2023届高考一轮复习讲义（理科）第九章　平面解析几何 第2讲　两直线的位置关系学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第九章　平面解析几何 第2讲　两直线的位置关系学案，共19页。学案主要包含了知识梳理，习题改编，过直线交点的直线系，直线恒过定点等内容，欢迎下载使用。


一、知识梳理
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率都存在且分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2；特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行．
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．
2．两直线相交
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一对应．
相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行⇔方程组无解；
重合⇔方程组有无数个解．
3．三种距离
常用结论
1．两个充要条件
(1)两直线平行或重合的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.
(2)两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
2．六种常见对称
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
(6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
3．三种直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
二、习题改编
1．(必修2P110B组T2改编)已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝________．
解析：由题意得eq \f(|a－2＋3|,\r(1＋1))＝1.
解得a＝－1＋eq \r(2)或a＝－1－eq \r(2).因为a>0，所以a＝－1＋eq \r(2).
答案：eq \r(2)－1
2．(必修2P101A组T10改编)已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________．
解析：由题意知eq \f(m－4,－2－m)＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.
答案：1
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( )
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( )
(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.( )
(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ｋ))(1)判断两直线平行时，忽视两直线重合的情况；
(2)判断两直线的位置关系时，忽视斜率不存在的情况；
(3)求两平行线间的距离，忽视x，y的系数应对应相同．
1．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝________．
解析：直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有eq \f(2,m)＝eq \f(m＋1,3)≠eq \f(4,－2)，故m＝2或－3.
答案：2或－3
2．若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________．
解析：由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.
答案：0或1
3．直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是________．
解析：先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋eq \f(1,2)＝0，
则两平行线间的距离为d＝eq \f(|2－\f(1,2)|,\r(2))＝eq \f(3\r(2),4).
答案：eq \f(3\r(2),4)
两直线的位置关系(多维探究)
角度一 判断两直线的位置关系
(2020·天津静海区联考)“a＝1”是“直线ax＋2y－8＝0与直线x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 设直线l1：ax＋2y－8＝0，直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0.若l1与l2平行，则a(a＋1)－2＝0，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2.当a＝－2时，直线l1的方程为－2x＋2y－8＝0，即x－y＋4＝0，直线l2的方程为x－y＋4＝0，此时两直线重合，则a≠－2.当a＝1时，直线l1的方程为x＋2y－8＝0，直线l2的方程为x＋2y＋4＝0，此时两直线平行．故“a＝1”是“直线ax＋2y－8＝0与直线x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的充要条件．故选A.
【答案】 A
角度二 由两直线的位置关系求参数
(1)(2020·安徽芜湖四校联考)直线(2m－1)x＋my＋1＝0和直线mx＋3y＋3＝0垂直，则实数m的值为( )
A．1 B．0
C．2 D．－1或0
(2)(2020·陕西宝鸡中学二模)若直线x＋(1＋m)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是( )
A．1 B．－2
C．1或－2 D．－eq \f(3,2)
【解析】 (1)由两直线垂直可得m(2m－1)＋3m＝0，解得m＝0或－1.故选D.
(2)①当m＝－1时，两直线方程分别为x－2＝0和x－2y－4＝0，此时两直线相交，不符合题意．②当m≠－1时，两直线的斜率都存在，由两直线平行可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(1,1＋m)＝－\f(m,2)，,\f(2,1＋m)≠－2，))解得m＝1.综上可得m＝1.故选A.
【答案】 (1)D (2)A
角度三 由两直线的位置关系求直线方程
(一题多解)经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线的方程为________．
【解析】 法一：由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(5,3)，,y＝\f(7,9)，))即交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，\f(7,9)))，
因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
所以所求直线的斜率为k＝eq \f(4,3).
由点斜式得所求直线方程为y－eq \f(7,9)＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5,3)))，
即4x－3y＋9＝0.
