2023届高考一轮复习讲义（理科）第一章　集合与常用逻辑用语 第3讲　高效演练分层突破学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第一章　集合与常用逻辑用语 第3讲　高效演练分层突破学案，共6页。

1．(2020·安徽蚌埠第一次教学质量检查)命题p：存在常数列不是等比数列，则命题﹁p为( )
A．任意常数列不是等比数列
B．存在常数列是等比数列
C．任意常数列都是等比数列
D．不存在常数列是等比数列
解析：选C.因为特称命题的否定是全称命题，命题p：存在常数列不是等比数列的否定命题﹁p：任意常数列都是等比数列，故选C.
2．已知f(x)＝sin x－x，命题p：∃x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x)<0，则( )
A．p是假命题，﹁p：∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0
B．p是假命题，﹁p：∃x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0
C．p是真命题，﹁p：∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0
D．p是真命题，﹁p：∃x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0
解析：选C.易知f′(x)＝cs x－1<0，所以f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是减函数，因为f(0)＝0，所以f(x)<0，所以命题p：∃x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x)<0是真命题，﹁p：∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0，故选C.
3．(2020·河北唐山第一次模拟)已知命题p：f(x)＝x3－ax的图象关于原点对称；命题q：g(x)＝xcs x的图象关于y轴对称．则下列命题为真命题的是( )
A．﹁p B．q
C．p∧q D．p∧(﹁q)
解析：选D.对于f(x)＝x3－ax，有f(－x)＝(－x)3－a(－x)＝－(x3－ax)＝－f(x)，为奇函数，其图象关于原点对称，所以p为真命题；对于g(x)＝xcs x，有g(－x)＝(－x)cs(－x)＝－xcs x＝－g(x)，为奇函数，其图象关于原点对称，所以q为假命题，则﹁p为假命题，p∧q为假命题，p∧(﹁q)为真命题，故选D.
4．已知命题p：若a＞|b|，则a2＞b2；命题q：若x2＝4，则x＝2.下列说法正确的是( )
A．“p∨q”为真命题 B．“p∧q”为真命题
C．“﹁p”为真命题 D．“﹁q”为假命题
解析：选A.由a＞|b|≥0，得a2＞b2，所以命题p为真命题．因为x2＝4⇔x＝±2，所以命题q为假命题．所以“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，“﹁p”为假命题，“﹁q”为真命题．综上所述，可知选A.
5．(2020·湖南株洲二模)已知命题p：∀x>0，ex>x＋1，命题q：∃x∈(0，＋∞)，ln x≥x，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．(﹁p)∧q
C．p∧(﹁q) D．(﹁p)∧(﹁q)
解析：选C.令f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)>f(0)＝0，所以ex>x＋1，命题p为真命题；
令g(x)＝ln x－x，x>0，则g′(x)＝eq \f(1,x)－1＝eq \f(1－x,x)，x∈(0，1)时，g′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，所以g(x)max＝g(1)＝－1<0，所以g(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，所以q假．故选C.
6．下列说法错误的是( )
A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”
B．若命题p：存在x0∈R，xeq \\al(2,0)＋x0＋1<0，则﹁p：对任意x∈R，x2＋x＋1≥0
C．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))eq \s\up12(2)”的充要条件
D．已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p与q中必一真一假
解析：选D.由原命题与逆否命题的关系，知A正确；由特称命题的否定知B正确；由xy≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))eq \s\up12(2)⇔4xy≥(x＋y)2⇔4xy≥x2＋y2＋2xy⇔(x－y)2≤0⇔x＝y，知C正确；对于D，命题“p或q”为假命题，则命题p与q均为假命题，所以D不正确．
7．(2020·惠州第一次调研)设命题p：若定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则∀x∈R，f(－x)≠f(x)．命题q：f(x)＝x|x|在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．则下列判断错误的是( )
A．p为假命题 B．﹁q为真命题
C．p∨q为真命题 D．p∧q为假命题
解析：选C.函数f(x)不是偶函数，仍然有∃x，使得f(－x)＝f(x)，p为假命题；f(x)＝x|x|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2（x≥0），,－x2（x＜0）))在R上是增函数，q为假命题．所以p∨q为假命题，故选C.
8．有四个关于三角函数的命题：
P1：∃x∈R，sin x＋cs x＝2；
P2：∃x∈R，sin 2x＝sin x；
P3：∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))， eq \r(\f(1＋cs 2x,2))＝cs x；
P4：∀x∈(0，π)，sin x＞cs x.
其中真命题是( )
A．P1，P4 B．P2，P3
C．P3，P4 D．P2，P4
解析：选B.因为sin x＋cs x＝eq \r(2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，所以sin x＋cs x的最大值为eq \r(2)，可得不存在x∈R，使sin x＋cs x＝2成立，得命题P1是假命题；
因为存在x＝kπ(k∈Z)，使sin 2x＝sin x成立，故命题P2是真命题；
因为eq \f(1＋cs 2x,2)＝cs2x，所以 eq \r(\f(1＋cs 2x,2))＝|cs x|，结合x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))得cs x≥0，由此可得 eq \r(\f(1＋cs 2x,2))＝cs x，得命题P3是真命题；
因为当x＝eq \f(π,4)时，sin x＝cs x＝eq \f(\r(2),2)，不满足sin x＞cs x，
所以存在x∈(0，π)，使sin x＞cs x不成立，故命题P4是假命题．
故选B.
9．已知命题p：方程x2－2ax－1＝0有两个实数根；命题q：函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)的最小值为4.给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧(﹁q)；④(﹁p)∨(﹁q)，则其中真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.由于Δ＝4a2＋4＞0，所以方程x2－2ax－1＝0有两个实数根，即命题p是真命题；当x＜0时，f(x)＝x＋eq \f(4,x)的值为负值，故命题q为假命题．所以p∨q，p∧(﹁q)，(﹁p)∨(﹁q)是真命题，故选C.
