2023届高考一轮复习讲义（理科）第二章　函数概念与基本初等函数 第1讲　函数及其表示学案

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[学生用书P10]
一、知识梳理
1．函数与映射的概念
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域．
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
[注意] 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
常用结论
几种常见函数的定义域
(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合．
(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合．
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合．
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}．
(5)指数函数的底数大于0且不等于1.
(6)正切函数y＝tan x的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
二、习题改编
1．(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是( )
A．y＝(eq \r(x＋1))2 B．y＝eq \r(3,x3)＋1
C．y＝eq \f(x2,x)＋1 D．y＝eq \r(x2)＋1
解析：选B.对于A，函数y＝(eq \r(x＋1))2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝eq \f(x2,x)＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.
2．(必修1P25B组T1改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．
答案：[－3，0]∪[2，3] [1，5] [1，2)∪(4，5]
3．(必修1P19T1(2)改编)函数y＝eq \r(x－2)·eq \r(x＋2)的定义域是________．
解析：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2≥0，,x＋2≥0，))⇒x≥2.
答案：[2，＋∞)
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点．( )
(2)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是相等函数．( )
(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( )
(4)若集合A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，则对应关系f是从A到B的映射．( )
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )
(6)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ｋ))(1)对函数概念理解不透彻；
(2)对分段函数解不等式时忘记范围；
(3)换元法求解析式，反解忽视范围．
1．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f中不是函数的是________．(填序号)
①f：x→y＝eq \f(1,2)x；②f：x→y＝eq \f(1,3)x；③f：x→y＝eq \f(2,3)x；④f：x→y＝eq \r(x).
解析：对于③，因为当x＝4时，y＝eq \f(2,3)×4＝eq \f(8,3)∉Q，所以③不是函数．
答案：③
2．设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x＋1）2，x<1，,4－\r(x－1)，x≥1，))则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为________．
解析：因为f(x)是分段函数，所以f(x)≥1应分段求解．当x<1时，f(x)≥1⇒(x＋1)2≥1⇒x≤－2或x≥0，所以x≤－2或0≤x<1；当x≥1时，f(x)≥1⇒4－eq \r(x－1)≥1，即eq \r(x－1)≤3，所以1≤x≤10.综上所述，x≤－2或0≤x≤10，即x∈(－∞，－2]∪[0，10]．
答案：(－∞，－2]∪[0，10]
3．已知f(eq \r(x))＝x－1，则f(x)＝________．
解析：令t＝eq \r(x)，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)．
答案：x2－1(x≥0)
[学生用书P11]
函数的定义域(多维探究)
角度一 求函数的定义域
(1)(2020·安徽宣城八校联考)函数y＝eq \f(\r(－x2＋2x＋3),lg（x＋1）)的定义域为( )
A．(－1，3] B．(－1，0)∪(0，3]
C. [－1，3] D．[－1，0)∪(0，3]
(2)(2020·华南师范大学附属中学月考)已知函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数g(x)＝eq \f(f（2x－1）,ln（1－x）)的定义域是 ( )
A．[0，1] B．(0，1)
C．[0，1) D．(0，1]
【解析】 (1)要使函数有意义，x需满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋2x＋3≥0，,x＋1>0，,x＋1≠1，))解得－1(2)由函数f(x)的定义域为[－1，1]，得－1≤x≤1，令－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1，又由1－x>0且1－x≠1，解得x<1且x≠0，所以函数g(x)的定义域为(0，1)，故选B.
【答案】 (1)B (2)B
角度二 已知函数的定义域求参数
若函数y＝eq \f(ax＋1,\r(ax2－4ax＋2))的定义域为R，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
【解析】 由ax2－4ax＋2＞0恒成立，
得a＝0或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＞0，,Δ＝（－4a）2－4×a×2＜0，))解得0≤a＜eq \f(1,2).
