝|2x－1|.
(1)解不等式f(x)＋f(x＋1)≥4；
(2)当x≠0，x∈R时，证明：f(－x)＋f(eq \f(1,x))≥4.
【解】 (1)不等式f(x)＋f(x＋1)≥4等价于|2x－1|＋|2x＋1|≥4，
等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,2)，,－4x≥4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)≤x≤\f(1,2)，,2≥4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>\f(1,2)，,4x≥4，))
解得x≤－1或x≥1，
所以原不等式的解集是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
(2)当x≠0，x∈R时，f(－x)＋f(eq \f(1,x))＝|－2x－1|＋|eq \f(2,x)－1|，因为|－2x－1|＋|eq \f(2,x)－1|≥|2x＋eq \f(2,x)|＝2|x|＋eq \f(2,|x|)≥4，当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（2x＋1）（\f(2,x)－1）≥0,2|x|＝\f(2,|x|)))，即x＝±1时等号成立，
所以f(－x)＋f(eq \f(1,x))≥4.
eq \a\vs4\al()
两数和与差的绝对值不等式的性质
(1)对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．
(2)该定理可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．
(2020·湖北省五校联考)已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈R.
(1)解不等式f(x)<|x|＋1；
(2)若对x，y∈R，有|x－y－1|≤eq \f(1,3)，|2y＋1|≤eq \f(1,6)，求证：f(x)<1.
解：(1)因为f(x)<|x|＋1，所以|2x－1|<|x|＋1，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥\f(1,2)，,2x－1得eq \f(1,2)≤x<2或0故不等式f(x)<|x|＋1的解集为{x|0(2)证明：f(x)＝|2x－1|＝|2(x－y－1)＋(2y＋1)|≤|2(x－y－1)|＋|2y＋1|＝2|x－y－1|＋|2y＋1|≤2×eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)＝eq \f(5,6)<1.
绝对值不等式的综合应用(师生共研)
(2018·高考全国卷Ⅰ )已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；
(2)若x∈(0，1)时不等式f(x)＞x成立，求a的取值范围．
【解】 (1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，即f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2，x≤－1，,2x，－11的解集为{x|x>eq \f(1,2)}．
(2)当x∈(0，1)时|x＋1|－|ax－1|>x成立等价于当x∈(0，1)时|ax－1|<1成立．
若a≤0，则当x∈(0，1)时|ax－1|≥1；
若a>0，|ax－1|<1的解集为0综上，a的取值范围为(0，2]．
eq \a\vs4\al()
(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决，这是常用的思维方法．
(2)对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x－a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y＝|x－a|＋|x－b|的函数只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|的函数既有最大值又有最小值．
(2020·安徽五校联盟第二次质检)已知f(x)＝|x|＋2|x－1|.
(1)解不等式f(x)≥4；
(2)若不等式f(x)≤|2a＋1|有解，求实数a的取值范围．
解：(1)不等式f(x)≥4，即|x|＋2|x－1|≥4，等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x<0，,2－3x≥4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0≤x≤1，,2－x≥4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>1，,3x－2≥4))⇒x≤－eq \f(2,3)或无解或x≥2.故不等式的解集为(－∞，－eq \f(2,3)]∪[2，＋∞)．
(2)f(x)≤|2a＋1|有解等价于f(x)min≤|2a＋1|.
f(x)＝|x|＋2|x－1|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－3x（x<0）,2－x（0≤x≤1），,3x－2（x>1）))
故f(x)的最小值为1，
所以1≤|2a＋1|，得2a＋1≤－1或2a＋1≥1，
解得a≤－1或a≥0，
故实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[0，＋∞)．
[基础题组练]
1．已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.
(1)证明：－3≤f(x)≤3；
(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．
解：(1)证明：f(x)＝|x－2|－|x－5|
＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3，x≤2，,2x－7，2当2所以－3≤f(x)≤3.
(2)由(1)可知，
当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集；
当2当x≥5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5≤x≤6}．
综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－eq \r(3)≤x≤6}．
2．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|·(x－a)．
(1)当a＝1时，求不等式f(x)＜0的解集；
(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)＜0，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．
当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0；
当x≥1时，f(x)≥0.
所以，不等式f(x)<0的解集为(－∞，1)．
(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.
当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0.
所以，a的取值范围是[1，＋∞)．
3．(2020·陕西宝鸡中学二模)设函数f(x)＝x2－x－1.