法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，
由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0))可解得交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，\f(7,9)))，
代入4x－3y＋m＝0得m＝9，
故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
法三：由题意可设所求直线的方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，
即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0，①
又因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，
所以λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
【答案】 4x－3y＋9＝0
eq \a\vs4\al()
两直线平行、垂直的判断方法
若已知两直线的斜率存在．
(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等．
(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.
[提醒] 判断两条直线的位置关系应注意：
(1)注意斜率不存在的特殊情况．
(2)注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
1．求满足下列条件的直线方程．
(1)过点P(－1，3)且平行于直线x－2y＋3＝0；
(2)已知A(1，2)，B(3，1)，线段AB的垂直平分线．
解：(1)设直线方程为x－2y＋c＝0，把P(－1，3)代入直线方程得c＝7，
所以直线方程为x－2y＋7＝0.
(2)AB的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋3,2)，\f(2＋1,2)))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,2)))，
直线AB的斜率kAB＝eq \f(2－1,1－3)＝－eq \f(1,2)，
故线段AB的垂直平分线的斜率k＝2，
所以其方程为y－eq \f(3,2)＝2(x－2)，即4x－2y－5＝0.
2．(一题多解)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)试判断l1与l2是否平行；
(2)当l1⊥l2时，求a的值．
解：(1)法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，
l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，
l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－eq \f(a,2)x－3，
l2：y＝eq \f(1,1－a)x－(a＋1)，
l1∥l2⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)＝\f(1,1－a)，,－3≠－（a＋1），))
解得a＝－1，
综上可知，当a＝－1时，l1∥l2.
法二：由A1B2－A2B1＝0，
得a(a－1)－1×2＝0，
由A1C2－A2C1≠0，
得a(a2－1)－1×6≠0，
所以l1∥l2⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a（a－1）－1×2＝0，,a（a2－1）－1×6≠0，))
⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－a－2＝0，,a（a2－1）≠6，))可得a＝－1，
故当a＝－1时，l1∥l2.
(2)法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，
l1与l2不垂直，故a＝1不成立；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，
故a＝0不成立；
当a≠1且a≠0时，
l1：y＝－eq \f(a,2)x－3，l2：y＝eq \f(1,1－a)x－(a＋1)，
由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)))·eq \f(1,1－a)＝－1，得a＝eq \f(2,3).
法二：由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0，
可得a＝eq \f(2,3).
两条直线的交点和距离问题(典例迁移)
(1)经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为__________________．
(2)(2020·广州模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．
(3)(2020·厦门模拟)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为eq \f(2\r(13),13)，则c的值是________．
【解析】 (1)由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2，))即P(0，2)．因为l⊥l3，所以直线l的斜率k＝－eq \f(4,3)，所以直线l的方程为y－2＝－eq \f(4,3)x，即4x＋3y－6＝0.
(2)由题意得，点P到直线的距离为eq \f(|4×4－3×a－1|,5)＝eq \f(|15－3a|,5).又eq \f(|15－3a|,5)≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0，10]．
(3)依题意知，eq \f(6,3)＝eq \f(a,－2)≠eq \f(c,－1)，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋eq \f(c,2)＝0，又两平行线之间的距离为eq \f(2\r(13),13)，所以eq \f(|\f(c,2)＋1|,\r(32＋（－2）2))＝eq \f(2\r(13),13)，解得c＝2或－6.
【答案】 (1)4x＋3y－6＝0 (2)[0，10] (3)2或－6
【迁移探究】 若将本例(1)中的“垂直”改为“平行”，如何求解？
解：法一：由方程组
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2，))即P(0，2)．
因为l∥l3，所以直线l的斜率k＝eq \f(3,4)，
所以直线l的方程为y－2＝eq \f(3,4)x，
即3x－4y＋8＝0.
