初中数学人教版八年级下册16.3 二次根式的加减教学设计

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单位名称
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学科
数学
年级/册
八年级下册
教材版本
人教版
课题名称
第十六章二次根式第三节 二次根式的混合运算
难点名称
掌握二次根式的混合运算的顺序、乘法公式的综合运用
难点分析
从知识角度分析为什么难
二次根式的混合运算可以说是第十六章二次根式整章内容的综合运用，如何通过启发引导，让学生明白二次根式的混合运算和整式的运算规律是一样的，并让学生掌握二次根式的混合运算的顺序，乘法法则及乘法公式的灵活，综合运用，是有很大难度的。
从学生角度分析为什么难
虽然学生已经学习了整式的运算，以及本章的二次根式乘除法则，加减法则，但让学生熟练掌握二次根式的混合运算的顺序，乘法法则及乘法公式的灵活综合应用，有一定难度，同时对学生的计算能力有一定的要求。
难点教学方法
1.通过对二次根式的混合运算与整式的混合运算以及数的混合运算作比较，运用类比思想，使学生掌握二次根式的混合运算的方法。
2.提醒学生注意观察、分析运算式子的特点，选择一种便捷的方法进行计算。
教学环节
教学过程
导入
问题1：同学们下面的题你会做吗？
计算:
（1）（x+y）·z； （2）（2x+1)(x-2)； （3）（2x2y+3xy2）÷xy；
（4）（2x+y）（2x-y）； （5）（2x+1）2.
[思考]如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？ .
知识讲解
（难点突破）
（二）知识讲解
问题2：
验证：）
= =
= =
=5 =5
可见：乘法分配律对于二次根式依然适用。
对于,m(a+b+c)=ma+mb+mc；(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb;(ma+mb+mc)÷m=a+b+c
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
完全平方公式：
整式运算中的字母a,b,c,m可以代表任何数，当然也就可以代表二次根式
归纳：二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.
设计意图：通过上面题目的练习，培养学生的探究精神和总结能力，让学生在题目的练习过程中理解二次根式的混合运算的概念.
（二）知识讲解
例1：计算（1）； （2）；
学生活动思考：（1）计算过程中，每一步的依据是什么？
解：（1）原式=× + × = + = + =4 +3
【结论】第一步的依据是：分配律或多项式乘单项式；第二步的依据是：二次根式乘法法则；第三步的依据是：二次根式化简．
解：（2）原式=4÷2+3 ÷2 =2-
【结论】第一步的依据是：多项式除以单项式法则；第二步的依据是：二次根式除法法则．
解：（3）原式==2-=
【结论】第一步的依据是：多项式乘多项式法则；第二步的依据是：二次根式的加法法则，第三步的依据是：二次根式化简．
归纳：二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行.
设计意图：通过例1的讲解让学生初步掌握并理解二次根式的混合运算，学会有关二次根式的整式运算.
例2：计算：
（1）；
解：原式= 2 + 2 =5-3=2
【结论】第一步的依据是：平方差公式；第二步的依据是：二次根式化简，合并被开方数相同的二次根式（依据是：分配律）；第三步的依据是：合并同类项．
（2）
解：原式==3+=7+
【结论】第一步的依据是：完全平方公式；第二步的依据是：二次根式化简，合并被开方数相同的二次根式（依据是：分配律）；第三步的依据是：合并同类项．
（3））（）
解：原式===2-（9-）=-7+
【结论】第一步的依据是：平方差公式；第二步的依据是：二次根式化简，合并被开方数相同的二次根式（依据是：分配律）；第三步的依据是：合并同类项．
（4）
解：原式=2-=2-=3
【结论】第一步的依据是：完全平方公式和平方差公式；第二步的依据是：二次根式化简，合并被开方数相同的二次根式（依据是：分配律）；第三步的依据是：合并同类项．
归纳：进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，因式分解等来简化运算.
设计意图：通过例2的讲解，进一步掌握更加复杂的有关二次根式的运算.使学生熟练运用实数的运算律解决.
例3：计算
解：原式=
（2）
针对二次根式的化简求值进行讲解，并结合具体例题，提高学生对二次根式运算与化简的能力.对于二次根式化简求值的不同方法，进行比较合理分析.
解：原式=
==7+
（3）
解：原式=（） =1-3-3+
=1-6-（2+） =-7+
归纳：分母形如 的式子，分子、分母同乘以
的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.（分母有理化）
设计意图：针对二次根式的化简求值进行讲解，并结合具体例题，提高学生对二次根式运算与化简的能力.对于二次根式化简求值的不同方法，进行比较合理分析.
课堂练习
（难点巩固）
计算：（1）（）(2)
已知,,求
设计意图：本次巩固练习目的在于加强学生对本节课学习的二次根式混合运算的练习，要求学生独立完成，培养学生独立探索的意识.
小结
在计算二次根式混合运算时，需注意：
（1）和整式的运算一样，运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用
（2）先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行.
（3）一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，因式分解等来简化运算.
（4）化简求值题，化简已知条件和所求代数式，分母有理化时，分母形如 的式子，分子、分母同乘以 的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.（分母有理化）
设计意图：本小结充分总结了针对有关二次根式混合运算的相关知识.