(1)解不等式：|f(x)|<1；
(2)若|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．
解：(1)由|f(x)|<1得－1即－1所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－x>0，,x2－x－2<0，))解得－1所以原不等式的解集为(－1，0)∪(1，2)．
(2)证明：因为|x－a|<1，所以|f(x)－f(a)|＝|x2－a2＋a－x|
＝|(x－a)(x＋a－1)|
＝|x－a||x＋a－1|<|x＋a－1|＝|(x－a)＋2a－1|
≤|x－a|＋|2a|＋1<|2a|＋2＝2(|a|＋1)．
4．(2020·新疆第一次毕业诊断及模拟测试)已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|.
(1)若f(x)>a成立有解，求a的取值范围；
(2)解不等式f(x)解：(1)f(x)＝|x－2|－|x＋1|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3，x≤－1，,－2x＋1，－1故f(x)∈[－3，3]，
所以若使f(x)>a成立有解，应有a所以a的取值范围是(－∞，3)．
(2)当x≤－1时，x2－2x>3，
所以x<－1；
当－1－2x＋1.
所以1当x≥2时，x2－2x>－3，故x≥2.
综上所述，不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
5．(2020·陕西汉中重点中学3月联考)已知函数f(x)＝|4x－1|－|x＋2|.
(1)解不等式f(x)<8；
(2)若关于x的不等式f(x)＋5|x＋2|解：(1)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3x＋3，x≤－2，,－5x－1，－2当x≤－2时，由－3x＋3<8，得x>－eq \f(5,3)，无解；
当－2－eq \f(9,5)，
即－eq \f(9,5)当x≥eq \f(1,4)时，由3x－3<8，
得x所以不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(9,5)(2)f(x)＋5|x＋2|＝|4x－1|＋|4x＋8|≥9.
则由题可得a2－8a>9.
解得a<－1或a>9.
6．(2020·原创冲刺卷三)已知函数f(x)＝|x－2a|，a∈R，若∀x∈R，f(x)都满足f(x)＝f(4－x)．
(1)求a的值；
(2)若∃x∈R，使得不等式f(2x－1)－f(x)≤4－2m成立，求实数m的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝f(4－x)，x∈R，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)＝|x－2a|的图象关于直线x＝2a对称，所以2a＝2，a＝1.
(2)令h(x)＝f(2x－1)－f(x)＝|2x－3|－|x－2|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x＋1，x≤\f(3,2)，,3x－5，\f(3,2)[综合题组练]
1．(2020·河北省九校第二次联考)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.
(1)解不等式f(x)>2；
(2)记函数g(x)＝f(x)＋f(－x)，若对任意的x∈R，不等式|k－1|解：(1)依题意得f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3x，x≤－\f(1,2),x＋2，－\f(1,2)2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥1,3x>2))，解得x<－eq \f(2,3)或0故不等式f(x)>2的解集为{x|x<－eq \f(2,3)或x>0}．
(2)g(x)＝f(x)＋f(－x)＝|x－1|＋|x＋1|＋(|2x＋1|＋|2x－1|)≥|(x－1)－(x＋1)|＋|(2x＋1)－(2x－1)|＝4，
当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－1）（x＋1）≤0,（2x－1）（2x＋1）≤0))，即x∈[－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)]时取等号，
若对任意的x∈R，不等式|k－1|所以－42．(2020·广州市调研测试)已知函数f(x)＝eq \f(1,3)|x－a|(a∈R)．
(1)当a＝2时，解不等式|x－eq \f(1,3)|＋f(x)≥1；
(2)设不等式|x－eq \f(1,3)|＋f(x)≤x的解集为M，若[eq \f(1,3)，eq \f(1,2)]⊆M，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，原不等式可化为|3x－1|＋|x－2|≥3，
①当x≤eq \f(1,3)时，1－3x＋2－x≥3，解得x≤0，所以x≤0；
②当eq \f(1,3)③当x≥2时，3x－1＋x－2≥3，解得x≥eq \f(3,2)，所以x≥2.
综上所述，当a＝2时，不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}．
(2)不等式|x－eq \f(1,3)|＋f(x)≤x可化为|3x－1|＋|x－a|≤3x，
依题意不等式|3x－1|＋|x－a|≤3x在x∈[eq \f(1,3)，eq \f(1,2)]上恒成立，
所以3x－1＋|x－a|≤3x，即|x－a|≤1，
即a－1≤x≤a＋1，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－1≤\f(1,3),a＋1≥\f(1,2)))，解得－eq \f(1,2)≤a≤eq \f(4,3)，
故实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(4,3))).
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|{x|－a∅
∅
|x|>a
{x|x>a或x<－a}
{x|x∈R且x≠0}
R