人教版新课标A必修4第一章三角函数综合与测试达标测试

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这是一份人教版新课标A必修4第一章三角函数综合与测试达标测试，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．已知α＝315°，则与角α终边相同的角的集合是( A )
A．{α|α＝2kπ－eq \f(π,4)，k∈Z}B．{α|α＝2kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z}
C．{α|α＝2kπ－eq \f(5π,4)，k∈Z}D．{α|α＝2kπ＋eq \f(5π,4)，k∈Z}
2．设α是第三象限角，且|cseq \f(α,2)|＝－cseq \f(α,2)，则eq \f(α,2)的终边所在的象限是( B )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
[解析] 因为α是第三象限角，所以π＋2kπ<α所以eq \f(π,2)＋kπ所以eq \f(α,2)的终边在第二象限或第四象限．
又|cseq \f(α,2)|＝－cseq \f(α,2)，所以cseq \f(α,2)<0，
所以eq \f(α,2)的终边所在的象限是第二象限．
3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( C )
A．2B．sin2
C．eq \f(2,sin1)D．2sin1
[解析] 由题设，圆弧的半径r＝eq \f(1,sin1)，∴圆心角所对的弧长l＝2r＝eq \f(2,sin1).
4．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且csα＝eq \f(1,5)x，则tanα＝( D )
A．eq \f(4,3)B．eq \f(3,4)
C．－eq \f(3,4)D．－eq \f(4,3)
[解析] x<0，r＝eq \r(x2＋16)，∴csα＝eq \f(x,\r(x2＋16))＝eq \f(1,5)x，
∴x2＝9，∴x＝－3，∴tanα＝－eq \f(4,3).
5．如果eq \f(sinα－2csα,3sinα＋5csα)＝－5，那么tanα的值为( D )
A．－2B．2
C．eq \f(23,16)D．－eq \f(23,16)
[解析] ∵sinα－2csα＝－5(3sinα＋5csα)，
∴16sinα＝－23csα，∴tanα＝－eq \f(23,16).
6．设α为第二象限角，则eq \f(sinα,csα)·eq \r(\f(1,sin2α)－1)＝( D )
A．1B．tan2α
C．－tan2αD．－1
[解析] eq \f(sinα,csα)·eq \r(\f(1,sin2α)－1)＝eq \f(sinα,csα)·eq \r(\f(cs2α,sin2α))＝eq \f(sinα,csα)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(csα,sinα)))，
又∵α为第二象限角，∴csα<0，sinα>0.
∴原式＝eq \f(sinα,csα)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(csα,sinα)))＝eq \f(sinα,csα)·eq \f(－csα,sinα)＝－1.
7．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是( D )
[解析] 本题用排除法，对于D选项，由振幅|a|>1，而周期T＝eq \f(2π,|a|)应小于2π，与图中T>2π矛盾．
8．若sinα是5x2－7x－6＝0的根，则eq \f(sin－α－\f(3π,2)sin\f(3π,2)－αtan22π－α,cs\f(π,2)－αcs\f(π,2)＋αsinπ＋α)＝( B )
A．eq \f(3,5)B．eq \f(5,3)
C．eq \f(4,5)D．eq \f(5,4)
[解析] 方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－eq \f(3,5)，
x2＝2.则sinα＝－eq \f(3,5)，
原式＝eq \f(csα－csαtan2α,sinα－sinα－sinα)＝－eq \f(1,sinα)＝eq \f(5,3).
9．已知ω>0，|φ|A．y＝g(x)是奇函数
B．y＝g(x)的图象关于点(－eq \f(π,2)，0)对称
C．y＝g(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称
D．y＝g(x)的周期为π
[解析] ∵x＝eq \f(π,6)和x＝eq \f(7,6)π是两条相邻的对称轴，
∴T＝2×(eq \f(7,6)π－eq \f(π,6))＝2π，∴ω＝1.
