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吉林省松原市实验高级中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题（含答案与解析）
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这是一份吉林省松原市实验高级中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题（含答案与解析），共5页。试卷主要包含了答题前，考生务必用0，第I卷必须用0，下列叙述不正确的是，下面结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年度高一期末试卷
数学试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必用0. 5毫米黑色签字笔将自己的姓名.座号考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上.
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.第I卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.用简单随机抽样的方法从含有个个体的总体中，抽取一个容量为的样本，其中某一个体“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（ ）
A． B． C． D．
2.如果复数满足，则复数在复平面内对应的点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.若数据，，…，的平均数为，方差为，则，，...，的平均数和方差分别为（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
4.某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：
则至少有两人排队的概率为（ ）
A． B． C． D．
5.如图，在中，为线段上的一点，，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6.下列叙述不正确的是（ ）
A．已知，是空间中的两条直线，若，则直线与平行或异面
B．已知是空间中的一条直线，是空间中的一个平面，若，则或与只有一个公共点
C．已知，是空间两个不同的平面，若，则，必相交于一条直线
D．已知直线与平面相交，且垂直于平面内的无数条直线，则
7.已知一个圆柱的侧面积等于其表面积的，且其轴截面的周长为，则该圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
8.若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于，且，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9.下面是关于复数的四个命题，其中真命题为（ ）
A． B．
C．的虚部为 D．的共轭复数为
10.下面结论正确的是（ ）
A．若，则事件与是互为对立事件
B．若，则事件与是相互独立事件
C．若事件与是互斥事件，则与也是互斥事件
D．若事件与是相互独立事件，则与也是相互独立事件
11.如图，为圆的直径，，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于点，于点，则下列选项正确的是（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
12.在中，，，分别是边，，中点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则是在的投影向量
D．若点是线段上的动点，且满足，则的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.总体由编号为，，…，，的个个体组成.现用随机数法选取个个体，利用电子表格软件产生的若千个范围内的整数随机数的开始部分数据（如下），则选出来的第个个体的编号为 ．
14.已知为坐标原点，向量，，若，则 ．
15.在中，角，，所对的边分别为，，，①若，则；②若，则一定为等腰三角形；③若，则为直角三角形；④若为锐角三角形，则以上结论中正确的有 ．（填正确结论的序号）
16.已知一个高为的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为的等边三角形，则三棱锥的表面积为 ，若三棱锥内有-一个体积为的球，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.
17.已知平面向量，满足，，.
（1）求；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
18.如图，四边形是矩形，平面，平面，，.
（1）证明：平面平面.
（2）求三棱锥的体积.
19.设，，分别为三个内角，，的对边，若.
（1）求角；
（2）若，的周长的为，求的面积.
20.甲、乙两人组队参加答题竞赛，每轮比赛由甲、乙各答一道题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.
求：（1）甲，乙在两轮比赛中分别答对道题和道题的概率；
（2）该队伍在两轮比赛中答对道题的概率.
21.如图所示，在树人中学高一年级学生中抽出名参加环保知识竞赛，将其成绩（均为整数整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题：
（1）求成绩在这一组的频数；
（2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、百分位数；
（3）从成绩是分以下（包括分）和分以上（包括分）这两个分数段的学生中选人，求他们不在同一分数段的概率.
22.如图在四棱柱中，平面，四边形为梯形，，且，为的中点，过，，三点的平面记为.
（1）证明：平面与平面的交线平行于.
（2）若，，，求平面与底面所成二面角的大小.
高一数学参考答案
一、选择题
1-4： 5-8：
二、多选题
9. 10. 11. 12.
二、填空题
13. 14. 15.①③ 16.；
四、解答题
17.解：（1）
得
（2）由向量与的夹角为锐角，可得.即有.
而当向量与同向时，可知
综上所述的取值范围为
18.（1）证明：因为平面，平面，
所以.
又因为平面.平面.
所以平面.
在矩形中.平面，平面，
所以平面.
又，
所以平面平面.
（2）解：因为平面.
所以.
在矩形中，.
又.
所以平面.
易证平面，
所以点到平面的距离为，
所以
19.（1）由及正弦定理可得.
由带入上式，
整理得.
因为，
所以.
因为，
所以角.
（2）的周长为，得，
由.可得即.
解得，
.
所以的面积为.
20.解：（1）设，分别表示甲两轮答对道题，道题的事件，，分别表示乙两轮答对道题，道题的事件.根据独立性假定，得
.
.
（2）设“两轮比赛队伍答对道题”，则，且与互斥，与，与分别相互独立，
所以
因此，该队伍在两轮比赛中答对道题的概率是.
21.（1）根据题意这一组的频率为，
这一组的频率为，
这一组的频率为，
这一组的频率为，
则这一组的频率.其频数为.
（2）这次竞赛成绩的平均数为
.
这一组的频率为，
这一组的频率为，
的频率为，
这一组的频率为，
所以，百分位数在这一组内，且在本组内需要找到频率为的部分，
所以百分位数为.
（3）记选出的人不在同一分数段为事件，
之间的人数为人，设为，，，；
之间有人，设为，.
从这人中选出人，有，，，，，，，，，，，，，，共个样本点，
其中事件包括，，，，，，，，共个基本事件，
则.
22.（1）如图，延长，交于点，
因为，且，
所以，
又为的中点，
所以，，三点共线，
此时平面与平面的交线为，
又平面平面，根据面面平行的性质定理可得，
平面与平面的交线平行于直线；
（2）连接，，在中，，，
可得，
所以为直角三角形，
所以，又，
所以平面，
所以是平面与底面所成二面角的平面角，
在直角三角形中，，
所以
即平面与底面所成二面角的大小为.
