2023届高考一轮复习讲义（理科）第四章　三角函数、解三角形 第6讲　正弦定理和余弦定理学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第四章　三角函数、解三角形 第6讲　正弦定理和余弦定理学案，共18页。学案主要包含了知识梳理，习题改编，求三角形面积的最值等内容，欢迎下载使用。

一、知识梳理
1．正弦定理和余弦定理
2.三角形解的判断
3.三角形中常用的面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)ah(h表示边a上的高)．
(2)S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin_B＝eq \f(1,2)absin C.
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
常用结论
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；
变形：eq \f(A＋B,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(C,2).
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；
(2)cs(A＋B)＝－cs C；
(3)sin eq \f(A＋B,2)＝cs eq \f(C,2)；
(4)cs eq \f(A＋B,2)＝sin eq \f(C,2).
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；
b＝acs C＋ccs A；
c＝bcs A＋acsB．
二、习题改编
1．(必修5P10A组T4改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝( )
A.eq \f(π,6) B．eq \f(π,3)
C.eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)
解析：选C.因为在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cs∠BAC＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(9＋25－49,30)＝－eq \f(1,2)，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝eq \f(2,3)π.
2．(必修5P18练习T1改编)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq \r(3)，则△ABC的面积等于________．
解析：因为eq \f(2\r(3),sin 60°)＝eq \f(4,sin B)，所以sin B＝1，所以B＝90°，所以AB＝2，所以S△ABC＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)＝2eq \r(3).
答案：2eq \r(3)
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在△ABC中，已知a，b和角B，能用正弦定理求角A；已知a，b和角C，能用余弦定理求边c.( )
(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．( )
(3)在△ABC中，sin A>sin B的充分不必要条件是A>B.( )
(4)在△ABC中，a2＋b21.
所以角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
2．在△ABC中，若sin A＝sin B，则A，B的关系为________；若sin A>sin B，则A，B的关系为________．
解析：sin A＝sin B⇔a＝b⇔A＝B；
sin A>sin B⇔a>b⇔A>B.
答案：A＝B A>B
3．在△ABC中，acs A＝bcs B，则这个三角形的形状为________．
解析：由正弦定理，得sin Acs A＝sin BcsB，
即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．
答案：等腰三角形或直角三角形
利用正、余弦定理求解三角形(多维探究)
角度一 求边长
(一题多解)在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.
(1)求边长a；
(2)求AB边上的高CD的长．
【解】 (1)由题意得b＝a＋2，c＝a＋4，
由余弦定理cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)得cs 120°＝eq \f(a2＋（a＋2）2－（a＋4）2,2a（a＋2）)，即a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去)，所以a＝3.
(2)法一：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，
由三角形的面积公式得
eq \f(1,2)absin ∠ACB＝eq \f(1,2)c×CD，
所以CD＝eq \f(absin ∠ACB,c)＝eq \f(3×5×\f(\r(3),2),7)＝eq \f(15\r(3),14)，
即AB边上的高CD＝eq \f(15\r(3),14).
法二：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，
由正弦定理得eq \f(3,sin A)＝eq \f(7,sin ∠ACB)＝eq \f(7,sin 120°)，
即sin A＝eq \f(3\r(3),14)，
在Rt△ACD中，CD＝ACsin A＝5×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(15\r(3),14)，
即AB边上的高CD＝eq \f(15\r(3),14).
角度二 求角度
(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C．
(1)求A；
(2)若eq \r(2)a＋b＝2c，求sin C.
【解】 (1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2).
因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得eq \r(2)sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即eq \f(\r(6),2)＋eq \f(\r(3),2)cs C＋eq \f(1,2)sin C＝2sin C，可得cs(C＋60°)＝－eq \f(\r(2),2).
由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝eq \f(\r(2),2)，故
sin C＝sin(C＋60°－60°)
＝sin(C＋60°)cs 60°－cs(C＋60°)sin 60°
＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
eq \a\vs4\al()
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．
(3)涉及最值问题时，常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解．
1．(2020·安徽安庆二模)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则eq \f(a,b)等于 ( )
A.eq \f(3,2) B．eq \f(4,3)
C.eq \r(2) D．eq \r(3)
解析：选D.由bsin 2A＝asin B，及正弦定理得2sin Bsin Acs A＝sin Asin B，得cs A＝eq \f(1,2).又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A＝b2＋4b2－4b2×eq \f(1,2)＝3b2，得eq \f(a,b)＝eq \r(3).故选D.