∴f(x)＝cs(x＋φ)．
①若函数在x＝eq \f(π,6)处取得最大值，则f(eq \f(π,6))＝cs(eq \f(π,6)＋φ)＝1，eq \f(π,6)＋φ＝2kπ，φ＝2kπ－eq \f(π,6).当k＝0时，φ＝－eq \f(π,6)，此时f(x)＝cs(x－eq \f(π,6))，将f(x)图象向左平移eq \f(π,6)个单位得到g(x)＝cs[(x＋eq \f(π,6)－eq \f(π,6))]＝csx.所以B正确．
②若函数在x＝eq \f(π,6)处取得最小值，则
f(eq \f(π,6))＝cs(eq \f(π,6)＋φ)＝－1，
eq \f(π,6)＋φ＝2kπ－π，
φ＝2kπ－eq \f(7,6)π，当k＝1时，φ＝eq \f(5,6)π，
∵|φ|10．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝csx，C2：y＝sin(2x＋eq \f(2π,3))，则下面结论正确的是( D )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线C2
[解析] 因为y＝sin(2x＋eq \f(2π,3))＝cs(2x＋eq \f(2π,3)－eq \f(π,2))＝cs(2x＋eq \f(π,6))，所以曲线C1：y＝csx上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cs2x，再把得到的曲线y＝cs2x向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线y＝cs2(x＋eq \f(π,12))＝cs(2x＋eq \f(π,6))．
11．(2018·天津理，6)将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,5)))的图象向右平移eq \f(π,10)个单位长度，所得图象对应的函数( A )
A．在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，\f(5π,4)))上单调递增
B．在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))上单调递减
C．在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(3π,2)))上单调递增
D．在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))上单调递减
[解析] 函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,5)))的图象向右平移eq \f(π,10)个单位长度后的解析式为y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,10)))＋\f(π,5)))＝sin2x，则函数y＝sin2x的一个单调增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，\f(5π,4)))，一个单调减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(7π,4))).由此可判断选项A正确．
故选A．
12．函数f(x)＝(eq \f(1,3))x－|sin2x|在[0，eq \f(5π,4)]上零点的个数为( C )
A．2B．4
C．5D．6
[解析] 分别作出函数y＝(eq \f(1,3))x和y＝|sin2x|的图象，如图所示．
由图可知，这两个函数图象在[0，eq \f(5,4)π]上共有5个不同的交点，所以函数f(x)＝(eq \f(1,3))x－|sin2x|在[0，eq \f(5,4)π]上的零点个数为5.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．函数y＝sinx＋tanx，x∈[－eq \f(π,4)，eq \f(π,4)]的值域为__[－eq \f(\r(2),2)－1，eq \f(\r(2),2)＋1]__.
[解析] 利用函数单调性求最值，确定函数值域．本题中，y1＝sinx，y2＝tanx均满足在区间[－eq \f(π,4)，eq \f(π,4)]上单调递增，∴函数y＝sinx＋tanx也满足在区间[－eq \f(π,4)，eq \f(π,4)]上单调递增，∴此函数在[－eq \f(π,4)，eq \f(π,4)]上的值域为[－eq \f(\r(2),2)－1，eq \f(\r(2),2)＋1]．
14．已知sinθcsθ＝eq \f(1,8)，且eq \f(π,4)<θ[解析] 因为eq \f(π,4)<θ15．设a为常数，且a>1,0≤x≤2π，则函数f(x)＝cs2x＋2asinx－1的最大值为__2a－1__.
[解析] f(x)＝cs2x＋2asinx－1＝1－sin2x＋2asinx－1＝－(sinx－a)2＋a2，
∵0≤x≤2π，∴－1≤sinx≤1，
又a>1，∴当sinx＝1时，f(x)max＝－(1－a)2＋a2＝2a－1.
16．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈[0,2π))的部分图象如图所示，则f(2 018)＝__eq \f(\r(2),2)__.
[解析] 由题图可知，eq \f(T,4)＝2，所以T＝8，所以ω＝eq \f(π,4).
由点(1,1)在函数图象上，可得f(1)＝sin(eq \f(π,4)＋φ)＝1，故eq \f(π,4)＋φ＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，所以φ＝2kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)，又φ∈[0,2π)，所以φ＝eq \f(π,4).故f(x)＝sin(eq \f(π,4)x＋eq \f(π,4))，所以f(2 018)＝sin(eq \f(2 018π,4)＋eq \f(π,4))＝sin(504π＋eq \f(3,4)π)＝sineq \f(3,4)π＝eq \f(\r(2),2).
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)(1)已知角α的终边经过点P(4，－3)，求2sinα＋csα的值；
(2)已知角α的终边经过点P(4a，－3a)(a≠0)，求2sinα＋csα的值；
(3)已知角α终边上一点P与x轴的距离与y轴的距离之比为3﹕4，求2sinα＋csα的值．
[解析] (1)∵r＝eq \r(x2＋y2)＝5，∴sinα＝eq \f(y,r)＝－eq \f(3,5)，csα＝eq \f(x,r)＝eq \f(4,5)，∴2sinα＋csα＝－eq \f(6,5)＋eq \f(4,5)＝－eq \f(2,5).
(2)∵r＝eq \r(x2＋y2)＝5|a|，∴当a>0时，r＝5a，∴sinα＝eq \f(－3a,5a)＝－eq \f(3,5)，csα＝eq \f(4,5)，∴2sinα＋csα＝－eq \f(2,5)；
当a<0时，r＝－5a，∴sinα＝eq \f(－3a,－5a)＝eq \f(3,5)，csα＝－eq \f(4,5)，
∴2sinα＋csα＝eq \f(2,5).
(3)当点P在第一象限时，sinα＝eq \f(3,5)，csα＝eq \f(4,5)，
2sinα＋csα＝2；当点P在第二象限时，sinα＝eq \f(3,5)，
csα＝－eq \f(4,5)，2sinα＋csα＝eq \f(2,5)；当点P在第三象限时，sinα＝－eq \f(3,5)，csα＝－eq \f(4,5)，2sinα＋csα＝－2；
当点P在第四象限时，sinα＝－eq \f(3,5)，csα＝eq \f(4,5)，2sinα＋csα＝－eq \f(2,5).