【答案】 D
eq \a\vs4\al()
函数定义域的求解策略
(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题．在解不等式组取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍．
(2)求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a＜g(x)＜b即可求出y＝f(g(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得y＝f(x)的定义域．
(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式(组)，然后求解．
[提醒] (1)求函数定义域时，对函数解析式先不要化简．
(2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式．
1．y＝ eq \r(\f(x－1,2x))－lg2(4－x2)的定义域是( )
A．(－2，0)∪(1，2) B．(－2，0]∪(1，2)
C．(－2，0)∪[1，2) D．[－2，0]∪[1，2]
解析：选C.要使函数有意义，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x－1,2x)≥0，,x≠0，,4－x2＞0，))解得x∈(－2，0)∪[1，2)，
即函数的定义域是(－2，0)∪[1，2)．
2．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－eq \r(3)，eq \r(3)]，则函数y＝f(x)的定义域为________．
解析：因为y＝f(x2－1)的定义域为[－eq \r(3)，eq \r(3)]，所以x∈[－eq \r(3)，eq \r(3)]，x2－1∈[－1，2]，所以y＝f(x)的定义域为[－1，2]．
答案：[－1，2]
3．若函数y＝eq \f(mx－1,mx2＋4mx＋3)的定义域为R，则实数m的取值范围是________．
解析：因为函数y＝eq \f(mx－1,mx2＋4mx＋3)的定义域为R，
所以mx2＋4mx＋3≠0，
所以m＝0或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≠0，,Δ＝16m2－12m＜0，))即m＝0或0＜m＜eq \f(3,4)，所以实数m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4))).
答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))
求函数的解析式(师生共研)
(1)已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)；
(2)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)．
【解】 (1)法一：待定系数法
因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.
因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a＝4，,4a＋2b＝－6，,a＋b＋c＝5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－5，,c＝9，))
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
法二：换元法
令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝eq \f(t－1,2)，
所以f(t)＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t－1,2)))eq \s\up12(2)－6·eq \f(t－1,2)＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
法三：配凑法
因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
(2)解方程组法
由f(－x)＋2f(x)＝2x，①
得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②
①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.
即f(x)＝eq \f(2x＋1－2－x,3).
故f(x)的解析式是f(x)＝eq \f(2x＋1－2－x,3)(x∈R)．
eq \a\vs4\al()
求函数解析式的4种方法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，得f(x)的表达式．
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．
(4)解方程组法：已知关于f(x)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
[提醒] 求解析式时要注意新元的取值范围．
1．已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，则f(x)＝________．
解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx.
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＋b＝b＋1，,a＋b＝1，))解得a＝b＝eq \f(1,2).
所以f(x)＝eq \f(1,2)x2＋eq \f(1,2)x(x∈R)．
答案：eq \f(1,2)x2＋eq \f(1,2)x(x∈R)
2．已知函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋1))＝lg x，则f(x)＝________．
解析：令eq \f(2,x)＋1＝t，得x＝eq \f(2,t－1)，则f(t)＝lg eq \f(2,t－1)，又x>0，所以t>1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg eq \f(2,x－1)(x>1)．
答案：lg eq \f(2,x－1)(x>1)
3．已知函数f(x)满足2f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，则f(x)＝________．
解析：因为2f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，①
把①中的x换成eq \f(1,x)，得2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋f(x)＝eq \f(3,x).②
联立①②可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2f（x）＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，,2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋f（x）＝\f(3,x)，))
解此方程组可得f(x)＝2x－eq \f(1,x)(x≠0)．
答案：2x－eq \f(1,x)(x≠0)
4．已知函数f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)，则f(x)的解析式为________．
解析：法一(换元法)：设t＝eq \r(x)＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，代入原式有
f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.
故f(x)＝x2－1，x≥1.
法二(配凑法)：因为x＋2eq \r(x)＝(eq \r(x))2＋2eq \r(x)＋1－1＝(eq \r(x)＋1)2－1，
所以f(eq \r(x)＋1)＝(eq \r(x)＋1)2－1，eq \r(x)＋1≥1，
即f(x)＝x2－1，x≥1.
