安徽省六安市第一中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题（含答案）

这是一份安徽省六安市第一中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.前8题为单选题，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的；第9题，10题，11题，12题为多项选择题，在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.
1. 从数字1，2，3，4中，有放回地抽取2个数字组成一个两位数，其各位数字之和等于4的概率为（ ）
A. B. C. D.
2. 若直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在矩形中，，直线的斜率为，则直线的斜率为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知点，，点在轴上，则的最小值为（ ）
A. 6B. C. D.
6. 下列叙述错误的是（ ）
A. 互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
B. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为
C. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件
D. 在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么事件“至多一件一等品”的概率为
7. 已知直线恒经过定点，则点到直线：的距离是（ ）
A. 6B. 3C. 4D. 7
8. 已知是直线上的一个动点，定点，是线段延长线上的一点，且，则点的轨迹方程是（ ）
A. B. C. D.
9. 以下命题正确的是（ ）
A. 若直线的斜率，则其倾斜角为
B. 已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面
C. 不经过原点的直线都可以用方程表示
D. 若点在线段上运动，则的最大值为
10. 设复数的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则的最小值是
11. 百年大计，教育为本.十四五发展纲要中，教育作为一个专章被提出.近日，教育部发布2020年全国教育事业统计主要结果.其中关于高中阶段教育（含普通高中、中等职业学校及其他适龄教育机构）近六年的在校规模与毛入学率情况图表及2020年高中阶段教育在校生结构饼图如下，根据图中信息，下列论断正确的有（ ）（名词解释：高中阶段毛入学率＝在校生规模＋适龄青少年总人数×100%）
A. 近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长
B. 近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人
C. 2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万
D. 2020年，普通高中的在校生超过2470万人
12. 正方体的棱长为1，、、分别是棱、、的中点，下列结论正确的有（ ）
A. 面B. 面
C. 过三点所得正方体的截面的面积为D. 在面上的投影为
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.其中第16题第一空2分，第二空3分.请将答案填写在答题卷相应位置上.
13. 已知一组数据，，的方差是2，那么另一组数据，，的方差是__________.
14. 设，，若从集合中一次性随机抽取两个数，分别记为，，则满足的概率为__________.
15. 已知四棱柱的底面为菱形，底面，，，，点是线段上靠近的四等分点，动点在四棱柱的表面，且，则动点的轨迹长度为__________.
16. 如图所示的平行六面体中，已知，，，为上一点，且.若，则的值为___________；若为棱的中点，平面，则的值为__________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.
17. 在中，已知，.
（1）若直线过点，且点，到的距离相等，求直线的方程；
（2）若的角平分线所在的直线方程为，求直线的方程.
18. 如图，在三棱柱中，平面，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与所成角的余弦值.
19. 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，，…，后得到如下部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计本次考试数学成绩的第55百分位数；
（3）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段内的概率.
20. 如图，四棱台的上、下底面均为菱形，，，平面，，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成的角.
21. 如图，已知斜三棱柱，，，的中点为.且面，.
（1）求证：；
（2）在线段上找一点，使得直线与平面所成角的正弦值为.
22. 已知函数.
（1）若，求的值；
（2）记在区间上的最小值为.
①求的解析式；
②若对于恒成立，求实数的取值范围.
六安一中2020~2021年度第二学期高一年级期末考试
数学试卷参考答案
一、选择题：
1-5：DCCAB6-8：CBC
9. BD 10. ABD 11. BD 12. ABC
二、填空题：
13. 8 14. 15. 16.
三、解答题：
17、（1）∵点，到的距离相等，∴直线过线段的中点或，
①当直线过线段的中点时，直线斜率不存在，则的方程为；
②当时，则斜率，
则的方程为，即；
综上，的方程为或；
（2）设关于的角平分线的对称点为，，
解得，∴，再由，在直线上，
解得的方程为.
18、（1）证明：如图以的中点为原点建系，
.
设是平面的一个法向量，则.又，
，∴.令，，，∴，
∵，∴.又平面，∴平面.
（2），，.
19、（1）由频率分布直方图，得：
分数在内的频率为：.
，补全后的直方图如图所示.
（2），得.
（3）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，
则分数段为中抽取的学生数为：人，
分数段为中抽取的学生数为：人，
将该样本看成一个总体，从中任取2个，基本事件总数，
至多有1人在分数段内包含的基本事件为：，
∴至多有1人在分数段内的概率.
20、（1）证：由四棱台的上、下底面均为菱形，且，连接.
∴且，∴四边形为平行四边形，
∴，又因为面，∴面.
（2）以为原点，，，为，，轴建系，∴，，，
∴，，，
则，∴，
若为面的法向量，
则，易得，
若为面的法向量，则，
易得，∴，∴.
21、（1）作交于点，分别以，，所在直线为，，轴建系
，，，，，
所以，，，
，所以.
（2）设，
，
，
设面的一个法向量为，
有，∴，∴，
∴，
因为，若直线与平面所成角的正弦值为.
，即，解得或（舍）.
所以当时，直线与平面所成角的正弦值为.
22、（1），所以；
（2）①，
令，所以，令，∴或.
当时，；
当时，；
当时，.
所以。
②函数的图象如图所示，从函数的图象和解析式可以看出函数单调递减，
所以，所以，∴或.