必修41.4 三角函数的图象与性质教课内容课件ppt

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1.4　三角函数的图象与性质
1.4.1　正弦函数、余弦函数的图象
平静的水面投下一颗石子，荡起阵阵水波．在空间中光波、声波、电磁波无处不在，你可知道，这些波传播的波动图与我们所学的三角函数的图象有着密切的关系吗？
3．正弦曲线、余弦曲线(1)定义：正弦函数y＝sinx，x∈R和余弦函数y＝csx，x∈R的图象分别叫做________曲线和________曲线．(2)图象：如图所示．
[知识点拨]1.函数y＝sinx，x∈[0,2π]与y＝sinx，x∈R的图象的关系(1)函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象是函数y＝sinx，x∈R的图象的一部分．(2)因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sinx，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z且k≠0的图象与函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象形状完全一致，因此将y＝sinx，x∈[0,2π]的图象向左、右平行移动(每次移动2π个单位长度)，就可得到函数y＝sinx，x∈R的图象．
2．正弦曲线和余弦曲线的关系
用“五点法”作出下列函数的简图：(1)y＝sinx－1，x∈[0,2π]；(2)y＝2＋csx，x∈[0,2π]．[思路分析]　先在[0,2π]上找出五个关键点，再用光滑曲线连接即可．
命题方向1　⇨用“五点法”作三角函数的图象
『规律总结』　用“五点法”画函数y＝Asinx＋b(A≠0)或y＝Acsx＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤：(1)列表：
〔跟踪练习1〕用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]上的简图．(1)y＝2－sinx；(2)y＝csx－1.
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图(1))．
利用图象变换作出下列函数的简图：(1)y＝1－csx，x∈[0,2π]；(2)y＝|sinx|，x∈[0,4π]．[思路分析]　先作出y＝csx和y＝sinx，x∈[0,2π]上的图象，再作对称和平移变换．
命题方向2　⇨利用图象变换作三角函数的图象
[解析]　(1)首先用五点法作出函数y＝csx，x∈[0,2π]的图象，再作出y＝csx关于x轴对称的图象，最后将图象向上平移1个单位．如图(1)所示．
(2)首先用五点法作出函数y＝sinx，x∈[0,4π]的图象，再将x轴下方的部分对称到x轴的上方．如图(2)所示．
『规律总结』　1.平移变换(1)函数y＝f(x＋a)的图象是由函数y＝f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位得到的．(2)函数y＝f(x)＋b的图象是由函数y＝f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位得到的．2．对称变换(1)函数y＝|f(x)|的图象是将函数y＝f(x)的图象在x轴上方的部分不动，下方的部分对称翻折到x轴上方得到．
(2)函数y＝f(|x|)的图象是将函数y＝f(x)的图象在y轴右边的部分不动，并将其对称翻折到y轴左边得到．(3)函数y＝－f(x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于x轴对称．(4)函数y＝f(－x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．(5)函数y＝－f(－x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于原点对称．
利用正、余弦函数的图象解三角不等式
『规律总结』　1.用三角函数的图象解sinx>a(或csx>a)的方法(1)作出直线y＝a，作出y＝sinx(或y＝csx)的图象．(2)确定sinx＝a(或csx＝a)的x值．(3)确定sinx>a(或csx>a)的解集．2．利用三角函数线解sinx>a(或csx>a)的方法(1)找出使sinx＝a(或csx＝a)的两个x值的终边所在的位置．(2)根据变化趋势，确定不等式的解集．
〔跟踪练习3〕不等式csx>0，x∈[0,2π]的解集是_________________.
方程sinx＝lgx的实根个数有(　　)A．1个B．2个C．3个D．无穷多个[错解]　A，如图所示，y＝sinx与y＝lgx的图象，有且只有1个公共点，故选A．
利用正弦函数、余弦函数图象判断方程根的个数
[错因分析]　作y＝lgx图象时，没有找准临界点的坐标，只作出了草图．[思路分析]　画出y＝sinx的图象后要充分利用y＝lgx过(1,0)点和(10,1)点来确定解的个数，准确画图是解答此类题的关键．[正解]　C　在同一直角坐标系中作函数y＝sinx与y＝lgx的图象．由图中可以看出两函数图象有三个交点(xi，yi)，其中xi∈(1,10)(i＝1,2,3)是方程sinx＝lgx的解．[误区警示]　有些方程从正面直接求解较难时，可通过对方程变形，转化成两个熟悉的函数，再通过画函数图象，利用数形结合求解．
5．用“五点法”作出下列函数的简图：(1)y＝－sinx(0≤x≤2π)；(2)y＝1＋csx(0≤x≤2π)．