2023届高考一轮复习讲义（理科）第十二章　复数、算法、推理与证明 第4讲　高效演练分层突破学案

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A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：选A.依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.
2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：eq \r(b2－ac)0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)1；⑤lgab0，且a≠1)．其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件为( )
A．②③④ B．②③④⑤
C．①②③⑤ D．②⑤
解析：选D.a＝b＝1时，a＋b＝2，所以推不出a，b中至少有一个大于1，①不符合；当a＝b＝0时，a＋b>－2，推不出a，b中至少有一个大于1，③不符合；当a＝b＝－2时，ab>1，推不出a，b中至少有一个大于1，④不符合；对于②，假设a，b都不大于1，即a≤1，b≤1，则a＋b≤2，与a＋b>2矛盾，所以②能推出a，b中至少有一个大于1；对于⑤，假设a，b都不大于1，则lgab≥lga1＝0，与lgab0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定
解析：选A.由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，函数f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，
由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)0，则①eq \f(1,a)bc2；③a2>b2；④eq \r(a)>eq \r(b)，其中正确的序号是________．
解析：对于①，因为a>b>0，所以ab>0，eq \f(1,ab)>0，a·eq \f(1,ab)>b·eq \f(1,ab)，即eq \f(1,b)>eq \f(1,a).故①正确；
当c＝0时，②不正确；由不等式的性质知③④正确．
答案：①③④
7．已知点An(n，an)为函数y＝eq \r(x2＋1)图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．
解析：由条件得cn＝an－bn＝eq \r(n2＋1)－n＝eq \f(1,\r(n2＋1)＋n)，
所以cn随n的增大而减小，所以cn＋10，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，
从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，
即2a3－b3≥2ab2－a2b.
10．已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：eq \f(|a|＋|b|,|a＋b|)≤eq \r(2).
证明：a⊥b⇔a·b＝0，
要证eq \f(|a|＋|b|,|a＋b|)≤eq \r(2).
只需证|a|＋|b|≤eq \r(2)|a＋b|，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，
只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，
即证(|a|－|b|)2≥0，
上式显然成立，故原不等式得证．
[综合题组练]
1．已知a，b，c∈R，若eq \f(b,a)·eq \f(c,a)>1且eq \f(b,a)＋eq \f(c,a)≥－2，则下列结论成立的是( )
A．a，b，c同号
B．b，c同号，a与它们异号
C．a，c同号，b与它们异号
D．b，c同号，a与b，c的符号关系不确定
解析：选A.由eq \f(b,a)·eq \f(c,a)>1知eq \f(b,a)与eq \f(c,a)同号，
若eq \f(b,a)>0且eq \f(c,a)>0，不等式eq \f(b,a)＋eq \f(c,a)≥－2显然成立，
若eq \f(b,a)0，
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(c,a)))≥2 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(c,a))))>2，即eq \f(b,a)＋eq \f(c,a)0且eq \f(c,a)>0，即a，b，c同号．
2．在等比数列{an}中，“a1