答案：f(x)＝x2－1(x≥1)
分段函数(多维探究)
角度一 分段函数求值
(1)(2020·江西南昌一模)设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2x，（x≤0），,f（x－3），（x>0），))则f(5)的值为( )
A．－7 B．－1
C．0 D．eq \f(1,2)
(2)若函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg（1－x），x<0，,－2\r(x)，x≥0，))则f(f(－9))＝________．
【解析】 (1)f(5)＝f(5－3)＝f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝(－1)2－2－1＝eq \f(1,2).故选D.
(2)因为函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg（1－x），x<0，,－2\r(x)，x≥0，))
所以f(－9)＝lg 10＝1，所以f(f(－9))＝f(1)＝－2.
【答案】 (1)D (2)－2
角度二 已知函数值求参数
设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－1，（x≥2），,lg2x，（0【解析】 当m≥2时，由m2－1＝3，得m2＝4，解得m＝2；当0综上所述，m＝2.
【答案】 2
角度三 与分段函数有关的方程、不等式问题
(1)(2020·安徽安庆二模)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(x＋1)，－1A．2 B．4
C．6 D．8
(2)(一题多解)(2020·安徽皖南八校联考)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2（x＋1），x≥1，,1，x<1，))则满足f(2x＋1)A．(－∞，0] B．(3，＋∞)
C．[1，3) D．(0，1)
【解析】 (1)由题意得a>0.
当0故选D.
(2)法一：由f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2（x＋1），x≥1，,1，x<1))可得当x<1时，f(x)＝1，当x≥1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且f(1)＝lg22＝1，
要使得f(2x＋1)1，))解得x>3，
即不等式f(2x＋1)法二：当x≥1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且f(x)≥f(1)＝1，要使f(2x＋1)1，))解得x>3.故选B.
【答案】 (1)D (2)B
eq \a\vs4\al()
分段函数问题的求解思路
(1)根据分段函数的解析式，求函数值的解题思路
先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)已知分段函数的函数值，求参数值的解题思路
先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，构造关于参数的方程．然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
(3)已知分段函数的函数值满足的不等式，求自变量取值范围的解题思路
依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．
1．(2020·河南郑州质量测评)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2x，x≥1，,\f(1,1－x)，x<1，))则不等式f(x)≤1的解集为( )
A．(－∞，2] B．(－∞，0]∪(1，2]
C．[0，2] D．(－∞，0]∪[1，2]
解析：选D.当x≥1时，不等式f(x)≤1为lg2x≤1，即lg2x≤lg22，
因为函数y＝lg2x在(0，＋∞)上单调递增，
所以1≤x≤2；
当x<1时，不等式f(x)≤1为eq \f(1,1－x)≤1，
所以eq \f(1,1－x)－1≤0，所以eq \f(x,1－x)≤0，所以eq \f(x,x－1)≥0，
所以x≤0或x>1(舍去)．
所以f(x)≤1的解集是(－∞，0]∪[1，2]．故选D.
2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2x＋a，x＞0，,4x－2－1，x≤0.))若f(a)＝3，则f(a－2)＝________．
解析：当a＞0时，若f(a)＝3，则lg2a＋a＝3，解得a＝2(满足a＞0)；当a≤0时，若f(a)＝3，则4a－2－1＝3，解得a＝3，不满足a≤0，所以舍去．于是，可得a＝2.故f(a－2)＝f(0)＝4－2－1＝－eq \f(15,16).
答案：－eq \f(15,16)
3．(2020·闽粤赣三省十校联考)已知函数f(x－2)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6－x，x>2，,2x，x≤2，))则f(2)＝________．
解析：f(2)＝f(4－2)＝6－4＝2.