10．有下列四个命题：
(1)命题p：∀x∈R，x2＞0为真命题；
(2)设p：eq \f(x,x＋2)＞0，q：x2＋x－2＞0，则p是q的充分不必要条件；
(3)命题：若ab＝0，则a＝0或b＝0，其否命题是假命题；
(4)非零向量a与b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为30°.
其中真命题有( )
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
解析：选C.对于(1)，∀x∈R，x2≥0，故(1)为假命题；
对于(2)，设p：eq \f(x,x＋2)＞0，q：x2＋x－2＞0，可得p∶x＞0或x＜－2；q：x＞1或x＜－2.由p推不到q，但由q推得p，则p是q的必要不充分条件，故(2)为假命题；
对于(3)，命题：若ab＝0，则a＝0或b＝0，其否命题为：若ab≠0，则a≠0且b≠0，
其否命题是真命题，故(3)为假命题；
对于(4)，非零向量a与b满足|a|＝|b|＝|a－b|，
可设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BA,\s\up6(→))＝a－b，可得△OAB为等边三角形，
四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，可得a与a＋b的夹角为30°，故(4)为真命题．故选C.
11．若命题p的否定是“∀x∈(0，＋∞)，eq \r(x)>x＋1”，则命题p可写为____________________．
解析：因为p是﹁p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．
答案：∃x0∈(0，＋∞)，eq \r(x0)≤x0＋1
12．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“﹁q”同时为假命题，则x＝________．
解析：若p为真，则x≥－1或x≤－3，
因为“﹁q”为假，则q为真，即x∈Z，
又因为“p∧q”为假，所以p为假，故－3由题意，得x＝－2.
答案：－2
[综合题组练]
1．(2020·西安模拟)下列各组命题中，满足“‘p∨q’为真、‘p∧q’为假、‘﹁q’为真”的是( )
A．p：y＝eq \f(1,x)在定义域内是减函数；q：f(x)＝ex＋e－x是偶函数
B．p：∀x∈R，x2＋x＋1≥0；q：x>1是x>2成立的充分不必要条件
C．p：x＋eq \f(9,x)的最小值是6；q：直线l：3x＋4y＋6＝0被圆(x－3)2＋y2＝25截得的弦长为3
D．p：抛物线y2＝8x的焦点坐标是(2，0)；q：过椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左焦点的最短的弦长是3
解析：选B.A.y＝eq \f(1,x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是减函数．则命题p是假命题，易知q是真命题，则﹁q是假命题，不满足题意．
B．判别式Δ＝1－4＝－3<0，则∀x∈R，x2＋x＋1≥0成立，即p是真命题，x>1是x>2成立的必要不充分条件，即q是假命题，则“‘p∨q’为真、‘p∧q’为假、‘﹁q’为真”，故B满足题意．
C．当x<0时，x＋eq \f(9,x)的最小值不是6，则p是假命题，圆心到直线的距离d＝eq \f(|3×3＋6|,\r(32＋42))＝eq \f(15,5)＝3，则弦长＝2eq \r(25－9)＝8，则q是假命题，则p∨q为假命题，不满足题意．
D．抛物线y2＝8x的焦点坐标是(2，0)，则p是真命题，椭圆的左焦点为(－1，0)，当x＝－1时，y2＝eq \f(9,4)，则y＝±eq \f(3,2)，则最短的弦长为eq \f(3,2)×2＝3，即q是真命题，则﹁q是假命题，不满足题意．故选B.
2．已知命题p：a2≥0(a∈R)，命题q：函数f(x)＝x2－x在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：
①p∨q；②p∧q；③(﹁p)∧(﹁q)；④(﹁p)∨q.
其中为假命题的序号为________．
解析：显然命题p为真命题，﹁p为假命题．因为f(x)＝x2－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,4)，所以函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上单调递增．所以命题q为假命题，﹁q为真命题．所以p∨q为真命题，p∧q为假命题，(﹁p)∧(﹁q)为假命题，(﹁p)∨q为假命题．
答案：②③④
3．若∃x0∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，使得2xeq \\al(2,0)－λx0＋1＜0成立是假命题，则实数λ的取值范围是________．
解析：因为∃x0∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，使得2xeq \\al(2,0)－λx0＋1＜0成立是假命题，所以∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，使得2x2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，使得λ≤2x＋eq \f(1,x)恒成立是真命题，令f(x)＝2x＋eq \f(1,x)，则f′(x)＝2－eq \f(1,x2)，当x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))时，f′(x)＜0，当x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，2))时，f′(x)＞0，所以f(x)≥feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))＝2eq \r(2)，则λ≤2eq \r(2).
答案：(－∞，2eq \r(2)]
4．已知命题p：∀x∈R，不等式ax2＋2eq \r(2)x＋1＜0的解集为空集；命题q：f(x)＝(2a－5)x在R上满足f′(x)＜0，若命题p∧(﹁q)是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：因为∀x∈R，不等式ax2＋2eq \r(2)x＋1＜0的解集为空集，所以当a＝0时，不满足题意；当a≠0时，必须满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＞0，,Δ＝（2\r(2)）2－4a≤0，))解得a≥2.由f(x)＝(2a－5)x在R上满足f′(x)＜0，可得函数f(x)在R上单调递减，则0＜2a－5＜1，解得eq \f(5,2)＜a＜3.若命题p∧(﹁q)是真命题，则p为真命题，q为假命题，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a≥2，,a≤\f(5,2)或a≥3，))解得2≤a≤eq \f(5,2)或a≥3，则实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2)))∪[3，＋∞)．
答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2)))∪[3，＋∞)