18．(本题满分12分)已知函数y＝3tan(2x－eq \f(π,4))．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的定义域；
(3)说明此函数的图象是由y＝tanx的图象经过怎样的变换得到的？
[解析] (1)函数y＝3tan(2x－eq \f(π,4))的最小正周期T＝eq \f(π,2).
(2)由2x－eq \f(π,4)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(3π,8)，k∈Z，所以原函数的定义域为{x|x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(3π,8)，k∈Z}．
(3)把函数y＝tanx图象上所有的点向右平移eq \f(π,4)个单位长度，得函数y＝tan(x－eq \f(π,4))的图象，然后将图象上各点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)倍(纵坐标不变)，最后将图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，得函数y＝3tan(2x－eq \f(π,4))的图象．
19．(本题满分12分)已知f(x)＝2sin(2x＋eq \f(π,6))＋a＋1(a为常数)．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若当x∈[0，eq \f(π,2)]时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)求出使f(x)取得最大值时x的取值集合．
[解析] (1)由2kπ－eq \f(π,2)eq \r()≤2x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq \f(π,3)≤x≤kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z，所以f(x)的单调递增区为[kπ－eq \f(π,3)，kπ＋eq \f(π,6)](k∈Z)．
(2)当x∈[0，eq \f(π,2)]时，2x＋eq \f(π,6)∈[eq \f(π,6)，eq \f(7,6)π]，故当2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(π,6)时，f(x)有最大值a＋3＝4，所以a＝1.
(3)当sin(2x＋eq \f(π,6))＝1时f(x)取得最大值，此时2x＋eq \f(π,6)＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，即x＝kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z，此时x的取值集合为{x|x＝kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z}．
20．(本题满分12分)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平移eq \f(π,6)个单位长度，得到y＝g(x)图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．
[解析] (1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－eq \f(π,6)，数据补全如下表：
且函数表达式为f(x)＝5sin(2x－eq \f(π,6))．
(2)由(1)知f(x)＝5sin(2x－eq \f(π,6))，因此g(x)＝5sin[2(x＋eq \f(π,6))－eq \f(π,6)]＝5sin(2x＋eq \f(π,6))
因为y＝sinx的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.
令2x＋eq \f(π,6)＝kπ，k∈Z，解得x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,12)，k∈Z.
即y＝g(x)图象的对称中心为(eq \f(kπ,2)－eq \f(π,12)，0)，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为(－eq \f(π,12)，0)．
21．(本题满分12分)如图为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.
(1)求h与θ间关系的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式．
[解析] (1)由题意可作图如图．过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于M点．
当θ>eq \f(π,2)时，∠BOM＝θ－eq \f(π,2).
h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋4.8sin(θ－eq \f(π,2))；
当0≤θ≤eq \f(π,2)时，上述解析式也适合．
(2)点A在⊙O上逆时针运动的角速度是eq \f(π,30)，
∴t秒转过的弧度数为eq \f(π,30)t，
∴h＝4.8sin(eq \f(π,30)t－eq \f(π,2))＋5.6，t∈[0，＋∞)．
22．(本题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的一系列对应值如下表：
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k>0)的周期为eq \f(2π,3)，当x∈[0，eq \f(π,3)]时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
[解析] (1)设f(x)的最小正周期为T，则T＝eq \f(11π,6)－(－eq \f(π,6))＝2π，
由T＝eq \f(2π,ω)，得ω＝1，又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(B＋A＝3，,B－A＝－1))，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝2,B＝1))，令ω·eq \f(5π,6)＋φ＝eq \f(π,2)，即eq \f(5π,6)＋φ＝eq \f(π,2)，
解得φ＝－eq \f(π,3)，∴f(x)＝2sin(x－eq \f(π,3))＋1.
(2)∵函数y＝f(kx)＝2sin(kx－eq \f(π,3))＋1的周期为eq \f(2π,3)，又k>0，∴k＝3，令t＝3x－eq \f(π,3)，
∵x∈[0，eq \f(π,3)]，∴t∈[－eq \f(π,3)，eq \f(2π,3)]，
如图，sint＝s在[－eq \f(π,3)，eq \f(2π,3)]上有两个不同的解，则s∈[eq \f(\r(3),2)，1]，
∴方程 f(kx)＝m在x∈[0，eq \f(π,3)]时恰好有两个不同的解，则m∈[eq \r(3)＋1,3]，即实数m的取值范围是[eq \r(3)＋1,3]．
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
eq \f(π,3)
eq \f(5π,6)
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
eq \f(π,12)
eq \f(π,3)
eq \f(7π,12)
eq \f(5π,6)
eq \f(13π,12)
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
x
－eq \f(π,6)
eq \f(π,3)
eq \f(5π,6)
eq \f(4π,3)
eq \f(11π,6)
eq \f(7π,3)
eq \f(17π,6)
y
－1
1
3
1
－1
1
3