排队人数
概率
2020-2021学年度高一期末试卷
数学试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必用0. 5毫米黑色签字笔将自己的姓名.座号考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上.
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.第I卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.用简单随机抽样的方法从含有个个体的总体中，抽取一个容量为的样本，其中某一个体“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（ ）
A． B． C． D．
2.如果复数满足，则复数在复平面内对应的点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.若数据，，…，的平均数为，方差为，则，，...，的平均数和方差分别为（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
4.某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：
则至少有两人排队的概率为（ ）
A． B． C． D．
5.如图，在中，为线段上的一点，，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6.下列叙述不正确的是（ ）
A．已知，是空间中的两条直线，若，则直线与平行或异面
B．已知是空间中的一条直线，是空间中的一个平面，若，则或与只有一个公共点
C．已知，是空间两个不同的平面，若，则，必相交于一条直线
D．已知直线与平面相交，且垂直于平面内的无数条直线，则
7.已知一个圆柱的侧面积等于其表面积的，且其轴截面的周长为，则该圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
8.若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于，且，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9.下面是关于复数的四个命题，其中真命题为（ ）
A． B．
C．的虚部为 D．的共轭复数为
10.下面结论正确的是（ ）
A．若，则事件与是互为对立事件
B．若，则事件与是相互独立事件
C．若事件与是互斥事件，则与也是互斥事件
D．若事件与是相互独立事件，则与也是相互独立事件
11.如图，为圆的直径，，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于点，于点，则下列选项正确的是（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
12.在中，，，分别是边，，中点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则是在的投影向量
D．若点是线段上的动点，且满足，则的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.总体由编号为，，…，，的个个体组成.现用随机数法选取个个体，利用电子表格软件产生的若千个范围内的整数随机数的开始部分数据（如下），则选出来的第个个体的编号为 ．
14.已知为坐标原点，向量，，若，则 ．
15.在中，角，，所对的边分别为，，，①若，则；②若，则一定为等腰三角形；③若，则为直角三角形；④若为锐角三角形，则以上结论中正确的有 ．（填正确结论的序号）
16.已知一个高为的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为的等边三角形，则三棱锥的表面积为 ，若三棱锥内有-一个体积为的球，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.
17.已知平面向量，满足，，.
（1）求；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
18.如图，四边形是矩形，平面，平面，，.
（1）证明：平面平面.
（2）求三棱锥的体积.
19.设，，分别为三个内角，，的对边，若.
（1）求角；
（2）若，的周长的为，求的面积.
20.甲、乙两人组队参加答题竞赛，每轮比赛由甲、乙各答一道题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.
求：（1）甲，乙在两轮比赛中分别答对道题和道题的概率；
（2）该队伍在两轮比赛中答对道题的概率.
21.如图所示，在树人中学高一年级学生中抽出名参加环保知识竞赛，将其成绩（均为整数整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题：
（1）求成绩在这一组的频数；
（2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、百分位数；
（3）从成绩是分以下（包括分）和分以上（包括分）这两个分数段的学生中选人，求他们不在同一分数段的概率.
22.如图在四棱柱中，平面，四边形为梯形，，且，为的中点，过，，三点的平面记为.
（1）证明：平面与平面的交线平行于.
（2）若，，，求平面与底面所成二面角的大小.
高一数学参考答案
一、选择题
1-4： 5-8：
二、多选题
9. 10. 11. 12.
二、填空题
13. 14. 15.①③ 16.；
四、解答题
17.解：（1）
得
（2）由向量与的夹角为锐角，可得.即有.
而当向量与同向时，可知
综上所述的取值范围为
18.（1）证明：因为平面，平面，
所以.
又因为平面.平面.
所以平面.
在矩形中.平面，平面，
所以平面.
又，
所以平面平面.
（2）解：因为平面.
所以.
在矩形中，.
又.
所以平面.
易证平面，
所以点到平面的距离为，
所以
19.（1）由及正弦定理可得.
由带入上式，
整理得.
因为，
所以.
因为，
所以角.
（2）的周长为，得，
由.可得即.
解得，
.
所以的面积为.
20.解：（1）设，分别表示甲两轮答对道题，道题的事件，，分别表示乙两轮答对道题，道题的事件.根据独立性假定，得
.
.
（2）设“两轮比赛队伍答对道题”，则，且与互斥，与，与分别相互独立，
所以
因此，该队伍在两轮比赛中答对道题的概率是.
21.（1）根据题意这一组的频率为，
这一组的频率为，
这一组的频率为，
这一组的频率为，
则这一组的频率.其频数为.
（2）这次竞赛成绩的平均数为
.
这一组的频率为，
这一组的频率为，
的频率为，
这一组的频率为，
所以，百分位数在这一组内，且在本组内需要找到频率为的部分，
所以百分位数为.
（3）记选出的人不在同一分数段为事件，
之间的人数为人，设为，，，；
之间有人，设为，.
从这人中选出人，有，，，，，，，，，，，，，，共个样本点，
其中事件包括，，，，，，，，共个基本事件，
则.
22.（1）如图，延长，交于点，
因为，且，
所以，
又为的中点，
所以，，三点共线，
此时平面与平面的交线为，
又平面平面，根据面面平行的性质定理可得，
平面与平面的交线平行于直线；
（2）连接，，在中，，，
可得，
所以为直角三角形，
所以，又，
所以平面，
所以是平面与底面所成二面角的平面角，
在直角三角形中，，
所以
即平面与底面所成二面角的大小为.
排队人数
概率
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