法二：因为直线l过直线l1和l2的交点，
所以可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
因为l与l3平行，所以3(λ－2)－(－4)(1＋λ)＝0，且(－4)(4－2λ)≠5(λ－2)，所以λ＝eq \f(2,7)，
所以直线l的方程为3x－4y＋8＝0.
eq \a\vs4\al()
(1)求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)利用距离公式应注意：
①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等．
1．已知A(2，0)，B(0，2)，若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选A.设点C(t，t2)，直线AB的方程是x＋y－2＝0，|AB|＝2eq \r(2).
由于△ABC的面积为2，
则这个三角形中AB边上的高h满足方程eq \f(1,2)×2eq \r(2)h＝2，即h＝eq \r(2).
由点到直线的距离公式得eq \r(2)＝eq \f(|t＋t2－2|,\r(2))，
即|t＋t2－2|＝2，即t2＋t－2＝2或者t2＋t－2＝－2.
因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个．
2．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－eq \f(1,2)x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________．
解析：
如图，已知直线y＝－eq \f(1,2)x＋2与x轴、y轴分别交于点A(4，0)，B(0，2)．
而直线方程y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点P(－2，1)，斜率为k的动直线．
因为两直线的交点在第一象限，
所以两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，
所以动直线的斜率k需满足kPA因为kPA＝－eq \f(1,6)，kPB＝eq \f(1,2).所以－eq \f(1,6)答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,6)，\f(1,2)))
3．(一题多解)直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为________．
解析：法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知eq \f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq \f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，即|3k－1|＝|－3k－3|，所以k＝－eq \f(1,3)，所以直线l的方程为y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－eq \f(1,3)，直线l的方程为y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当l过AB的中点时，AB的中点为(－1，4)，所以直线l的方程为x＝－1，故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
答案：x＋3y－5＝0或x＝－1
对称问题(多维探究)
角度一 点关于点的对称
过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
【解析】 设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，
所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.
【答案】 x＋4y－4＝0
角度二 点关于线的对称
如图所示，已知两点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )
A．2eq \r(10) B．6
C．3eq \r(3) D．2eq \r(5)
【解析】 易得AB所在的直线方程为x＋y＝4，由于点P关于直线AB的对称点为A1(4，2)，点P关于y轴对称的点为A2(－2，0)，则光线所经过的路程即A1(4，2)与A2(－2，0)两点间的距离．于是|A1A2|＝eq \r(（4＋2）2＋（2－0）2)＝2eq \r(10).
【答案】 A
角度三 线关于线的对称
直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是( )
A．x－2y＋3＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0
【解析】 设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于直线x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x＋x0,2)－\f(y＋y0,2)＋2＝0，,x－x0＝－（y－y0）))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝y－2，,y0＝x＋2，))
由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
所以2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.
【答案】 A
eq \a\vs4\al()
(1)中心对称问题的2个类型及求解方法
①点关于点对称：
若点M(x1，y1)及N(x，y)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1，))进而求解；
②直线关于点的对称，主要求解方法：
(a)在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
(b)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
(2)轴对称问题的2个类型及求解方法
①点关于直线的对称：
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，
由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，))
可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
②直线关于直线的对称：
一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．
已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
解：(1)设A′(x，y)，由已知
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y＋2,x＋1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13).))
所以A′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(33,13)，\f(4,13))).
(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，
则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设M′(a，b)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2×\f(a＋2,2)－3×\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1.))
解得M′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,13)，\f(30,13))).
设直线m与直线l的交点为N，则由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0.))得N(4，3)．又因为m′经过点N(4，3)，所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
(3)设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，因为P′在直线l上，
所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.
数学运算 直线系方程的应用
一、平行直线系
由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．
求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l的方程．
【解】 依题意，设所求直线方程为3x＋4y＋C1＝0(C1≠1)，因为直线过点(1，2)，
所以3×1＋4×2＋C1＝0，解得C1＝－11.
因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.
eq \a\vs4\al()
先设与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由其他条件求C1.
