期末预测卷（一）-2021-2022学年高一数学期末预测卷（人教A版（2019）必修第一册）（非新高考地区专用）

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一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．｛-1,0,1｝B．C．D．
【答案】D
【分析】
利用交集的定义即得.
【详解】
∵集合，，
∴.
故选：D.
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】
根据指数函数的单调性由求出，从而根据充分必要条件的概念可判断出选项.
【详解】
由，得，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
3．下列四个命题中，为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】
举反例判断A、B、D，根据不等式的性质判断C，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：若，当时，，故选项A为假命题；
对于B：取，，，，满足，但，故选项B为假命题；
对于C：若，则若，所以，故选项C为真命题；
对于D：取，满足，但，故选项D为假命题；
故选：C.
4．下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据函数的奇偶性的定义以及幂函数的单调性和单调性的性质逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】
对于A：定义域为关于原点对称，，所以是奇函数，因为和在上都是增函数，所以在定义域上单调递增，故选项A正确；
对于B：定义域为不关于原点对称，不具有奇偶性，故选项B不正确；
对于C：的定义域为是奇函数，在和上都是增函数，但是在定义域内不是增函数，如，，，故选项C不正确；
对于D：定义域为关于原点对称，，所以是偶函数，故选项D不正确；
故选：A.
5．当时，（ ）
A．有最大值1B．有最大值2C．有最小值5D．有最小值
【答案】A
【分析】
根据已知条件可得，将已知转化为，再利用基本不等式即可求最值.
【详解】
当时，，，
所以，
当且仅当即时等号成立，所以有最大值1，没有最小值，
故选：A.
6．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
二次函数恒成立问题利用判别式小于等于0列式求解即可．
【详解】
∵关于的不等式在上恒成立，
∴，
解得：.
故选：B．
7．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
本题考查函数图象的识别，由函数的解析式可以推断出函数的奇偶性及变化趋势，进而得解.
【详解】
因为，所以是奇函数，排除B.
当时，，排除C.
当时，，排除D.
故选：A.
8．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由条件可得，结合条件求出，将所求化为，从而可得答案.
【详解】
由，即
即，所以，即
所以或，由，所以
故选：B
9．已知函数是偶函数，则在上的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
化简可得，根据函数为偶函数可得，再利用余弦函数的性质可求出值域.
【详解】
因为函数为偶函数，
所以.
又∵，∴，即.
因为，∴，
∴当时，的最大值为1，当时，的最小值是.
所以在上的值域是.
故选：D.
10．设，，为正数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
令，用k表示出x，y，z，再借助对数函数的性质即可比较作答.
【详解】
因，，为正数，令，则，
因此有：，，，
又函数在上单调递增，而，则，
于是得，
所以.
故选：D
11．已知非空集合A，B满足：，，函数，对于下列两个命题：①存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；②存在无穷多非空集合对，使得方程无解.下面判断正确的是（ ）
A．①正确，②错误B．①错误，②正确
C．①､②都正确D．①､②都错误
【答案】B
【分析】
在同一平面直角坐标系画出与的图象，结合函数图象即可判断①；再分别求出与的解，即可判断无解的条件，从而判断②，即可得解；
【详解】
解：在同一平面直角坐标系画出与的图象如下所示：
由，解得，由函数图象可知当或时为偶函数，故①错误；
令，解得，令，解得，因为，，，所以当，时满足无解，故存在无穷多非空集合对，使得方程无解，故②正确；
故选：B
12．已知函数若存在唯一的整数x，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
可得表示点与点所在直线的斜率小于0，画出函数图象，数形结合即可求出.
【详解】
画出的函数图象，
化简得，此式表示点与点所在直线的斜率，
可得曲线上只有一个点（x为整数）和点所在直线的斜率小于0，而点在直线上运动，
因为，，，
由图可得当时，只有点满足，
当时，只有点满足．
综上可得a的范围是，故所有满足条件的整数a的取值集合为.
故选：A．
二、填空题
13．刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”的方法：当n很大时，用圆内接正n边形的周长近似等于圆周长，计算出精确度很高的圆周率．他在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想，可以说他是中国古代极限思想的杰出代表．运用此思想，当取3.1416时可得的近似值为______（结果保留4位小数）．
【答案】0.0175
【分析】
本题利用极限法将圆分成360个三角形面积即可求解.
【详解】
解：将一个圆分成360个扇形，则每个扇形的圆心角度数为
这360个扇形对应的等腰三角形的面积之和接近于圆
设等腰三角形的腰为1
故答案为：
14．若有意义，则实数的取值范围为______________
【答案】
【分析】
结合负分数指数幂化简，再由分式和根式的意义即可求解.
