2023届高考一轮复习讲义（理科）第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 第5讲　几何概型学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 第5讲　几何概型学案，共17页。学案主要包含了知识梳理，习题改编等内容，欢迎下载使用。

一、知识梳理
1．几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的概率公式
P(A)＝eq \f(构成事件A的区域长度（面积或体积）,试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）)
常用结论
在几何概型中，如果A是确定事件，
(1)若A是不可能事件，则P(A)＝0肯定成立；如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积和体
积都是0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件，因此由P(A)＝0不能推出A是不可能事件．
(2)若A是必然事件，则P(A)＝1肯定成立；如果一个随机事件所在的区域是从全部区域中扣除一个单点，则它出现的概率是1，但它不是必然事件，因此由P(A)＝1不能推出A是必然事件．
二、习题改编
1．(必修3P140练习T1改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
解析：选A.因为P(A)＝eq \f(3,8)，P(B)＝eq \f(1,4)，P(C)＝eq \f(1,3)，P(D)＝eq \f(1,3)，
所以P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．
2．(必修3P137思考)在线段[0，3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为________．
解析：坐标小于1的区间为[0，1)，长度为1，[0，3]的区间长度为3，故所求概率为eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
3．(必修3P146B组T4改编)设不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率为________．
解析：如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的平面区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的
是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是eq \f(4－π,4).
答案：1－eq \f(π,4)
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)几何概型中，每一个基本事件都是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )
(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( )
(3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( )
(4)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ｋ))选用的几何测度不准确导致出错.
在区间[－2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为eq \f(5,6)，则m＝________．
解析：由|x|≤m，得－m≤x≤m.
当00时，函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（a，b）\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a＋b－8≤0，,a>0，,b>0))))))，
构成所求事件的区域为如图所示的三角形BOC部分．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b－8＝0，,b＝\f(a,2)，))得交点坐标Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,3)，\f(8,3)))，
故所求事件的概率P＝eq \f(S△BOC,S△AOB)＝eq \f(\f(1,2)×8×\f(8,3),\f(1,2)×8×8)＝eq \f(1,3).