二、垂直直线系
由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0，因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系，可以考虑用直线系方程求解．
求经过A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
【解】 因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C1＝0，又直线过点A(2，1)，所以有2－2×1＋C1＝0，解得C1＝0，所以所求直线方程为x－2y＝0.
eq \a\vs4\al()
先设与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0，再由其他条件求出C1.
三、过直线交点的直线系
求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．
【解】 法一：将直线l1，l2的方程联立，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋2y－1＝0，,5x＋2y＋1＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝2，))即直线l1，l2的交点为(－1，2)．
由题意得直线l3的斜率为eq \f(3,5)，又直线l⊥l3，所以直线l的斜率为－eq \f(5,3)，
则直线l的方程是y－2＝－eq \f(5,3)(x＋1)，
即5x＋3y－1＝0.
法二：由于l⊥l3，所以可设直线l的方程是5x＋3y＋C＝0，将直线l1，l2的方程联立，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋2y－1＝0，,5x＋2y＋1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝2，))即直线l1，l2的交点为(－1，2)，则点(－1，2)在直线l上，所以5×(－1)＋3×2＋C＝0，解得C＝－1，
所以直线l的方程为5x＋3y－1＝0.
法三：设直线l的方程为3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0，
整理得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.
由于l⊥l3，所以3(3＋5λ)－5(2＋2λ)＝0，解得λ＝eq \f(1,5)，
所以直线l的方程为5x＋3y－1＝0.
eq \a\vs4\al()
本题中的法二、法三均是利用直线系设出直线l的方程，而法三是利用相交直线系设出方程，避免了求直线l1与l2的交点坐标，方便简捷，是最优解法．
四、直线恒过定点
已知λ∈R，求证直线l：(2λ＋1)x＋(3λ＋1)y－7λ－3＝0恒过定点，并求出该定点坐标．
【解】 将(2λ＋1)x＋(3λ＋1)y－7λ－3＝0化成
(2x＋3y－7)λ＋(x＋y－3)＝0.
要使直线恒过定点，必须eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y－7＝0,x＋y－3＝0.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1.))
即直线l恒过定点(2，1)．
eq \a\vs4\al()
直线Ax＋By＋C＝0恒过定点问题实际上是直线系方程问题．将问题转化为两直线的交点，即将Ax＋By＋C＝0化为(a1x＋b1y＋c1)λ＋(a2x＋b2y＋c2)＝0.通过方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1x＋b1y＋c1＝0,a2x＋b2y＋c2＝0))，即可求出直线恒过的定点．
[基础题组练]
1．已知直线l1：mx＋y－1＝0与直线l2：(m－2)x＋my－2＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的( )
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.由l1⊥l2，得m(m－2)＋m＝0，解得m＝0或m＝1，所以“m＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，故选A.
2．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )
A．1或3 B．1或5
C．3或5 D．1或2
解析：选C.法一：由两直线平行得，当k－3＝0时，两直线的方程分别为y＝－1和y＝eq \f(3,2)，显然两直线平行．当k－3≠0时，由eq \f(k－3,2（k－3）)＝eq \f(4－k,－2)≠eq \f(1,3)，可得k＝5.综上，k的值是3或5.
法二：当k＝3时，两直线平行，故排除B，D；当k＝1时，两直线不平行，排除A.
3．(2020·安徽江南十校二联)已知直线l1：mx－3y＋6＝0，l2：4x－3my＋12＝0，若l1∥l2，则l1，l2之间的距离为( )
A.eq \f(12\r(13),13) B．eq \f(8\r(13),13)
C.eq \f(9\r(13),13) D．eq \r(13)
解析：选A.由于两条直线平行，所以m·(－3m)－(－3)·4＝0，解得m＝±2，当m＝2时，两直线方程都是2x－3y＋6＝0，故两直线重合，不符合题意．当m＝－2时，l1：2x＋3y－6＝0，l2：2x＋3y＋6＝0，故l1，l2之间的距离为eq \f(|6－（－6）|,\r(22＋32))＝eq \f(12\r(13),13).故选A.