【详解】
由，要使得有意义，则满足，解得，
故答案为：．
15．定义在上的偶函数满足：对任意的，都有且 ，则不等式的解集是_________．
【答案】
【分析】
利用单调性的定义即可判断出的单调性，分类讨论解不等式即可.
【详解】
因为对任意的，都有，
所以任取，则有，所以在上单减；
又为定义在上的偶函数，，所以在上单增且.
不等式可化为：或，
解得：无解，或.
故不等式的解集为.
故答案为：.
16．已知函数，则函数的所有零点之和为________．
【答案】0
【分析】
令，得到，在同一坐标系中作出函数的图象，利用数形结合法求解.
【详解】
因为函数，
所以的对称中心是，
令，得，
在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：
由图象知：两个函数图象有8个交点，即函数有8个零点
由对称性可知：零点之和为0，
故答案为：0
三、解答题
17．设集合，集合，．
（1）写出集合的所有子集，
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】
（1）、、，；
（2）.
【分析】
（1）根据子集的定义进行求解即可；
（2）根据集合交集的运算性质进行求解即可.
（1）
因为，
所以集合的所有子集有：、、，；
（2）
当时，即时，解得：，此时显然成立，
当时，即时，解，要想，只需
或，解得：或，而，所以，
综上所述：实数的取值范围为：.
18．已知函数.
（1）若，求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）在[0，m]上的最小值为2，求实数m的取值范围.
【答案】
（1）（）
（2）
【分析】
（1）先化简得到，利用复合函数单调性“同增异减”列不等式求出f（x）的递增区间；.
（2）利用单调性实数m的取值范围.
（1）
.
令，（）
解得，（）
∴f（x）的递增区间为（）.
（2）
，得.
∵f（x）在上的最小值为2，
∴，
解得.
19．已知直线与函数、的图像分别交于M、N两点．
（1）当时，求的值；
（2）求关于的表达式，写出函数的最小正周期，并求其在区间内的零点．
【答案】
（1）；
（2）；最小正周期为；零点为或或或.
【分析】
（1）当时，，即求；
（2）由题可得，可得最小正周期，由可得，再结合条件即求.
（1）
当时，，
可得；
（2）
∵，
∴，
∴函数的最小正周期为，
由，可得，
∴，又，
∴可取，
故在区间内的零点为或或或.
20．已知幂函数在上单调递增.
（1）求的值；
（2）设函数，求关于的不等式的解集.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据幂函数的定义得到，解得或，再由函数在上单调递增，做出取舍；
（2）根据题意得到在上单调递增，列出不等式组，求得结果.
（1）
因为为幂函数，
所以，解得或.
当时，在上单调递减，不符合题意；
当时，在上单调递增，符合题意.
综上，的值为.
（2）
的定义域为，且在上单调递增.
又因为函数在上单调递增，
所以的定义域为，且在上单调递增.
由，得
解得
故所求不等式的解集为.
21．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x（百辆）需另投入成本y（万元），且.由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出2020年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）
（2）当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】
（1）
（2）100百辆，最大利润为1300万
【分析】
（1）由利润=销售额—成本直接求解即可；
（2）分和分别求解的最大值，然后比较可得答案.
（1）
由题意得当时，，
当时，，
所以
（2）
当时，，
当时，，
当时，
，当且仅当，即时等号成立，
，
时，
时，即2020年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为1300万元.
22．已知，函数是定义在R上的偶函数，.
（1）求a，判断函数的单调性并用定义证明;
（2）若对任意的，总是存在使得不等式成立，求b的范围.
【答案】
（1）a＝1，f(x)在上单调递减，在上单调递增，证明见解析；
（2）.
【分析】
(1)偶函数满足f(x)＝f(－x)，据此求出a；利用定义法证明其单调性即可；
(2)对任意的，总是存在使得不等式成立，等价于在[1,2]上成立.
（1）
由题可知，，；
∴，
f(x)在上单调递增，在上单调递减，证明如下：
设，
则
∵，∴，
∴，
∴f(x)在上单调递增，
因为f(x)是R上偶函数，所以f(x)在上单调递减；
（2）
原问题等价于在[1,2]上成立，
由(1)知，f(x)在上单调递增，故f(x)在[1,2]上单调递增，
∴，
∵
∴根据双勾函数的图像与性质可知，g(x)在(0,b)上单调递减，在(b,＋∞)上单调递增，
①若，g(x)在[1,2]上单调递增，则，
∴，解得，∴；
②若，则，
∴满足题意,∴；
③若b＞2，则，
∴，解得，∴.
综上所述，.