答案：2
[学生用书P13]
分类讨论思想在分段函数中的应用
设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤0，,2x，x>0，))则满足f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))>1的x的取值范围是________．
【解析】 当x>0时，f(x)＝2x>1恒成立，当x－eq \f(1,2)>0，即x>eq \f(1,2)时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＝2x－eq \f(1,2)>1，当x－eq \f(1,2)≤0，即0eq \f(1,2)，则不等式f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))>1恒成立．当x≤0时，f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＝x＋1＋x＋eq \f(1,2)＝2x＋eq \f(3,2)>1，所以－eq \f(1,4)【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，＋∞))
eq \a\vs4\al()
解决分段函数问题的关键是“对号入座”，即根据自变量取值的范围，准确确定相应的对应法则，代入相应的函数解析式，转化为一般的函数在指定区间上的问题，解完之后应注意检验自变量取值范围的应用．总之，解决分段函数的策略就是“分段函数，分段解决”，即应用分类讨论思想解决．
设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(x)－7（x<0），,\r(x)（x≥0），))若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．
解析：若a<0，则f(a)<1⇔eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(a)－7<1⇔eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(a)<8，解得a>－3，故－3答案：(－3，1)
[学生用书P334(单独成册)]
[基础题组练]
1．下列所给图象是函数图象的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．故选B.
2．函数f(x)＝eq \r(2x－1)＋eq \f(1,x－2)的定义域为( )
A．[0，2) B．(2，＋∞)
C．[0，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
解析：选C.由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－1≥0，,x－2≠0，))解得x≥0，且x≠2.
3．(2020·吉安模拟)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－1))＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于( )
A.eq \f(7,4) B．－eq \f(7,4)
C.eq \f(4,3) D．－eq \f(4,3)
解析：选A.令t＝eq \f(1,2)x－1，则x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，则4a－1＝6，解得a＝eq \f(7,4).
4．下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( )
A．y＝eq \r(x－1) B．y＝ln x
C．y＝eq \f(1,3x－1) D．y＝eq \f(x＋1,x－1)
解析：选D.对于A，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B，定义域为(0，＋∞)，值域为R，不满足题意；对于C，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D，y＝eq \f(x＋1,x－1)＝1＋eq \f(2,x－1)，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．
5．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x－2)，x＞2，,x2＋2，x≤2，))则f(f(1))＝( )
A．－eq \f(1,2) B．2
C．4 D．11
解析：选C.因为f(1)＝12＋2＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝3＋eq \f(1,3－2)＝4.故选C.
6．已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[0，1]，则函数eq \f(f（2x＋1）,lg2（x＋1）)的定义域是( )
A．[1，2] B．(－1，1]
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0)) D．(－1，0)
解析：选D.由f(2x－1)的定义域是[0，1]，得0≤x≤1，故－1≤2x－1≤1，所以函数f(x)的定义域是[－1，1]，所以要使函数eq \f(f（2x＋1）,lg2（x＋1）)有意义，需满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1≤2x＋1≤1，,x＋1>0，,x＋1≠1，))解得－17．下列函数中，不满足f(2 018x)＝2 018f(x)的是( )
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋2 D．f(x)＝－2x
解析：选C.若f(x)＝|x|，则f(2 018x)＝|2 018x|＝2 018|x|＝2 018f(x)；若f(x)＝x－|x|，则f(2 018x)＝2 018x－|2 018x|＝2 018(x－|x|)＝2 018f(x)；若f(x)＝x＋2，则f(2 018x)＝2 018x＋2，而2 018f(x)＝2 018x＋2 018×2，故f(x)＝x＋2不满足f(2 018x)＝2 018f(x)；若f(x)＝－2x，则f(2 018x)＝－2×2 018x＝2 018×(－2x)＝2 018f(x)．故选C.
8．设x∈R，定义符号函数sgn x＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，x＞0，,0，x＝0，,－1，x＜0，))则( )
A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x
解析：选D.当x＜0时，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，xsgn|x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－1)＝x，排除A，B，C，故选D.
9．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)＝________．
解析：设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
因为g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝1，,a－b＋c＝5，,c＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝－2，,c＝0，))所以g(x)＝3x2－2x.
答案：3x2－2x
10．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x，x>0，,x＋1，x≤0，))若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．
解析：因为f(1)＝2，且f(1)＋f(a)＝0，所以f(a)＝－2<0，故a≤0.依题知a＋1＝－2，解得a＝－3.
