山西省长治市第二中学校2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份山西省长治市第二中学校2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案），共9页。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数满足,则的虚部为
A．5B．C．-D．-5
2．一个人打靶时连续射击两次，事件“两次都不中靶”的对立事件是( )
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．至少有一次中靶
3．已知直线a，b分别在两个不同的平面内，则“直线a和直线b相交”是“平面与平面相交”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．从长度为2,4,6,8,9的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率为
A． B． C． D．
5．已知P是△ABC所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,若MN=BC=4,PA=,则异面直线PA与MN所成角的大小是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．已知的三个顶点及平面内一点满足,则与的面积比为
A． B． C． D．
7．袋中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球、2个黄球，从中不放回的依次摸出两个球，设事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”，则
A． B． C． D．
8．圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点。其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．下列关于事件和事件的结论正确的是
A．若则事件与事件互为对立事件
B．若则事件与事件相互独立
C．若事件与事件B互为互斥事件，则事件与事件也互为互斥事件
D．若事件与事件B相互独立，则事件与事件也相互独立
10．已知复数，则
A．在复平面内对应的点位于第四象限
B．为纯虚数
C．
D．满足的复数在复平面内对应的点的轨迹为直线
11．已知有6个电器元件，其中有2个次品和4个正品，每次随机抽取1个测试，不放回，直到2个次品都找到为止，设随机试验“直到2个次品都找到为止需要测试的次数”的样本空间为，设事件“测试次刚好找到所有的次品”，以下结论正确的是
A．
B．事件和事件互为互斥事件
C．事件“前3次测试中有1次测试到次品，2次测试到正品，且第4次测试到次品”
D．事件“前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品”
12．已知正四棱柱的底面边长为，设是 的中点，过作直线平面与平面交于点则下列结论正确的是
A．平面
B．
C．点为线段上靠近点的三等分点
D．二面角平面角的正切值为
三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13．天气预报元旦假期甲地降雨的概率是0.2，乙地降雨的概率是0.3，假定在这段时间内两地之间是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为
14．已知向量a，b不平行，向量λa＋b与(1－λ)a＋2b平行，则实数λ＝____________
15．已知是某球面上不共面的四点，与垂直，则此球的体积为
16．在对某中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，若只知道抽取了男生24人，其平均数和方差分别为170.5和12.96，抽取了女生26人，其平均数和方差分别为160.5和36.96，则据此可得高一年级全体学生的身高方差的估计值为
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知点
(1)求
(2)设实数满足求的值．
18．（本小题满分12分）
某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用比例分配的分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图估计分数的样本数据的70%分位数；
（2）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中女生的人数．
19．（本小题满分12分）
如图在三棱柱中，侧棱，，为的中点，.
（1）求证：∥；
（2）求四棱锥的体积.
20．(本小题满分12分)
在中，内角的对边分别为的面积满足
（1）求；
（2）若为锐角三角形，，求的取值范围．
21．(本小题满分12分)
某公司计划购买1种机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.该公司搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的易损零件数.
（1）若=18，求y与x的函数解析式；
（2）假设这100台机器在购机的同时每台都购买18个易损零件，或每台都购买19个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买18个还是19个易损零件？
（3）若该公司计划购买2台该机器，以上面柱状图中100台机器在三年使用期内更换的易损零件数的频率代替1台机器在三年使用期内更换的易损零件数发生的概率，求两台机器三年内共需更换的易损零件数为36的概率。
22．（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，且
（1）证明：平面平面
（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值。
2020—2021学年第二学期高一期中考试数学答案
1-5．CDABA 6-8．BAD 9． BD 10. ABCD 11.BD 12.ABD
0.38 14. 15. 16. 50.4
17(1)
(2)即，
18.(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，
所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4，小于80的频率为0.8，
所以其分数的样本数据的70%分位数估计值为77.5.
(2)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60，
所以样本中分数不小于70的男生人数为60×eq \f(1,2)＝30，
所以样本中的男生人数为30×2＝60，女生人数为100－60＝40，
估计总体中女生人数为（人）。
19.（1）连接，设与相交于点，连接OD，
(2)平面平面，
四棱锥的体积
20.(1)由题得
（2）由正弦定理得，
为锐角三角形，，，
，
的取值范围是
21.(1)
(2)若每台都购买18个易损零件，则购买易损零件费用的平均数（元）
若每台都购买19个易损零件，则购买易损零件费用的平均数（元）
所以购买1台机器的同时应购买19个易损零件。
将两台机器编号为1号、2号，设事件“1号机器需要更换的易损零件为个”，
事件“2号机器需要更换的易损零件为个”，设事件=“两台机器三年内共需更换的易损零件数为36”，,

两台机器三年内共需更换的易损零件数为36的概率为0.1584.
22.（1）取AD中点O，连PO，AC，BO，CO，设AC与BO交于E，CO与BD交于F，连PE，PF.
AO∥BC且AO=BC=AB，∴四边形AOCB为菱形，∴AC⊥BO，且E为AC中点
又PA=PC，∴AC⊥PE，又PE∩BO=E，∴AC⊥平面PBO.
又∵PO平面PBO，∴AC⊥PO，
同理，由四边形DOBC为菱形，且PB=PD，得BD⊥PO.
又直线AC与BD相交，∴PO⊥平面ABCD，
又∵PO平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD. ……（6分）
（2）设，过O作OH⊥PF交PF于H，由BD⊥平面POC，故BD⊥OH.
又PF∩BD=F，∴OH⊥平面PBD，，故.
又AD=2OD，故点A到平面PBD的距离.
设直线PA与平面PBD所成角的大小为.
则.
当且仅当，即时取等号，故直线PA与面PBD所成角的正弦值的最大值为.
注：第（2）问设，建立空间直角坐标系表示也可以。