4．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为eq \r(2)，则点P的坐标为( )
A．(1，2) B．(2，1)
C．(1，2)或(2，－1) D．(2，1)或(－1，2)
解析：选C.设P(x，5－3x)，则d＝eq \f(|x－（5－3x）－1|,\r(12＋（－1）2))＝eq \r(2)，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，故P(1，2)或(2，－1)．
5．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为( )
A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0
C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0
解析：选D.由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋(y－1)＝0，令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋3＝0，,y－1＝0，))可得x＝－3，y＝1，所以M(－3，1)，M不在直线2x＋3y－6＝0上，设直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则eq \f(|－6＋3－6|,\r(4＋9))＝eq \f(|－6＋3＋c|,\r(4＋9))，解得c＝12或c＝－6(舍去)，所以所求方程为2x＋3y＋12＝0，故选D.
6．与直线l1：3x＋2y－6＝0和直线l2：6x＋4y－3＝0等距离的直线方程是________．
解析：l2：6x＋4y－3＝0化为3x＋2y－eq \f(3,2)＝0，所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x＋2y＋c＝0，则：|c＋6|＝|c＋eq \f(3,2)|，解得c＝－eq \f(15,4)，所以l的方程为12x＋8y－15＝0.
答案：12x＋8y－15＝0
7．l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．
解析：当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又kAB＝eq \f(－1－1,0－1)＝2，所以两条平行直线的斜率为k＝－eq \f(1,2)，所以直线l1的方程是y－1＝－eq \f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.
答案：x＋2y－3＝0
8．已知点A(－1，2)，B(3，4)．P是x轴上一点，且|PA|＝|PB|，则△PAB的面积为________．
解析：设AB的中点坐标为M(1，3)，
kAB＝eq \f(4－2,3－（－1）)＝eq \f(1,2)，
所以AB的中垂线方程为y－3＝－2(x－1)．
即2x＋y－5＝0.
令y＝0，则x＝eq \f(5,2)，
即P点的坐标为(eq \f(5,2)，0)，
|AB|＝eq \r(（－1－3）2＋（2－4）2)＝2eq \r(5).
点P到AB的距离为|PM|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(5,2)))\s\up12(2)＋32)＝eq \f(3\r(5),2).
所以S△PAB＝eq \f(1,2)|AB|·|PM|＝eq \f(1,2)×2eq \r(5)×eq \f(3\r(5),2)＝eq \f(15,2).
答案：eq \f(15,2)
9．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
解：(1)因为l1⊥l2，
所以a(a－1)－b＝0.
又因为直线l1过点(－3，－1)，
所以－3a＋b＋4＝0.
故a＝2，b＝2.
(2)因为直线l2的斜率存在，l1∥l2，
所以直线l1的斜率存在．
所以eq \f(a,b)＝1－a.①
又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，
所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即eq \f(4,b)＝b.②
联立①②可得a＝2，b＝－2或a＝eq \f(2,3)，b＝2.
10．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P.
(1)点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；
(2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值．
解：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为
(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
所以eq \f(|10＋5λ－5|,\r(（2＋λ）2＋（1－2λ）2))＝3，解得λ＝eq \f(1,2)或λ＝2.
所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y－5＝0，,x－2y＝0，))
解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离，
则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．
所以dmax＝|PA|＝eq \r(10).
[综合题组练]
1．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为 ( )
A．(－2，4) B．(－2，－4)
C．(2，4) D．(2，－4)
解析：选C.设A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y－2,x＋4)×2＝－1，,\f(y＋2,2)＝2×\f(－4＋x,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－2，))所以BC所在的直线方程为y－1＝eq \f(－2－1,4－3)(x－3)，即3x＋y－10＝0.同理可得点B(3，1)关于直线y＝2x的对称点为(－1，3)，所以AC所在的直线方程为y－2＝eq \f(3－2,－1－（－4）)·(x＋4)，即x－3y＋10＝0.联立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋y－10＝0，,x－3y＋10＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4，))则C(2，4)．故选C.