答案：－3
11．已知f(x)的定义域为{x|x≠0}，且3f(x)＋5feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(3,x)＋1，则函数f(x)的解析式为________．
解析：用eq \f(1,x)代替3f(x)＋5feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(3,x)＋1中的x，得3feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋5f(x)＝3x＋1，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3f（x）＋5f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝\f(3,x)＋1 ①，,3f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋5f（x）＝3x＋1 ②，))①×3－②×5得f(x)＝eq \f(15,16)x－eq \f(9,16x)＋eq \f(1,8)(x≠0)．
答案：f(x)＝eq \f(15,16)x－eq \f(9,16x)＋eq \f(1,8)(x≠0)
12．设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ln x，x≥1，,1－x，x<1，))则f(f(0))＝________，若f(m)>1，则实数m的取值范围是________．
解析：f(f(0))＝f(1)＝ln 1＝0；如图所示，可得f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ln x，x≥1，,1－x，x<1))的图象与直线y＝1的交点分别为(0，1)，(e，1)．若f(m)>1，则实数m的取值范围是(－∞，0)∪(e，＋∞)．
答案：0 (－∞，0)∪(e，＋∞)
[综合题组练]
1．设f(x)，g(x)都是定义在实数集上的函数，定义函数(f·g)(x)：∀x∈R，(f·g)(x)＝f(g(x))．若f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x，x>0，,x2，x≤0，))g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ex，x≤0，,ln x，x>0，))则( )
A．(f·f)(x)＝f(x) B．(f·g)(x)＝f(x)
C．(g·f)(x)＝g(x) D．(g·g)(x)＝g(x)
解析：选A.对于A，(f·f)(x)＝f(f(x))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x），f（x）>0，,f 2（x），f（x）≤0，))当x>0时，f(x)＝x>0，(f·f)(x)＝f(x)＝x；当x<0时，f(x)＝x2>0，(f·f)(x)＝f(x)＝x2；当x＝0时，(f·f)(x)＝f 2(x)＝0＝02，因此对任意的x∈R，有(f·f)(x)＝f(x)，故A正确，选A.
2．(2020·河南郑州第二次质量检测)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝eq \f(2x＋3,2x＋1)，则函数y＝[f(x)]的值域为( )
A．{0，1，2，3} B．{0，1，2}
C．{1，2，3} D．{1，2}
解析：选D.f(x)＝eq \f(2x＋3,2x＋1)＝eq \f(2x＋1＋2,2x＋1)＝1＋eq \f(2,2x＋1)，
因为2x>0，所以1＋2x>1，所以0则0即1当1综上，函数y＝[f(x)]的值域为{1，2}，故选D.
3．具有性质feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数：①f(x)＝x－eq \f(1,x)；②f(x)＝x＋eq \f(1,x)；③f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x，0＜x＜1，,0，x＝1，,－\f(1,x)，x＞1.))其中满足“倒负”变换的函数是( )
A．①③ B．②③
C．①②③ D．①②
解析：选A.对于①，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(1,x)－x＝－f(x)，满足题意；
对于②，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(1,x)＋x＝f(x)，不满足题意；
对于③，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，0＜\f(1,x)＜1，,0，\f(1,x)＝1，,－x，\f(1,x)＞1，))
即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，x＞1，,0，x＝1，,－x，0＜x＜1，))
故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f(x)，满足题意．
综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.故选A.
4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（1－2a）x＋3a，x＜1，,ln x，x≥1))的值域为R，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知y＝ln x(x≥1)的值域为[0，＋∞)，故要使f(x)的值域为R，则必有y＝(1－2a)x＋3a为增函数，且1－2a＋3a≥0，所以1－2a＞0，且a≥－1，解得－1≤a＜eq \f(1,2).
答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))
函数
映射
两集合A，B
设A，B是两个非空的数集
设A，B是两个非空的集合
对应关系f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)(x∈A)
对应f：A→B是一个映射