2．(2020·湖南郴州一模)在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－eq \r(3)bc＝a2，bc＝eq \r(3)a2，则角C的大小是( )
A.eq \f(π,6)或eq \f(2π,3) B．eq \f(π,3)
C.eq \f(2π,3) D．eq \f(π,6)
解析：选A.由b2＋c2－eq \r(3)bc＝a2，得b2＋c2－a2＝eq \r(3)bc，则cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(\r(3)bc,2bc)＝eq \f(\r(3),2)，则A＝eq \f(π,6)，
由bc＝eq \r(3)a2，得sin Bsin C＝eq \r(3)sin2A＝eq \r(3)×eq \f(1,4)＝eq \f(\r(3),4)，
即4sin(π－C－A)sin C＝eq \r(3)，
即4sin(C＋A)sin C＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C＋\f(π,6)))sin C＝eq \r(3)，
即4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin C＋\f(1,2)cs C))sin C＝2eq \r(3)sin2C＋2sin Ccs C＝eq \r(3)，
即eq \r(3)(1－cs 2C)＋sin 2C＝eq \r(3)－eq \r(3)cs 2C＋sin 2C＝eq \r(3)，则－eq \r(3) cs 2C＋sin 2C＝0，
则eq \r(3)cs 2C＝sin 2C，则tan 2C＝eq \r(3)，
即2C＝eq \f(π,3)或eq \f(4π,3)，即C＝eq \f(π,6)或eq \f(2π,3)，故选A.
判断三角形的形状(典例迁移)
(2020·重庆六校联考)在△ABC中，cs2 eq \f(B,2)＝eq \f(a＋c,2c)(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【解析】 已知等式变形得cs B＋1＝eq \f(a,c)＋1，即cs B＝eq \f(a,c) ①.由余弦定理得cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，代入①得eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(a,c)，整理得b2＋a2＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形．
【答案】 A
【迁移探究1】 (变条件)将“cs2eq \f(B,2)＝eq \f(a＋c,2c)”改为“c－acs B＝(2a－b)cs A”，试判断△ABC的形状．
解：因为c－acs B＝(2a－b)cs A，
C＝π－(A＋B)，
所以由正弦定理得sin C－sin Acs B＝2sin Acs A－sin Bcs A，
所以sin Acs B＋cs Asin B－sin Acs B＝2sin Acs A－sin Bcs A，
所以cs A(sin B－sin A)＝0，
所以cs A＝0或sin B＝sin A，
所以A＝eq \f(π,2)或B＝A或B＝π－A(舍去)，
所以△ABC为等腰或直角三角形．
【迁移探究2】 (变条件)将“cs2eq \f(B,2)＝eq \f(a＋c,2c)”改为“eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc”，试判断△ABC的形状．
解：因为eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,c)，所以eq \f(a,b)＝eq \f(a,c)，所以b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(bc,2bc)＝eq \f(1,2).
因为A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,3)，
所以△ABC是等边三角形．
eq \a\vs4\al()
(1)判定三角形形状的2种常用途径
(2)判定三角形形状的3个注意点
①“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；
②“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系；
③还要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．
(2020·河南洛阳一模)在△ABC中，已知2acs B＝c, sin Asin B(2－cs C)＝sin2eq \f(C,2)＋eq \f(1,2)，则△ABC为( )
A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．锐角非等边三角形
D．钝角三角形
解析：选B.将已知等式2acs B＝c利用正弦定理化简得2sin Acs B＝sin C，
因为sin C＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋B))＝sin Acs B＋cs Asin B，
所以2sin Acs B＝sin Acs B＋cs Asin B，
即sin Acs B－cs Asin B＝sin(A－B)＝0，
因为A与B都为△ABC的内角，
所以A－B＝0，即A＝B.
因为sin Asin B(2－cs C)＝sin2eq \f(C,2)＋eq \f(1,2)，
所以sin Asin B(2－cs C)＝eq \f(1,2)(1－cs C)＋eq \f(1,2)＝1－eq \f(1,2)cs C，
所以－eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋B))－cs（A－B）))(2－cs C)＝1－eq \f(1,2)cs C，
所以－eq \f(1,2)(－cs C－1)(2－cs C)＝1－eq \f(1,2)cs C，
即(cs C＋1)(2－cs C)＝2－cs C，
整理得cs2C－2cs C＝0，即cs C(cs C－2)＝0，所以cs C＝0或cs C＝2(舍去)，所以C＝90°，则△ABC为等腰直角三角形，故选B.
与三角形面积有关的问题(师生共研)
(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin eq \f(A＋C,2)＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
【解】 (1)由题设及正弦定理得
sin Asineq \f(A＋C,2)＝sin Bsin A.
因为sin A≠0，所以sineq \f(A＋C,2)＝sinB．
由A＋B＋C＝180°，
可得sineq \f(A＋C,2)＝cseq \f(B,2)，故cseq \f(B,2)＝2sineq \f(B,2)cseq \f(B,2).
因为cseq \f(B,2)≠0，故sineq \f(B,2)＝eq \f(1,2)，因此B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝eq \f(\r(3),4)a.
由正弦定理得a＝eq \f(csin A,sin C)＝eq \f(sin（120°－C）,sin C)＝eq \f(\r(3),2tan C)＋eq \f(1,2).
由于△ABC为锐角三角形，故0°