2．两条平行线l1，l2分别过点P(－1，2)，Q(2，－3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是( )
A．(5，＋∞) B．(0，5]
C．(eq \r(34)，＋∞) D．(0，eq \r(34)]
解析：选D.当直线PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，为eq \r(（－1－2）2＋[2－（－3）]2)＝eq \r(34)，所以l1，l2之间距离的取值范围是(0，eq \r(34)]．故选D.
3．在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线l1：x－my＋2m－1＝0，l2：mx＋y－m－2＝0的交点为P，过点O分别向直线l1，l2引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为( )
A．3 B．eq \f(3,2)
C．5 D．eq \f(5,2)
解析：选D.将直线l1的方程变形得(x－1)＋m(2－y)＝0，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1＝0,2－y＝0))，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝2))，则直线l1过定点A(1，2)，同理可知，直线l2过定点A(1，2)，
所以，直线l1和直线l2的交点P的坐标为(1，2)，易知，直线l1⊥l2，如图所示，
易知，四边形OMPN为矩形，且|OP|＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)，
设|OM|＝a，|ON|＝b，则a2＋b2＝5，
四边形OMPN的面积为S＝|OM|·|ON|＝ab≤eq \f(a2＋b2,2)＝eq \f(5,2)，
当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝b,a2＋b2＝5))，即当a＝b＝eq \f(\r(10),2)时，等号成立，
因此，四边形OMPN面积的最大值为eq \f(5,2)，故选D.
4.如图，已知A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，E(－1，0)，F(1，0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围为________．
解析：从特殊位置考虑．如图，
因为点A(－2，0)关于直线BC：
x＋y＝2的对称点为A1(2，4)，所以kA1F＝4.又点E(－1，0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E1(－2，1)，点E1(－2，1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1，4)，此时直线E2F的斜率不存在，所以kFD>kA1F，即kFD∈(4，＋∞)．
答案：(4，＋∞)
5．正方形的中心为点C(－1，0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．
解：点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝eq \f(|－1－5|,\r(1＋9))＝eq \f(3\r(10),5).
设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，
则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离
d＝eq \f(|－1＋m|,\r(1＋9))＝eq \f(3\r(10),5)，
解得m＝－5(舍去)或m＝7，
所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0.
设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，
则点C到直线3x－y＋n＝0的距离
d＝eq \f(|－3＋n|,\r(1＋9))＝eq \f(3\r(10),5)，
解得n＝－3或n＝9，
所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.
6．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：
(1)P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；
(2)P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小．
解：
(1)如图，设B关于l的对称点为B′，AB′的延长线交l于P0，在l上另任取一点P，则|PA|－|PB|＝|PA|－|PB′|<|AB′|＝|P0A|－|P0B′|＝|P0A|－|P0B|，则P0即为所求．
易求得直线BB′的方程为x＋3y－12＝0，
设B′(a，b)，则a＋3b－12＝0，①
又线段BB′的中点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，\f(b＋4,2)))在l上，故3a－b－6＝0.②
由①②解得a＝3，b＝3，
所以B′(3，3)．
所以AB′所在直线的方程为2x＋y－9＝0.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y－9＝0，,3x－y－1＝0))可得P0(2，5)．
(2)设C关于l的对称点为C′，与(1)同理可得C′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(24,5))).
连接AC′交l于P1，在l上另任取一点P，有|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PC′|>|AC′|＝|P1C′|＋|P1A|＝|P1C|＋|P1A|，故P1即为所求．
又AC′所在直线的方程为19x＋17y－93＝0，
故由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(19x＋17y－93＝0，,3x－y－1＝0))可得P1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,7)，\f(26,7))).
点点距
点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离
|P1P2|＝
eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)
点线距
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
线线距
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离
d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))